INTEGRALI TRIPLI Esercizi svolti

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1 INTEGRLI TRIPLI Esercizi svolti. Calcolare i seguenti integrali tripli: (a xye xz dx dy dz, [, ] [, ] [, ]; (b x dx dy dz, {(x, y, z : x, y, z, x + y + z }; (c (x + y + z dx dy dz, {(x, y, z : x, x y x +, z x + y}; (d x(y + z dx dy dz, {(x, y, z : x + y + z, x y + z, x }.. Calcolare il baricentro e il volume dei seguenti solidi omogenei: (a {(x, y, z : z, (z x + y }; (b piramide di vertici (,,, B (,,,C (,, e (,, ; (c solido del primo ottante limitato dalla superficie cilindrica di equazione z x / e dai piani di equazione z,y,x + y 8.. Sia il solido generato dalla rotazione attorno all asse z della regione piana: C {(x, y, z : y, x z (x, x }. eterminare il volume e il baricentro di. 4. ato il solido C r {x + y r, x + y z } determinare il valore del parametro r in modo che il volume di C sia π/8. 5. eterminare il volume dei seguenti solidi di rotazione: (a T triangolo di vertici (,,, (,, e (,, attorno all asse y; (b {(x, y, z : y, x 4z, x } attorno all asse z; (c {(x, y, z : z, y /4 + x, x } attorno all asse x.

2 INTEGRLI TRIPLI Esercizi svolti - SOLUZIONI. Calcolare i seguenti integrali tripli: (a xye xz dx dy dz, [, ] [, ] [, ]. Il calcolo dell integrale triplo può essere ridotto al calcolo di tre integrali semplici successivi. ( ( ( xye xz xye xz dz dx dy y [e xz ] dx dy ( y (e x dx dy y[e x x] dy (e [ y y dy (e ] 4(e. (b x dx dy dz, {(x, y, z : x, y, z, x + y + z }. Integrando per strati paralleli al piano xy si ha x dx dy dz ( x dx dy dz z dove z è l insieme definito dalle disequazioni { x z y x + z. pplicando la formula di integrazione per verticali si ottiene z ( x+ z x dx dy x dy dx z z ( x + x( z dx [ x + ( zx e successivamente ( x dx dy dz z 6 ( z dz 6 z [ x[y] x+ z dx ] z ( z 6 ] ( z (c (x + y + z dx dy dz, {(x, y, z : x, x y x +, z x + y}. Si ha, integrando per fili paralleli rispetto all asse z (x + y + z dx dy dz ( x+y (x + y + z dz dx dy, con {(x, y : x, x y x + } e applicando su la formula di integrazione per verticali, si può scrivere: ( x+y ( x+ x (x + y + z dz dx dy ] x+y [(x + yz + z [ ] x+ (x + y dx x [ 9 4 x4 + 4x + x + x ] ( x+ ( x+y dy x dx ( x+ x ( 9x + x + 6x + dx 8. (x + y + z dz dy dx (x + y dy dx

3 (d x(y + z dx dy dz, {(x, y, z : x + y + z, x y + z, x }. Si ha, integrando per fili paralleli all asse x x(y + z dx dy dz ( y z x(y + z dx dy dz, y +z ( y z (y + z x dz dy dz, y +z (y + z ( y z dy dz con {(y, z : y + z /}. Passando a coordinate polari nel piano y, z si ha (y + z ( y z dy dz π / [ ρ (ρ ρ 5 4 dρ π 4 ρ6 [ ] x (y + z y z dy dz y +z / ( π ] / π 48. (ρ ρ 5 dθ dρ lternativamente, per calcolare l integrale proposto, si possono usare le coordinate cilindriche, x t y ρ cos θ z ρ sin θ, che trasformano l insieme dello spazio (t, ρ, θ, definito da {(t, ρ, θ : ρ t ρ, ρ /, θ π}, nell insieme dello spazio (x, y, z. Utilizzando la formula del cambiamento di variabili e ricordando che si trova x(y + z dx dy dz con calcoli identici ai precedenti. det (x, y, z (t, ρ, θ ρ, ( ( π ρ tρ dt dθ dρ π 48, ρ. Calcolare il baricentro e il volume dei seguenti solidi omogenei: (a {(x, y, z : z, (z x + y }. Sia {(x, y, z : z, (z x + y }. Integrando per strati paralleli al piano x, y si ottiene V ( dx dy dz ( z dx dy dz, essendo z il cerchio, sul piano z, con centro nell origine e raggio z. z dx dy π(z si ha V ( π Siano x, y, z le coordinate del baricentro di. [ (z (z dz π ] π.

4 Per simmetria si ha mentre, essendo il solido omogeneo, z z dx dy dz V ( π x, y, ( z dx dy dz z (b piramide di vertici (,,, B (,,,C (,, e (,,. Sia Ω {(x, y, z : x, y, z, x + y + z } la piramide di vertici BC. Integrando per strati paralleli al piano x, y si ottiene V (Ω dx dy dz essendo Ω z il triangolo, sul piano z, descritto dalle disequazioni { x z y x + z. si ha V (Ω Ω ( [ z (z z 4 +z dz 4 ] z + z 4. Ω z dx dy ( z Ω z dx dy dz, [ ( z dz ] 6 ( z 6. Siano x Ω, y Ω, z Ω le coordinate del baricentro di Ω. Per simmetria risulta x Ω y Ω z Ω ed essendo il solido omogeneo si ha z Ω z dx dy dz 6 V (Ω Ω ( z dx dy dz Ω z [ z (z z 4 +z dz 4 ] z + z 4. (c solido del primo ottante limitato dalla superficie cilindrica di equazione z x / e dai piani di equazione z,y,x + y 8. Sia C l insieme del primo ottante limitato da z x /, z,y,x + y 8. Si ha, integrando per fili paralleli rispetto all asse z ( x / V (C dx dy dz dz dx dy, C con {(x, y : x 9, y 8 x } e applicando su la formula di integrazione per verticali, si può scrivere: V (C 9 9 ( 8 x (x 9 x dx ( x / dz [ x x4 8 dy ] 9 dx 4. 9 ( 8 x Siano x C, y C, z C le coordinate del baricentro di C. il solido è omogeneo si ha x C x dx dy dz ( 9 8 x ( x / x dz dy dx V (C C 4 ( 9 8 x 4 x dy dx 9 (x 4 9 x4 dx 4 x dy dx [ x4 ] 9 45 x5 7 5.

5 Con calcoli analoghi si prova che y C y dx dy dz 6 V (C 5 C e z C z dx dy dz 7 V (C C 5.. Sia il solido generato dalla rotazione attorno all asse z della regione piana: C {(x, y, z : y, x z (x, x }. eterminare il volume e il baricentro di. pplicando il I Teorema di Guldino risulta ( (x V ( π x dx dz π x dz dx 4π C x Siano x, y, z le coordinate del baricentro di. Per simmetria si ha x, y, [ ] x (x x dx 4π x π. mentre, essendo il solido omogeneo, si ha, integrando per strati paralleli al piano x, y z z dx dy dz ( z dx dy dz + ( z dx dy dz V ( π,z π,z dove,z è il cerchio, sul piano z, con centro nell origine e raggio z + e,z è il cerchio, sul piano z, con centro nell origine e raggio z. si ottiene z ( (z + z dz +,z dx dy π(z + e,z dx dy π( z (z z ( [z z + z dz ] [ + z z z z + z ] ato il solido C r {x + y r, x + y z } determinare il valore del parametro r in modo che il volume di C sia π/8. Integrando per strati paralleli al piano x, y si ha V (C r dx dy dz C r r ( C r,z dx dy dz ( < r < dove C r,z è la corona circolare, sul piano z, descritta dalle disequazioni r x + y z. risulta C r dx dy π(z r, [ ] z V (C r π (z r dz π r r z π r ( r. Imponendo che V (C r sia uguale a π/8, si ottiene r /. 5. eterminare il volume dei seguenti solidi di rotazione: (a T triangolo di vertici (,,, (,, e (,, attorno all asse y. Sia T {(y, z : z y z, z }. pplicando il I Teorema di Guldino si ottiene V π z dy dz π T ( z z z dy dz 4π (z z dz 4π ] [z z 8π.

6 (b {(x, y, z : y, x 4z, x } attorno all asse z. pplicando il I Teorema di Guldino si ottiene ( x/ V π x dx dz π x dz dx π x/ [ x x dx π ] π. (c {(x, y, z : z, y /4 + x, x } attorno all asse x. Posto dove {(x, y : x /, y x + /4} e {(x, y : / x, y x /4}, e applicando il I Teorema di Guldino risulta ( V π y dx dy π y dx dy + y dx dy ( ( / x +/4 ( x /4 π y dy dx + y dy dx π ( / ( x + 4 dx + / / ( x dx 4 [ x 5 π 5 x 6 + x ] 6 4 π.