Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) 1 Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti

Transcript

1 Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 8// Michela Eleuteri web.math.unifi.it/users/eleuteri Nel seguito indichiamo con [MS] il testo: P. Marcellini, C. Sbordone : Esercitazioni di Matematica, volume, parte seconda, Liguori Editore, 995. Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti Esercizio.. tema d esame del maggio Sia il dominio delimitato dalla curva (cardioide) di equazione x(t) ( + cos t) cos t y(t) ( + cos t) sin t t [, π] Calcolare x + y dx dy Per la soluzione vedi la pagina Esercizio.. tema d esame del maggio Si consideri la regione (x, y) R : y x ( x )}. opo aver verificato che la curva ha come immagine, calcolare l area di. γ(t) (sin t, sin(t)) Per la soluzione vedi la pagina È vietata la diffusione e la riproduzione di questo materiale o parte di esso (particolarmente a fini commerciali) senza il consenso della sottoscritta. Queste note, che riprendono in parte gli esercizi svolti durante le ore di esercitazioni frontali, costituiscono parte integrante (ma non esclusiva!) del corso di Analisi II e pertanto, ai fini dell esame, devono essere adeguatamente integrate con il materiale indicato dal docente titolare del corso.

2 Esercizio.. tema d esame del luglio Calcolare l area del sottoinsieme di R delimitato dalla parabola di equazioni x y, x y e dalle iperboli di equazioni xy, xy. Per la soluzione vedi la pagina Esercizio.. tema d esame del luglio Calcolare l integrale doppio sul dominio dx dy x log y (x, y) R : x [, ], x y }. Per la soluzione vedi la pagina Esercizio.5. tema d esame del settembre Calcolare l area della regione formata dai punti (x, y) del piano che soddisfano le seguenti condizioni tan π x + y y x x + y Per la soluzione vedi la pagina Esercizio.6. tema d esame del 7 giugno 6 Si consideri il semicerchio (x, y) R : x + y, x }. (a) Calcolare il baricentro ( x, ȳ) di : x dx dy x m() ȳ y dx dy m() m() indica la misura del dominio. (b) Sia T : R R la mappa T (x, y) (x cos y, x sin y). Calcolare la misura dell insieme T (). Per la soluzione vedi la pagina

3 Esercizio.7. tema d esame del maggio 6 Calcolare l integrale doppio esteso al dominio y dx dy (x, y) R : x, y, x + y } Per la soluzione vedi la pagina Esercizio.8. tema d esame del giugno 6 Calcolare l integrale doppio esteso al dominio (x + y ) / dx dy (x, y) R : x + y, x + y } Hint: Passando a coordinate polari, si descrive il dominio nel seguente modo: } (ρ, θ) R + [, π) : θ π/, sin θ + cos θ ρ da cui Esercizio.9. (x + y ) / dx dy π/ π/ sin θ+cos θ ρ dρ dθ ρ π/ (sin θ + cos θ ) dθ π [ ] ρ sin θ+cos θ dθ tema d esame del 5 giugno 8 Calcolare l integrale doppio esteso al dominio x dx dy (x, y) R : x + y, x, y } Hint: Passando a coordinate polari, si descrive il dominio nel seguente modo: (ρ, θ) R + [, π) : θ π/, ρ }

4 da cui Esercizio.. x dx dy π/ [ ρ ρ cos θ dρ dθ ] [sin θ] π/ 5. tema d esame del maggio 8 Calcolare l area della regione di piano C (x, y) : y x, y x} (x, y) : x y, y x}. Calcolare inoltre l integrale C y x + x dx dy. + y Per la soluzione vedi la pagina Esercizio.. tema d esame del luglio 8 Calcolare gli integrali x dx dy sul dominio y dx dy (x, y) R : x + y, x }. Hint: Osserviamo che y x + y, quindi la condizione x + y è equivalente a y x y, e questo, unito alla condizione x permette di riscrivere come A questo punto altra parte C x dx dy C (x, y) R : x y }. y x dx dy y dx dy y y dx dy [ ] x y y y dy perché è l integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico. Esercizio.. tema d esame del settembre 8 Calcolare l area della regione piana R (x, y) R : x >, x + y arctan y } x y dy 5.

5 Hint: L idea è quella di passare in coordinate polari. Osserviamo innanzitutto che la condizione x > si traduce in ρ cos θ > e cioè < θ < π/ unito a /π < θ < π. Nel primo intervallo si ha ovviamente arctan(y/x) θ mentre nel secondo intervallo arctan(y/x) θ π perché per convenzione, la funzione arcotangente è invertibile solo nell intervallo ( π/, π/). Stando cosí le cose, la regione R si riscrive come R R R dove R (ρ, θ) R + [, π) : θ π/, ρ θ} R (ρ, θ) R + [, π) : /π θ π, ρ θ π} ma la regione R è descritta da una condizione vuota perché ρ mentre θ π nel secondo intervallo, da cui Esercizio.. Area(A) π/ θ ρ dρ dθ π/ θ π dθ 6. tema d esame del febbraio 9 imostrare che l insieme (x, y) R : x + y + xy } è limitato. Calcolare poi l integrale doppio x y dx dy. Hint: È facile vedere che è limitato, infatti non è restrittivo supporre che xy, altrimenti si cambia segno a una delle due variabili; a quel punto ci si riduce a dimostrare che x + y è limitato, che è vero, perché da questo si deduce x, y. Per calcolare l integrale, osserviamo che a questo punto poniamo (x, y) R : x + y + xy (x y ) + x y + xy } t : x y s : xy; siccome è difficile calcolare x e y in funzione di t, s semplicemente calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana della relazione che esprime le nuove coordinate in funzione delle vecchie (noi dovremmo fare il contrario) e questo viene (x y ) t da cui prendendo il modulo e considerando la formula per il determinante della funzione inversa si ha x y dx dy t dx dy. t L insieme nelle nuove coordinate viene (t, s) : t + s + s } 5

6 cioè una circonferenza. Per cui tenendo conto del valore assoluto, si ha dove (t, s) : t + s + s }, t (t, s) : t + s + s }, t e per simmetria pertanto, visto che l area di è uguale all area di, l integrale cercato fa. Esercizio.. tema d esame del maggio Si consideri l insieme di R (x, y) R : x, x y + x + x }. (a) Verificare che (b) Calcolare l integrale doppio dx dy. (y + ) Hint: (a) L origine sta in (b) alla definizione di si ricavano immediatamente le limitazioni su x e y, cioè: da cui dx dy (y + ) x, x x y x x + x x dx + [ ] + log x + x + log. Esercizio.5. dx dy (y + ) [ ] y + dx + (x + )(x ) x x x + + x dx tema d esame del 7 giugno Calcolare per Q [, ] (x y) sin(xy) dx dy. Q Hint: Con considerazioni di simmetria si vede immediatamente (separando gli integrali e scambiando le variabili) che tale integrale fa. Con calcoli espliciti (x y) sin(xy) dx dy x sin(xy) dx dy y sin(xy) dx dy Q [ cos(xy)] dx [ sin x] + [sin y]. [ cos(xy)] dy ( cos(x)) dx ( cos(y)) dy 6

7 Esercizio.6. tema d esame del luglio Sia r un numero reale positivo. Calcolare l integrale doppio dx dy C x + y esteso al cerchio C del piano (x, y) di centro (, ) e raggio r. Hint: Come dice il testo dell esercizio -/ scritti/analisi appello 7.pdf si tratta di un integrale improprio ma il metodo di calcolo non ne risente. Passando dunque a coordinate polari si ha C (ρ, θ) R + [, π) : ρ r, θ π} da cui Esercizio.7. C r x + y dx dy π ρ dρ dθ πr. ρ tema d esame del 5 settembre Calcolare l integrale doppio y dx dy T x + y dove T è il triangolo (x, y) di vertici (, ), (, ), (, ). Hint: primo modo: usando le formule di riduzione per domini normali. Osserviamo che vedendo T (x, y) R : x, x y } si ottiene un integrale non facilmente riconducibile a integrali elementari y x + y dx dy y dx x + y dy log( + x ) dx T quindi conviene interpretare T come in questo modo si ottiene y x + y dx dy T x T (x, y) R : y, x y} arctan arctan dy π. y y dy 7 x + y dx [arctan(x/y)] y dy log(x ) dx

8 secondo modo: osserviamo che lo stesso risultato si ottiene passando in coordinate polari; in questo caso T (ρ, θ) : ρ sin θ, π θ π } e dunque T Esercizio.8. y π/ x + y dx dy π/ / sin θ ρ sin θ ρ ρ dρ dθ π/ / sin θ π/ sin θ dρ dθ π. tema d esame del 7 gennaio Calcolare l integrale doppio sin y y dx dy dove è il quadrilatero del piano (x, y) di vertici (±, ), (±, ). Stabilire inoltre il segno del risultato dell integrale doppio senza far uso di una calcolatrice. Hint: Osserviamo prima di tutto che la funzione è pari (perché sin y è dispari e cosí pure y) e il dominio è simmetrico rispetto all asse y, pertanto l integrale cercato (chiamiamolo I) è uguale a due volte l integrale su metà dominio (regolare rispetto all asse y), cioè I sin y y dx dy dy y sin y y dx sin y dy cos cos. Per determinare il segno dell integrale basta osservare che < π/ < < π e dalla monotonia del coseno (decrescenza) in questo intervallo si ha quindi cos cos >. Esercizio.9. cos > cos(π/) > cos cos(π) tema d esame del febbraio Calcolare l integrale doppio T x x dx dy + y dove T è il trapezio del piano (x, y) di vertici (, ±), (, ±). Hint: Passando in coordinate polari si ha T (ρ, θ) : cos θ ρ cos θ, θ π 7 } π θ π e per la periodicità delle funzioni trigonometriche questo è equivalente a considerare T (ρ, θ) : cos θ ρ cos θ, π θ π }. 8

9 Quindi si ottiene T x π x dx dy + y π cos θ cos θ ρ cos π θ ρ ρ dρ dθ cos θ π [ ρ ] cos θ cos θ dθ π π dθ π. Lo stesso risultato si ottiene usando le formule di riduzione per domini normali, per esempio T x x dx dy + y x x x x dy dx + y Esercizi proposti dal testo [MS] [ x arctan y ] x dx π x x [ x ] π. Gli esercizi del testo [MS] sono tutti fortemente consigliati; in particolare si raccomanda di svolgere tutti gli esercizi dei paragrafi A, B, C e, del Capitolo (pag. 6 e segg.) Altri esercizi tratti da temi d esame di altri corsi di laurea Esercizio.. Si calcoli l integrale doppio (x + ) dx dy, ove è la parte dell ellisse (x, y) R : x + y } contenuta nel primo quadrante. escriviamo l ellisse attraverso il seguente cambio di coordinate x ρ cos θ con le seguenti limitazioni per le variabili ρ e θ y ρ sin θ ρ θ [, π ]. Calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione. Si ha x x J ρ θ cos θ ρ sin θ y y ρ θ sin θ ρ cos θ da cui, portando a primo membro det J ρ cos θ + ρ sin θ ρ. 9

10 Quindi + (x + ) dx dy ( d ρ π/ ) ( ) π/ ρ dρ d θ ρ dθ ρ (ρ cos θ + ) ( θ + ) sin θ cos θ ( π/ ) ( ) π/ ρ dρ cos θ dθ + ρ θ Come appendice ricordiamo due modi di calcolare la primitiva di cos θ. primo modo. cos θ dθ cos θ cos θ dθ cos θ sin θ + sin θ dθ cos θ sin θ + π/ π + π 8 5 π. ( cos θ) dθ da cui cos θ dθ θ + cos θ sin θ. secondo modo. + cos(θ) cos θ dθ dθ θ + cos(θ) dθ θ + sin(θ) θ + sin θ cos θ. Esercizio.. Si calcoli l integrale doppio: E x y dx dy dove E è il sottoinsieme di R delimitato dalle curve y x, y x, y x, y x, cioè E (x, y) R : < xy <, < x y < }. Si attua il seguente cambiamento di coordinate xy u x y v da cui si ricava che x v u y u v quindi la matrice Jacobiana della trasformazione è v u u u u v v

11 e pertanto il determinante della trasformazione è /v da cui il modulo del determinante è /v. A questo punto, essendo si ha Esercizio.. E E (u, v) R : < u <, < v < }, x y dx dy u du v dv u log v log. Calcolare ove A ( x y x )dxdy, A (x, y) R : x + y, y x, x }. Parametrizziamo l insieme A per mezzo delle coordinate polari. Si ha A (ρ, θ) [, + ) [, π) : ρ [ θ π/ 7/ π θ π]} ma data la periodicità delle funzioni sin θ e cos θ possiamo senz altro scrivere che A (ρ, θ) : ρ π/ θ π/}. Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione vale ρ. unque si ha (ricordando che in A si ha x dunque x x) π/ π/ ( x y x ) dx dy dθ dρ ρ ρ cos θ sin θ ρ cos θ dρ dθ ρ A π/ π/ ( ) ( ) π/ ( ) ( ) π/ ρ dρ cos θ sin θ dθ ρ dρ cos θdθ π/ π/ ρ5 5 sin θ π/ π/ Esercizio.. ρ sin θ π/ π/ [ 5 ] 5 eterminare il volume del solido delimitato dal grafico di dal piano z e dalle condizioni: f(x, y) x x + y, ( ) y, y x, y x [ 8 ] 7. 5 Vedi soluzione sul file corrispondente.

12 Esercizio.5. Si calcoli l integrale doppio 9 (x + y ) dx dy dove (x, y) R : x + y x, y }. Osserviamo che la disequazione si può scrivere come x + y x ( x ) + y 9 che quindi rappresenta il cerchio di centro (/, ) e raggio /. Il dominio rappresenta dunque il semicerchio situato nel semipiano y. Proviamo a passare in coordinate polari. Sostituendo x ρ cos θ y ρ sin θ nella precedente equazione si ottiene ρ ρ cos θ ρ cos θ quindi l insieme di integrazione diventa T (x, y) R : θ π }, ρ cos θ. Allora 9 (x + y ) dx dy 9 ρ ρ dρ, dθ Esercizio.6. π/ [ cos θ π/ 9 [ π/ π/ π/ cos θ [ 9 cos θ cos θ ρ ] 9 ρ dρ dθ ( ρ) ] 9 ρ dρ dθ [(9 ρ ) /] cos θ dθ [ (9 9 cos θ) / 9 /] dθ (sin θ ) dθ 9 ] π/ π/ T + 9 π π. ( cos θ) sin θ dθ + 9 π

13 Calcolare il volume del solido delimitato dal grafico di f(x, y) x, dal piano z e dalle condizioni x, y, x + y. La richiesta coincide con il calcolo dell integrale doppio x dx dy, dove A Osserviamo innanzitutto che se y e può essere descritto come A A (x, y) R : x, y (x, y) R : x, }, x + y. allora x ±. Il dominio A è, per esempio, y-semplice y x }. Quindi A x dx dy x dx x x dx ( ( 8 ) / ) x dy x dx + 8 x dx ( ) / ( x x + 8. x ) Alternativamente, risolviamo l esercizio usando le coordinate polari. problema usiamo il seguente cambio di coordinate ata la simmetria del x ρ cos θ y ρ sin θ. Allora il dominio A si trasforma nel seguente dominio T (ρ, θ) : π θ π }, sin θ ρ dove la limitazione su ρ si è ottenuta sostituendo y ρ sin θ.

14 A questo punto allora, ricordando che il modulo del determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è ρ si ottiene che l integrale di partenza coincide con il seguente integrale doppio Esercizio.7. π/ π/ π/ π/ π/ sin θ [ 8 cos θ ρ cos θ(ρ) dρ dθ ρ ] sin θ [ ] 8 cos θ π/ 8 sin dθ θ 8 [sin θ]π/ π/ [ sin ] π/ θ π/ ( 8 ) [ + ] 8. dθ Calcolare dove f(x, y) x + y e E f(x, y)dxdy, E (x, y) R : x + y, y } (x, y) R : x + y, xy }. Osserviamo che E non è semplice, però è regolare. Infatti, detti E (x, y) R : x + y, x, y } E (x, y) R : x + y, y, x } E (x, y) R : x + y, x, y }, allora possiamo scrivere E E E E. Inoltre, E, E e E si intersecano vicendevolmente solo sul bordo, perciò, grazie a una proprietà dell integrale doppio, f(x, y)dxdy E f(x, y)dxdy + E f(x, y)dxdy + E f(x, y)dxdy. E Notiamo subito che, per simmetria, f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy : E E infatti, E ed E sono simmetrici rispetto all origine, mentre f è dispari; ovvero: (x, y) E ( x, y) E f(x, y) f( x, y).

15 Ne consegue che i due integrali sono opposti. Perciò è sufficiente calcolare f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy. E E Per calcolare l integrale su E scomponiamo ulteriormente questo dominio in E E E, dove E (x, y) R : x, y } x E (x, y) R : x, x y x }. A loro volta questi due insiemi sono semplici e si intersecano solo sul bordo; quindi f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy. E E E Ora, E f(x, y)dxdy x (x + y)dydx mentre E f(x, y)dxdy ) (xy + y x dx (x x + x ( ( x ) / + x x 6 5 6, x x (x + y)dydx ) dx ) ) (xy + y x dx x (x x x x + x + x ( ( x ) / + ( x ) / + ) x ) dx 5

16 Quindi E f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy E E f(x, y)dxdy + E f(x, y)dxdy. Alternativamente proviamo a descrivere E attraverso le coordinate polari. Si ha π } E (ρ, θ) : ρ, θ π. unque (molto più brevemente!) si ha Esercizio.8. E f(x, y) dx dy π π/ [ ρ ρ dρ ] ρ (cos θ + sin θ) dρ dθ π π/ (cos θ + sin θ) dθ [(sin θ cos θ)] π π/. ati gli insiemi A, B, C R, definiti da A (x, y) R : x + (y ) 9, x }, B (x, y) R : x + (y ), y }, C A B, calcolare C x dx dy. L insieme A è la parte di cerchio di centro (, ) e raggio contenuto nel primo quadrante; l insieme B è la parte esterna al cerchio di centro (, ) e raggio contenuta nel semipiano y ; l insieme C dunque è un quarto di corona circolare. La cosa migliore è passare a coordinate polari. Si ha C (ρ, θ) [, + ) [, π) : ρ θ [/ π, π]}. Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione vale ρ. unque si ha C x dx dy ρ sin θ π π /π / π 9. ρ ρ cos θ dρ dθ ρ dρ π / π cos θ dθ 6