Integrali multipli - Esercizi svolti

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1 Integrali multipli - Esercizi svolti Integrali di superficie. Si calcoli l integrale di superficie Σ z +y +4(x +y ) dσ, dove Σ è la parte di superficie di equazione z = x y che si proietta in = {(x,y) R x +y, x +4y 4}.. Si calcoli l integrale Σ x +4z dσ, dove Σ è la superficie di equazioni parametriche x = u Σ : y = v z = u +v con (u,v) = {(u,v) R u +v v, v oppure u }. 3. Si consideri il solido di R 3 S = {(x,y,z) R 3 x +z 9, x +z 9 y }. (a) Calcolare il volume di S; (b) calcolare l area della superficie totale di S. 4. Sia E = {(x,y,z) R 3 x +y, z 9+xy}. Calcolare l area della superficie frontiera di E. 5. Calcolare l area della superficie ottenuta con una rotazione completa della curva { x = sintcost γ : t π y = 4sint attorno all asse y.

2 Integrali di linea e di flusso - Teoremi di Green, Gauss, Stokes 6. Calcolare l integrale di linea del campo F = (y z,z+x,x+y) lungo γ(t) = (cost, sint, sint), con t [,π]. 7. Dato il campo F = (y, x) e la curva γ = γ γ, dove { x = cos γ : 3 t y = sin 3 t t [, π ] e γ è l arco di circonferenza di equazione x +y = situato nel primo quadrante, si calcoli il lavoro di F lungo γ percorsa in verso antiorario. Si utilizzi il risultato ottenuto per calcolare l area della regione C delimitata da γ. 8. Utilizzando il teorema di Green, calcolare l area della regione T R delimitata dal sostegno della curva chiusa γ = γ γ γ 3, dove γ : { x = cos 3 t y = sin 3 t t [, π ] e γ è l arco di ellisse x + y 4 = contenuto nel primo quadrante e γ 3 è semicirconferenza di ( ) centro, 3 e raggio contenuta nel primo quadrante. 9. Dato il campo vettoriale F = ( ( x)(+y ) ) +x,y, si calcoli la circuitazione di F lungo il bordodel triangolo di vertici (,), (,)(,) percorso in verso antiorario.. Determinare il flusso del campo F = (,z,y) attraverso la calotta x = u v σ : y = u u, v. z = v. Dato il campo F = ( z,x,y), si calcoli il lavoro di F lungo la curva γ intersezione del piano z = y con il paraboloide di equazione z = x +y, precorsa in modo che la sua proiezione γ sul piano (x, y) risulti percorsa in verso antiorario.

3 . Dato il campo vettoriale F = (z,x,y), si calcoli il flusso di rot( F) attraverso la porzione di superficie S, di equazione z = xy che si proietta nel dominio D = {(x,y) R x +y } (con n, versore normale, orientato verso l alto) si direttamente, sia applicando il teorema di Stokes. 3. Si calcoli il flusso del campo F = (z,x y,y z) uscente dalla superficie del solido S = {(x,y,z) R 3 x +y z +x +y }. 4. Calcolare il flusso del campo F = (,z, y 3 ) attraverso la superficie S = {(x,y,z) R 3 x = 3y +z, x 3} orientata in modo che la normale formi un angolo ottuso con il semiasse x positivo.

4 SOLUZIONI Integrali di superficie. Parametrizziamo la superficie Σ nel modo seguente x = u Σ y = v z = u v con (u,v) = {(u,v) R u +v, u +4v 4}. Il vettore normale N è dato da i j k N = u = ( u,v,) v e dunque I = f(u,v,u v ) N(u,v) dudv = u dudv = 4 u dudv dove = {x, y }. y x Se indichiamo inoltre con possiamo scrivere Passando a coordinate polari ellittiche E = {(u,v) R u +4v 4, u, v } E = {(u,v) R u +v, u, v } I = 4 u dudv 4 u dudv. E E { u = ρcosθ v = ρsinθ ρ, θ π

5 otteniamo che u dudv = π E. Analogamente, utilizzando le coordinate polari otteniamo che E u dudv = π 6. Concludiamo che I = 4 π 4 π 6 = 7π 4.. Il dominio è rappresentato nella figura seguente: v u Dalla parametrizzazione x = u Σ : y = v z = u +v (u,v) ricaviamo il vettore normale i j k N = u = ( u, v,). v Quindi I = = = u +4u +4(u +v ) +4v dudv = dv v v v v udu+ (v v )dv =. dv v v ududv = udu = 3. Il solido S si ottiene mediante una rotazione completa di D attorno all asse y.

6 y z 3 x D 9 (a) Per calcolare il volume V integriamo per strati paralleli al piano xz: ( ) V = dxdydz = dxdz dy = (Area(S y )dy, S S y dove S y è la corona circolare di raggi e y z S y y +9 x Quindil areadis y èdatadaπ(y+9 ) = π(y+8)esostituendonellaformulaprecedente V = π (y +8)dy = 3π. 8 (b) L area della superficie totale è la somma dell area A della base inferiore più l area A della superficie interna del cilindro più l area A 3 della superficie laterale della porzione di paraboloide y = x +z 9. La base superiore è una corona circolare di raggi e 3 e dunque A = 9π π = 8π.

7 Il cilindro interno ha raggio e lunghezza 8, e quindi A = π 8 = 6π. Per quanto riguarda il paraboloide, se poniamo f(x,z) = x +z 9, abbiamo A 3 = +fx +fz dxdz = +4x +4z dxdz, D D dove D = {(x,z) R x +z 9}. Passando a coordinate polari si ottiene A 3 = π 6 ( ), e quindi l area superficie totale di S risulta essere 4π + π 6 ( ). Equivalentemente, la superficie del paraboloide si può ottenere dalla rotazione della curva γ : { x = t y = t 9 t 3, attorno all asse y e dunque, applicando il teorema di Guldino x 3 γ A 3 = l γ π x B = l γ π = π x = π t +4t l dt = π γ γ 6 ( ). 4. Il cerchio di base ha area π. La superficie laterale del cilindro ha equazione parametrica x = cosu S : y = sinu (u,v) = {(u,v) R u π, v 9+cosusinu} z = v da cui otteniamo N(u,v) = (cosu,sinu,) e dunque Area(S) = = π N(u,v) dudv = du 9+cosusinu cos u+sin ududv = dv = 8π. La calotta superioredi E haequazione cartesiana z = f(x,y) = 9+xy ela suaproiezione sul piano xy è l insieme C = {(x,y) R x +y }. Quindi la sua area è data da Area = +fx +f y dxdy = +x +y dxdy = C C π = dθ +ρ ρdρ = π 3 (3 ).

8 L area totale della superficie è 9π + π 3 (3 ). 5. Applicando il teorema di Guldino Area = l γ πx B = l γ π = π = 4π π π l γ γ x = π sintcost γ (t) dt = γ x = sintcost(+cos t)dt = 4π.

9 Integrali di linea e di flusso - Teoremi di Green, Gauss, Stokes 6. Dalla definizione si ha F(P)dP = γ = = π π ( sint sint, sint+cost,cost+ sint) ( sint, cost, cost)dt = (4 cos t+4sintcost)dt = 4 π. 7. Per la proprietà di additività degli integrali di linea abbiamo F(P)dP = F(P)dP + F(P)dP. γ γ γ γ y x Quindi F(P)dP = γ = = = 3 4 π π π π (sin 3 t, cos 3 t) ( 3cos tsint,3sin tcos)dt+ ( 3cos tsin 4 t 3sin tcos 4 t)dt (sint) dt π = 5 6 π. Applicando il teorema di Green: 5 6 γ π = F(P)dP = γ e dunque Area(C) = 5 3 π. C π dt = 3 π (sint, cost) ( sint,cost)dt = sin tcos tdt π = ( F x F ) dxdy = ( )dxdy = Area(C) y C

10 8. Parametrizziamo le tre curve nel modo seguente: γ : γ : γ 3 : { x = cos 3 t y = sin 3 t [, π t ] { x = cost t [, π y = sint ] { x = cost y = 3 + cost t [ π, π ] Posto F = (,x), dal teorema di Green risulta: ( F Area(T) = dxdy = T T x F ) dxdy = F(P)dP = y γ π = F(P)dP = (,cos 3 t) ( 3cos tsint,3sin tcost)dt+ γ γ γ 3 π π + (,cost) ( sint,cost)dt (, ) cost ( sint, ) cost dt = = 3 π ( cos t)cos 4 tdt+ π cos tdt π cos tdt = 9 3 π. 9. Applicando il teorema di Green: ( F F(P)dP = γ T x F ) y(x ) dxdy = y T +x dxdy = x+ y(x ) (x ) = dx +x dy = +x ( x) dx = x) 3 = 4 +x dx = 4 x (x 3)dx+4 x + dx+8 dx x + = = 4log+π.

11 . Il flusso di F attraverso σ è dato da F n = F(σ(u,v)) N(u,v)dudv, dove = {(u,v) R u, v } σ e Quindi σ F n = N = σ u σ v = i j k 4uv = 4u v (, 4uv, 4u v). (,u,v) (, 4uv, 4u v)dudv = = ( 4uv 4u v)dudv = 4 =. du (uv 3 +u 3 v)dv =. Calcolo diretto: la curva γ ha equazione cartesiana: { { z = x +y x +y y = z = y z = y ( ) x + y = 4 z = y da cui si ricavano le equazioni parametriche x = cost γ : y = + sint z = + sint t [,π]. z N γ γ y x Quindi F(P) dp = γ = π π ( sint, cost, + sint ) ( 4 sint+ 4 sin t 4 cos t+ 4 cost+ 4 sintcost ( sint, cost, ) cost ) dt = π. dt

12 Applicando il Teorema di Stokes: la curva γ racchiude la superficie Σ = {(x,y,z) R 3 z = y, x +y z} che si proietta nel piano z = sul cerchio C = {(x,y) R x + y y }. Il vettore normale a Σ è N = (,,). Quindi F(P) dp = rot( F) n = (,,) (,,)dxdy = γ Σ C = dxdy = Area(C) = π C.. Calcolo diretto: dalle equazioni parametriche di S: x = u y = v z = uv (u,v) = {(u,v) R u +v } ricaviamo i j k N = v = ( v, u,). u Poiché N k =, l orientazione è corretta. Inoltre rot( F) = (,,), da cui rot( F) n = (,,) ( v, u,)dudv = S = π dθ ( ρsinθ +ρcosθ)ρdρ = π. Col Teorema di Stokes: parametrizziamo il bordo di S nel modo seguente: x = cost S : y = sint t [,π]. z = costsint = sint Quindi S rot( F) n = S F(P) dp = π ( ) sint,cost,sint ( sint,cost,cost)dt = π. 3. La proiezione di S sul piano (x,y) è D = {(x,y) R x +y }.

13 z x D y Applicando il teorema di Gauss: Φ S ( F) = = F n = div( F)dxdydz = (x +y )dxdydz = S S S +x +y π dxdy (x +y )dz = dθ ρ (+ρ ρ)ρdρ = π D x +y Dalle equazioni parametriche di S x = 3u +v S : y = u z = v (u,v) = {(u,v) R 3u +v 3} ricaviamo i j k N = 6u = (, 6u, v). v

14 z y 3 x Poiché N i = >, il vettore N forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle x. Come vettore normale ad S bisogna considerare (, 6u, v). Quindi Φ S ( F) = (,v, u 3 ) (,6u,v)dudv e passando a coordinate polari ellittiche (,v, u 3 ) (,6u,v)dudv = π. 3