Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti

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1 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green Esercizi sul Teorema di Stokes Esercizi sul Teorema di Gauss Esercizi su campi conservativi e potenziali Esercizi su forme esatte e primitive

2 2 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali utilizzando il Teorema di Green: a) γ y 2 d + dy, dove γ parametrizza C =, y) R 2 : 2 + y 2 = 1 inducendo su di esso un verso di percorrenza antiorario. [π] b) F dp, dove F, y) = 2 y 3, y ), e γ è una parametrizzazione del bordo di γ ] A =, y) R 2 : y 2 4 orientato positivamente. [ 63 8 π a) La forma differenziale ω = y 2 d + dy è di classe C su R 2 ma non è esatta, perchè se lo fosse sarebbe anche chiusa. Infatti, posto ω = f 1 d + f 2 dy con si ha che f 1, y) = y 2, f 2, y) =, 1 y, y) = 2y 1 = 2, y). Ne segue che ω non è esatta. Calcoliamo l integrale ω. Osserviamo che C è la circonferenza di centro l origine γ O e raggio 1. Quindi C = A, dove A =, y) R 2 : 2 + y 2 < 1. Per il Teorema di Green si ha che 2 ω = γ A, y) ) 1 y, y) d dy = 1 2y)d dy = A e passando in coordinate polari nel piano 2π [ 1 ] = 1 2ρ sin ϑ)ρ dρ dϑ = = 2π 2π sin ϑ ) dϑ = π. [ 1 2 ρ ρ3 sin ϑ] dϑ = b) Il campo vettoriale F, y) = 2 y 3, y ) è di classe C su R 2 ma non è conservativo. Infatti, posto F = f 1, f 2 ) con f 1, y) = 2 y 3, f 2, y) = y,

3 Esercizi sul Teorema di Green 3 si ha che 1 y, y) = 32 y 2 = 2, y). Ne segue che F non è conservativo. Calcoliamo l integrale F dp. Per il Teorema di Green si ha che γ F dp = passando in coordinate polari nel piano A γ 2, y) ) 1 y, y) d dy = 3 2 y 2 d dy = A 2π ) [ 2 ] = 3 cos 2 ϑ sin 2 ϑ dϑ ρ 5 dρ = 3 2π ) [ ] 1 2 sin 2 2ϑ dϑ ρ6 = 1 = 63 8 [ ] 1 2π 4 2ϑ sin 2ϑ cos 2ϑ) = 63 8 π.

4 4 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 2 Esercizi sul Teorema di Stokes Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali utilizzando il Teorema di Stokes detto anche del rotore): a) ) z 2 + y d + z dy + y dz, dove Σ Σ =, y, z) R 3 : z = 1 2 y 2, 2 + y 2 1 con Σ orientato positivamente. [ π] b) y ) d + 2y + z) dy z dz, dove Σ Σ =, y, z) R 3 : z = 2 + y 2, 2 + y 2 1 con Σ orientato positivamente. [π] c) F dp, dove F, y, z) = y + z, + z, + y) e γ è una parametrizzazione γ del bordo di Σ =, y, z) R 3 : 2 + y 2 + z 2 1, y = z orientato in senso antiorario rispetto ad un osservatore posto lungo l asse z. [] a) La forma differenziale ω = z 2 + y ) d + z dy + y dz è di classe C su R 3 ma non è esatta, perchè se lo fosse sarebbe anche chiusa. Infatti, posto ω = f 1 d + f 2 dy + f 3 dz e F = f 1, f 2, f 3 ) con f 1, y, z) = z 2 + y, f 2, y, z) = z, f 3, y, z) = y, si ha che i j k i j k rotf, y, z) = y z = f 1, y, z) f 2, y, z) f 3, y, z) y z = z 2 + y z y = 2zj k =, 2z, 1). Ne segue che F non è conservativo e ω non è esatta. Calcoliamo l integrale ω. Per il Teorema di Stokes si ha che Σ Σ ω = Σ F dp = rotf n, Σ

5 Esercizi sul Teorema di Stokes 5 dove n è il versore normale uscente da Σ. La superficie Σ è il grafico della funzione g : K R, g, y) = 1 2 y 2, dove K =, y) R 2 : 2 + y 2 1. È quindi parte del paraboloide di equazione z = 1 2 y 2 al di sopra del piano z =. Si ha che Σ = σk), dove σ : K R 3 è definita da σ, y) =, y, g, y)) =, y, 1 2 y 2). Per definizione di integrale di flusso si ha che rotf n = rotf σ, y)) N, y) d dy, Σ K dove N, y) è il vettore normale esterno a Σ nel punto σ, y) uscente da Σ. Si ha che il vettore N 1, y) = σ σ, y) y, y) è normale alla superficie Σ = σk). Si ha che N 1, y) = σ σ, y) y, y) = g ), y), g y, y), 1 = 2, 2y, 1). Questo vettore normale è uscente da Σ. Quindi un vettore uscente è N, y) = N 1, y) = 2, 2y, 1). Ne segue che rotf σ, y)) N, y) = e Σ rotf n = K, y 2) ), 1 2, 2y, 1) = 4y 1 2 y 2) 1 rotf σ, y)) N, y) d dy = passando in coordinate polari nel piano 2π 1 [ = 4ρ 1 ρ 2) ] ) sin ϑ 1 ρ dρ dϑ = π. K [ 4y 1 2 y 2) ] 1 d dy = b) La forma differenziale ω = y ) d + 2y + z), dy z dz è di classe C su R 3 ma non è esatta, perchè se lo fosse sarebbe anche chiusa. Infatti, posto ω = f 1 d + f 2 dy + f 3 dz e F = f 1, f 2, f 3 ) con f 1, y, z) = y, f 2, y, z) = 2y + z, f 3, y, z) = z, si ha che i j k rotf, y, z) = y z = i j k y z = f 1, y, z) f 2, y, z) f 3, y, z) y 2y + z z

6 6 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti = i k = 1,, 1). Ne segue che F non è conservativo e ω non è esatta. Calcoliamo l integrale ω. Per il Teorema di Stokes si ha che Σ Σ ω = Σ F dp = Σ rotf n, dove n è il versore normale uscente da Σ. La superficie Σ è il grafico della funzione g : K R, g, y) = 2 + y 2, dove K =, y) R 2 : 2 + y 2 1. È quindi parte del semicono di equazione z = 2 + y 2 al di sotto del piano z = 1. Si ha che Σ = σk), dove σ : K R 3 è definita da ) σ, y) =, y, g, y)) =, y, 2 + y 2. Per definizione di integrale di flusso si ha che rotf n = rotf σ, y)) N, y) d dy, Σ K dove N, y) è il vettore normale esterno a Σ nel punto σ, y) uscente da Σ. Si ha che il vettore N 1, y) = σ σ, y) y, y) è normale alla superficie Σ = σk). Si ha che N 1, y) = σ σ, y) y, y) = = 2 + y, 2 g ), y), g y, y), 1 = ) y 2 + y, 1. 2 Questo vettore normale è entrante in Σ. Quindi un vettore uscente è N, y) = N 1, y) =, y )., 1 Ne segue che 2 +y 2 2 +y 2 rotf σ, y)) N, y) = 1,, 1) 2 + y 2, y 2 + y 2, 1 ) = y 2 e Σ rotf n = K rotf σ, y)) N, y) d dy = K 1 ) d dy = 2 + y 2 passando in coordinate polari nel piano 2π [ 1 ] = 1 cos ϑ)ρ dρ dϑ = π.

7 Esercizi sul Teorema di Stokes 7 c) Il campo vettoriale F, y, z) = y + z, + z, + y) è di classe C su R 3 ed è conservativo. Infatti, posto F = f 1, f 2, f 3 ) con f 1, y, z) = y + z, f 2, y, z) = + z, f 3, y, z) = + y, si ha che i j k rotf, y, z) = y z = i j k y z =. f 1, y, z) f 2, y, z) f 3, y, z) y + z + z + y Poichè R 3 è semplicemente connesso, ne segue che F è conservativo. Quindi essendo la curva γ chiusa, si ha che F dp =. γ

8 8 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 3 Esercizi sul Teorema di Gauss Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali di flusso utilizzando il Teorema di Gauss detto anche della divergenza): a) b) c) d) = F n, dove F, y, z) =, y, z 2 ), =, y, z) R 3 : 1 < z < 2 y 2 F n, dove F, y, z) =, y, z), [ ], y, z) R 3 : + y + z < 1, >, y >, z > 1 2 F n, dove F, y, z) = 2, y 2, z ), =, y, z) R 3 : 2 + y 2 < z < 1 F n, dove F, y, z) = 3, y 3, z 3), [ ] =, y, z) R 3 : 2 + y 2 + z 2 < 1, z > 6 5 π [ π 3 ] [ π 2 ] a) Per il Teorema di Gauss si ha che F n = dove, posto F = f 1, f 2, f 3 ), si ha che divf, y, z) d dy dz, divf, y, z) = 1, y, z) + 2 y, y, z) + 3, y, z). z Quindi divf, y, z) = 21 + z) e F n = divf, y, z) d dy dz = z) d dy dz = integrando per fili paralleli all asse z si ottiene [ ] 2 y 2 = z) dz d dy = 2 [z + 1 ] 2 y 2 Ω 1 Ω 2 z2 d dy = 1 [ 1 = 2 Ω 2 2 y y 2) 2 ] d dy = 2

9 Esercizi sul Teorema di Gauss 9 dove Ω = ottiene = 2, y) R 2 : 2 + y 2 < 1 e passando in coordinate polari nel piano si 2π ) [ 1 dϑ b) Per il Teorema di Gauss si ha che F n = 1 2 ρ2 + 1 ) ] [ 1 2 ρ4 ρ dρ = 4π 4 ρ2 1 4 ρ4 + 1 ] 1 12 ρ6 = π 3. dove, posto F = f 1, f 2, f 3 ), si ha che divf, y, z) d dy dz, divf, y, z) = 1, y, z) + 2 y, y, z) + 3, y, z). z Quindi divf, y, z) = 3 e F n = Ω divf, y, z) d dy dz = 3 d dy dz = integrando per fili paralleli all asse z si ottiene [ 1 y ] = 3 dz d dy = 3 1 y) d dy = dove Ω = = 3, y) R 2 : 1 [ 1 Ω < < 1, < y < 1 è y-semplice e si ottiene ] 1 y) dy d = 3 = 3 2 c) Per il Teorema di Gauss si ha che F n = 1 dove, posto F = f 1, f 2, f 3 ), si ha che 1 1 ) 2 d = 1 2. [1 )y 1 ] 1 2 y2 d = divf, y, z) d dy dz, divf, y, z) = 1, y, z) + 2 y, y, z) + 3, y, z). z Quindi divf, y, z) = 2 + 2y + 1 e F n = divf, y, z) d dy dz = 2 + 2y + 1) d dy dz = integrando per fili paralleli all asse z si ottiene [ 1 ] = 2 + 2y + 1) dz d dy = 1 2 y 2) 2 + 2y + 1) d dy = Ω 2 +y 2 Ω dove Ω =, y) R 2 : 2 + y 2 < 1 e passando in coordinate polari nel piano si ottiene = 2π [ 1 1 ρ 2) ] 2ρ cos ϑ + 2ρ sin ϑ + 1)ρ dρ dϑ = π 2.

10 1 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti d) Per il Teorema di Gauss si ha che F n = dove, posto F = f 1, f 2, f 3 ), si ha che divf, y, z) d dy dz, divf, y, z) = 1, y, z) + 2 y, y, z) + 3, y, z). z Quindi divf, y, z) = y 2 + z 2) e F n = divf, y, z) d dy dz = y 2 + z 2) d dy dz = passando in coordinate polari nello spazio si ottiene 2π ) ) π 2 1 ) = 3 dϕ sin ϑ dϑ ρ 4 dρ = 6 5 π.

11 4. Esercizi su campi conservativi e potenziali 11 4 Esercizi su campi conservativi e potenziali Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Sia F : R 2 R 2 il campo vettoriale F, y) = 2y ) 2, 1 ) ire se F ammette potenziale e in caso affermativo determinare un potenziale f di F. [ f, y) = y + c, c R ] 1+ 2 Poniamo F = f 1, f 2 ) con f 1, y) = 2y ) 2, f 2, y) = Essendo f 1 e f 2 di classe C su R 2, si ha che anche F è di classe C su R 2 che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che Ne segue che F è conservativo. 1 y, y) = 2 2, y) = eterminiamo ora un potenziale f di F. Si ha che ) ), y) = f 1, y) = 2y ) 2, 4.2) Integrando 4.2) rispetto a y si ottiene 4.3) y, y) = f 2, y) = f, y) = dy = y c), dove c è una funzione della sola variabile. Sostituendo in 4.1) si ottiene 2y, y) = ) 2 + c ) = Sostituendo in 4.3) si ottiene che un potenziale f di F è 2y ) 2 = c ) = = c) = c R. f, y) = y + c, c R

12 12 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti Esercizio 2. Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F, y, z) = 2y + 1, 2 1, 2z). ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare un potenziale f di F. [ f, y, z) = 2y + 1) y + z 2 + c, c R ] Poniamo F = f 1, f 2, f 3 ) con f 1, y, z) = 2y + 1, f 2, y, z) = 2 1, f 3, y, z) = 2z. Essendo f 1, f 2, f 3 di classe C su R 3, si ha che anche F è di classe C su R 3 che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che F è irrotazionale, cioè rotf =. Infatti, i j k rotf, y, z) = y z = i j k y z =. f 1, y, z) f 2, y, z) f 3, y, z) 2y z Ne segue che F è conservativo. eterminiamo ora un potenziale f di F. Si ha che 4.4), y, z) = f 1, y, z) = 2y + 1, 4.5) y, y, z) = f 2, y, z) = 2 1, 4.6) Integrando 4.4) rispetto a si ottiene 4.7) z, y, z) = f 3, y, z) = 2z. f, y, z) = 2y + 1) d = 2y + 1) + cy, z), dove c è una funzione delle sole variabili y e z. Sostituendo in 4.5) si ottiene c, y, z) = 2 + y, z) = 2 1 y y da cui segue che 4.8) c y, z) = 1. y

13 Esercizi su campi conservativi e potenziali 13 Integrando 4.8) rispetto a y si ottiene cy, z) = dy = y + kz), dove k è una funzione della sola variabile z. Sostituendo in 4.7) si ottiene 4.9) f, y, z) = 2y + 1) y + kz). Sostituendo in 4.6) si ottiene z, y, z) = k z) = 2z = kz) = z 2 + c, c R. Quindi sostituendo in 4.9) si ottiene che un potenziale f di F è f, y, z) = 2y + 1) y + z 2 + c, c R. Esercizio 3. Siano F : R 2 R 2 il campo vettoriale F, y) = ) e [sin + y) + cos + y)], e cos + y) e γ n : [, π] R 2 la curva parametrica γ n t) = cos nt, sin nt), n N, n 1. ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare un potenziale f di F e calcolare l integrale di F lungo γ n. [ f, y) = e sin + y) + c, c R; ] se n è pari F dp = γ n e + e 1) sin 1 se n è dispari. Poniamo F = f 1, f 2 ) con f 1, y) = e [sin + y) + cos + y)], f 2, y) = e cos + y). Essendo f 1 e f 2 di classe C su R 2, si ha che anche F è di classe C su R 2 che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che Ne segue che F è conservativo. 1 y, y) = 2, y) = e [cos + y) sin + y)]. eterminiamo ora un potenziale f di F. Si ha che 4.1), y) = f 1, y) = e [sin + y) + cos + y)],

14 14 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 4.11) Integrando 4.11) rispetto a y si ottiene 4.12) y, y) = f 2, y) = e cos + y). f, y) = e cos + y) dy = e sin + y) + c), dove c è una funzione della sola variabile. Sostituendo in 4.1) si ottiene, y) = e [sin + y) + cos + y)] + c ) = e [sin + y) + cos + y)] = c ) = = c) = c R. Sostituendo in 4.12) si ottiene che un potenziale f di F è f, y) = e sin + y) + c, c R. Calcoliamo infine l integrale curvilineo di F lungo γ n, dove γ n : [, π] R 2 è la curva parametrica γ n t) = cos nt, sin nt), n N, n 1. Osserviamo che per n pari la curva γ n è chiusa. Quindi, essendo F consevativo, si ha che per n pari γ n F dp =. Essendo inoltre f un potenziale di F si ha che per n dispari γ n F dp = fγ n π)) fγ n )) = f 1, ) f1, ) = e + e 1) sin 1. Esercizio 4. Siano F : R 3 R 3 il campo vettoriale F, y, z) = y + z, + z, + y) e γ una curva parametrica che parametrizza il bordo di =, y, z) R 3 : 2 + y 2 + z 2 < 1, + y + z =, inducendo su di esso un verso di percorrenza orario rispetto ad un osservatore posto sul piano + y + z = nel verso dell asse z. ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare un potenziale f di F e calcolare l integrale di F lungo γ. [ f, y, z) = y + z + yz + c, c R; γ ] F dp =

15 Esercizi su campi conservativi e potenziali 15 Poniamo F = f 1, f 2, f 3 ) con f 1, y, z) = y + z, f 2, y, z) = + z, f 3, y, z) = + y. Essendo f 1, f 2, f 3 di classe C su R 3, si ha che anche F è di classe C su R 3 che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che F è irrotazionale, cioè rotf =. Infatti, i j k rotf, y, z) = y z = i j k y z =. f 1, y, z) f 2, y, z) f 3, y, z) y + z + z + y Ne segue che F è conservativo. eterminiamo ora un potenziale f di F. Si ha che 4.13), y, z) = f 1, y, z) = y + z, 4.14) y, y, z) = f 2, y, z) = + z, 4.15) Integrando 4.13) rispetto a si ottiene 4.16) z, y, z) = f 3, y, z) = + y. f, y, z) = y + z) d = y + z) + cy, z), dove c è una funzione delle sole variabili y e z. Sostituendo in 4.14) si ottiene da cui segue che 4.17) Integrando 4.17) rispetto a y si ottiene c, y, z) = + y, z) = + z y y c y, z) = z. y cy, z) = z dy = yz + kz), dove k è una funzione della sola variabile z. Sostituendo in 4.16) si ottiene 4.18) f, y, z) = y + z) + yz + kz).

16 16 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti Sostituendo in 4.15) si ottiene z, y, z) = + y + k z) = + y = k z) = = kz) = c, c R. Quindi sostituendo in 4.18) si ottiene che un potenziale f di F è f, y, z) = y + z + yz + c, c R. Essendo F conservativo su R 3 e γ una curva chiusa si ha che γ F dp =. Esercizio 5. Sia F : R 2 R 2 il campo vettoriale F, y) = ) y, + 2y. ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare un potenziale f di F. [ f, y) = 3 + y + y 2 + c c R ] Poniamo F = f 1, f 2 ) con f 1, y) = y, f 2, y) = + 2y. Essendo f 1 e f 2 di classe C su R 2, si ha che anche F è di classe C su R 2 che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che Ne segue che F è conservativo. 4.19) 4.2) 1 y, y) = 2, y) = 1. eterminiamo ora un potenziale f di F. Si ha che, y) = f 1, y) = y, y, y) = f 2, y) = + 2y. Integrando 4.19) rispetto a si ottiene 4.21) f, y) = y) d = 3 + y + cy), dove c è una funzione della sola variabile y. Sostituendo in 4.2) si ottiene y, y) = + c y) = + 2y = c ) = 2y = c) = y 2 + c, c R.

17 Esercizi su campi conservativi e potenziali 17 Sostituendo in 4.21) si ottiene che un potenziale f di F è f, y) = 3 + y + y 2 + c, c R.

18 18 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 5 Esercizi su forme esatte e primitive Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Si consideri la forma differenziale ω = 2y y 2 d + 22 y y 2 dy. ire se ω è esatta e in caso affermativo determinare una primitiva f di ω. [ f, y) = log y 2) + c, c R ] Poniamo ω = f 1 d + f 2 dy con f 1, y) = 2y y 2, f 2, y) = 22 y y 2. Essendo f 1 e f 2 di classe C su R 2, si ha che anche ω è di classe C su R 2 che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che Ne segue che ω è esatta. 1 y, y) = 2 4y, y) = eterminiamo ora una primitiva f di ω. Si ha che y 2 ) ), y) = f 1, y) = 2y y 2, 5.2) y, y) = f 2, y) = Integrando 5.1) rispetto a si ottiene 5.3) f, y) = 22 y y 2. 2y y 2 d = log y 2) + cy), dove c è una funzione della sola variabile y. Sostituendo in 5.2) si ottiene, y) = 22 y y y 2 + c y) = 22 y y 2 = c y) = = cy) = c R. Sostituendo in 5.3) si ottiene che una primitiva f di ω è f, y) = log y 2) + c, c R.

19 Esercizi su forme esatte e primitive 19 Esercizio 2. eterminare le regioni massimali del piano su cui è esatta la forma differenziale ω = 2y 1 ) d + 2 dy e determinare una primitiva f di ω su tali regioni. regioni massimali: Ω 1 =, y) R 2 : <, Ω 2 =, y) R 2 : > ; 2 y log ) + c se, y) Ω 1 primitive: f, y) = c R. 2 y log + c se, y) Ω 2, Si ha che dom ω) = che dom ω) = Ω 1 Ω 2, dove Ω 1 = Poniamo ω = f 1 d + f 2 dy con, y) R 2 :. Osseviamo che dom ω) non è connesso e, y) R 2 : <, Ω 2 =, y) R 2 : >. f 1, y) = 2y 1, f 2, y) = 2. Essendo f 1 e f 2 di classe C sia su Ω 1 che su Ω 2, si ha che anche ω è di classe C sia su Ω 1 che su Ω 2 che sono entrambi semplicemente connessi. Inoltre si osserva che 1 y, y) = 2, y) = 2. Ne segue che ω è esatta sia su Ω 1 che su Ω 2. eterminiamo ora una primitiva f di ω su Ω 1 e su Ω 2. Si ha che 5.4), y) = f 1, y) = 2y 1, 5.5) Integrando 5.5) rispetto a y si ottiene 5.6) y, y) = f 2, y) = 2. f, y) = 2 dy = 2 y + c), dove c è una funzione della sola variabile. Sostituendo in 5.4) si ottiene, y) = 2y+c ) = 2y 1 = c ) = 1 = c) = log +c, c R.

20 2 Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti Sostituendo in 5.6) si ottiene che una primitiva f di ω è f, y) = 2 y log ) + c se, y) Ω 1 2 y log + c se, y) Ω 2, c R. Esercizio 3. Si consideri la forma differenziale [ ω = log + y) + ] d + + y + y dy. ire se ω è esatta e in caso affermativo determinare una primitiva f di ω. Poniamo ω = f 1 d + f 2 dy con [f, y) = log + y) + c, c R] f 1, y) = log + y) + + y, f 2, y) = + y. Essendo f 1 e f 2 di classe C su, y) R 2 : + y >, si ha che anche ω è di classe C su, y) R 2 : + y > che è semplicemente connesso. Inoltre si osserva che Ne segue che ω è esatta. 5.7) 5.8) 1 y, y) = 2 y, y) = eterminiamo ora una primitiva f di ω. Si ha che + y) 2., y) = f 1, y) = log + y) + + y, y, y) = f 2, y) = + y. Integrando 5.8) rispetto a y si ottiene 5.9) f, y) = dy = log + y) + c), + y dove c è una funzione della sola variabile. Sostituendo in 5.7) si ottiene, y) = log + y)+ + y +c ) = log + y)+ + y = c ) = = c) = c. Sostituendo in 5.9) si ottiene che una primitiva f di ω è f, y) = log + y) + + c, c R. + y