Integrali di superficie

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1 Integrali di superficie Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 1 / 27

2 Superfici in forma parametrica Procediamo in modo analogo a quanto fatto per le curve. Sia T R 2. Una superficie è l immagine di una funzione r : T R 3 che ad ogni coppia (u, v) T associa il vettore r(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) Quindi, quando la coppia (u,v) varia nel sottoinsieme T del piano, i corrispondenti punti ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) descrivono una superficie nello spazio. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 2 / 27

3 If grafico di una funzione di due variabili f : T R è un caso particolare di superficie di rappresentazione parametrica: r(u, v) = ( u, v, f (u, v) ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 3 / 27

4 Esempi 1. Sia T = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} e sia f : T R definita da f (x, y) = x 2 + y 2 Il grafico di f è una porzione di paraboloide ellittico. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 4 / 27

5 2. Sia T = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} e sia f : T R definita da f (x, y) = x 2 y 2 Il grafico di f è una porzione di paraboloide iperbolico. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 5 / 27

6 Rappresentazione parametrica di una superficie sferica La superficie sferica di centro (0, 0, 0) e raggio a S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 } ammette la seguente rappresentazione parametrica r(u, v) = (a sin v cos u, a sin v sin u, a cos v) dove (u, v) [0, 2π] [0, π]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 6 / 27

7 Superfici regolari Sia S una superficie data dalla funzione r : T R 3. Il piano tangente alla superficie S nel punto r(u 0, v 0 ) contiene i vettori u r(u 0, v 0 ) e v r(u 0, v 0 ). Tale piano risulta ben definito se i vettori u r(u 0, v 0 ) e v r(u 0, v 0 ) sono non nulli e non paralleli, cioè se In tal caso il versore u r(u 0, v 0 ) v r(u 0, v 0 ) 0. n = u r(u 0, v 0 ) v r(u 0, v 0 ) u r(u 0, v 0 ) v r(u 0, v 0 ) è detto il versore normale alla superficie S nel punto r(u 0, v 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 7 / 27

8 Superfici regolari Definizione Una superficie S di rappresentazione parametrica r = r(u, v), r : T R 2 R 3, di classe C 1 (T ) si dice regolare se in ogni punto (u 0, v 0 ) T. u r(u 0, v 0 ) v r(u 0, v 0 ) 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 8 / 27

9 Esempio Consideriamo la superficie sferica di centro (0, 0, 0) e raggio a con rappresentazione parametrica r(u, v) = (a sin v cos u, a sin v sin u, a cos v), T = [0, 2π] [0, π]. In questo caso si ha u r = ( a sin v sin u, a sin v cos u, 0) v r = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v) Quindi e u r(u, v) v r(u, v) = a sin v r(u, v). u r(u, v) v r(u, v) = a sin v r(u, v) = a 2 sin v. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 9 / 27

10 Esempio Sia f : T R di classe C 1 (T ). Consideriamo la superficie cartesiana (cioè il grafico della funzione f ) di rappresentazione parametrica r(x, y) = (x, y, f (x, y)) dove (x, y) T. In questo caso si ha x r = (1, 0, x f ), y r = (0, 1, y f ) e quindi Allora x r y r = ( x f, y f, 1 ). x r(x, y) y r(x, y) = 1 + f (x, y) 2 > 0. Si tratta quindi di una superficie regolare. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 10 / 27

11 Area di una superficie Ricordando che r (t) dt rappresenta l elemento infinitesimo della lunghezza di una curva di rappresentazione parametrica r : [a, b] R n, chiamiamo ds = u r(u, v) v r(u, v) dudv elemento infinitesimo di area della superficie S. Definizione Sia S una superficie di rappresentazione parametrica r(t ) dove T è limitato e connesso in R 2 e r C 1 (T ). L area di S è data da area(s) = u r(u, v) v r(u, v) du dv. T L area di S non dipende dalla parametrizzazione scelta. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 11 / 27

12 Esempi 1. Calcolare l area della superficie sferica di raggio R e centro (0, 0, 0). Si ha T = [0, 2π] [0, π] e e quindi area(s) = R 2 u r(u, v) v r(u, v) = R 2 sin v. T π sin v du dv = 2πR 2 sin v dv = 4πR 2. 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 12 / 27

13 2. Calcolare l area della calotta sferica ottenuta dalla suddivisione della sfera di raggio r e centro (0, 0, 0) dal piano secante dell equazione z = r h, h (0, r). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 13 / 27

14 area(s) = 2π r h. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 14 / 27

15 Integrali di superficie di campi scalari Definizione Sia S una superficie di rappresentazione parametrica r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (u, v) T, dove T R 2 è limitato e connesso e r C 1 (T ). Sia g : S R un campo scalare continuo. Allora l integrale di superficie di g su S è definito da g(x, y, z) ds S = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) u r(u, v) v r(u, v) du dv. T Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 15 / 27

16 Osservazioni 1 L integrale di superficie non dipende dalla parametrizzazione scelta. Valgono inoltre le proprietà di linearità, additività e confronto. 2 Se g(x, y, z) = 1 su S allora g(x, y, z)ds = area(s). S Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 16 / 27

17 Integrali di superficie di campi vettoriali: il flusso Definizione Sia S una superficie di rappresentazione parametrica r : T R 2 R 3, r = r(u, v) regolare. Sia A R 3 aperto tale che r(t ) A e sia F : A R 3 un campo vettoriale continuo. Si definisce flusso di F attraverso S F n ds = F( r(u, v)) ( u r(u, v) v r(u, v) ) du dv S dove n è il versore normale alla superficie. T Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 17 / 27

18 Teorema di Stokes Definizione Sia A R 3 aperto. Sia F : A R 3 di classe C 1 (A), di componenti F i : A R, i = 1, 2, 3. Si definisce rotore di F e si indica con rot F oppure F il campo vettoriale dato da rot F = F := ( y F 3 z F 2, z F 1 x F 3, x F 2 y F 1 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 18 / 27

19 Teorema (di Stokes) Sia S una superficie di rappresentazione parametrica r = r(u, v) regolare e semplice ( r iniettiva) tale che la sua frontiera Γ sia una curva semplice, chiusa, regolare a tratti. Sia Γ percorsa in modo da lasciare a sinistra il versore normale n di S. Siano A R 3 aperto tale che r(t ) A e F : A R 3 un campo vettoriale di classe C 1 (A). Allora S rot F n ds = Γ F dγ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 19 / 27

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21 Osserviamo che il teorema di Stokes è una generalizzazione del teorema di Green. Infatti, se la superficie S coincide con un dominio piano D R 2 avente come bordo una curva regolare Γ, si ha n = (0, 0, 1) e rot F n = x F 2 y F 1. Quindi il teorema di Stokes si riscrive ( ) x F 2 y F 1 dxdy = cioè il teorema di Green. D Γ F dγ, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 21 / 27

22 Esempio Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F definito da attraverso la superficie F(x, y, z) = (0, 2x, xyz) S = {(x, y, z) R 3 : z = 1 x 2 y 2, z 0} (porzione di paraboloide ellittico). Applichiamo il Teorema di Stokes con Γ (il bordo di S) la circonferenza di centro (0, 0, 0), raggio 1 e giacente sul piano z = 0. Consideriamo una sua rappresentazione parametrica e calcoliamo l integrale curvilineo r(t) = (cos t, sin t, 0), t [0, 2π] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 22 / 27

23 F dγ = Γ = = 2π 0 2π 0 2π 0 F( r(t)) r (t) dt = (0, 2 cos t, 0) ( sin t, cos t, 0) dt 2 cos 2 t dt = 2π. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 23 / 27

24 Teorema della divergenza Definizione Sia A R n aperto. Sia F : A R n di classe C 1 (A), di componenti F i : A R, i = 1,..., n. Si definisce divergenza di F e si indica con div F oppure F il campo scalare dato da div F = F := n i=1 F i x i. Ad esempio, se F : A R 3 si ha div F = F = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3. Se div F = 0 il campo F si dice solenoidale. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 24 / 27

25 Teorema (della divergenza o di Gauss) Siano A R 3 un aperto e F : A R 3 di classe C 1 (A). Sia V un sottoinsieme chiuso e limitato di A tale che la sua frontiera S sia una superficie regolare e chiusa con versore normale n. Allora V divf dxdydz = S F n ds (1) Il teorema della divergenza afferma che il flusso del campo F attraverso la superficie chiusa S è uguale all integrale della divergenza di F esteso alla regione di spazio racchiusa dalla superficie stessa. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 25 / 27

26 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 26 / 27

27 Esempio Sia S la superficie data dal bordo dell insieme Calcolare V = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2, z 0} S F n ds, dove F(x, y, z) = (x, 0, 0). Per il teorema di Gauss si ha F n ds = divf dxdydz = dxdydz S V = vol(v ) = 2πR3 3. V Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 27 / 27