DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 A.A CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ENERGETICA

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 A.A CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ENERGETICA DANIELE ANDREUCCI, SALVATORE FRAGAPANE DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, ROMA, ITALY Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo che quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.), o con *. I richiami ai testi sono identificati così: BPS: Bramanti Pagani Salsa Analisi Matematica 2 AB: Andreucci Bersani Esercizi di Analisi Matematica 2 La numerazione n/m relativa agli esercizi si riferisce all esercizio n del gruppo m, nella raccolta pubblicata sul sito del corso prima dell inizio del corso. 1

2 1. Lunedì 25/02/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Presentazione del corso. Richiami su equazioni di superfici e curve. Superfici di rotazione. 2. Martedì 26/02/2019 (Fragapane) (Aula 4: 08-11) - Introduzione ad R n : definizione di R n ; operazioni di somma e prodotto esterno; struttura di spazio vettoriale; norma e prodotto scalare; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (con dim.). - Topologia di R n : definizioni di intorno sferico e di sfera di centro x 0 e raggio δ; definizioni di punto interno, esterno e di frontiera; definizioni di punto di accumulazione ed isolato; definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato, illimitato, connesso e convesso; definizione di dominio; osservazioni su insiemi aperti e chiusi; R n e sono sia chiusi che aperti; esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.1 Dire se i seguenti insiemi sono chiusi o aperti, limitati o illimitati, connessi, convessi. (a) A = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + y 2 3}. (b) B = {(x, y) R 2 : x + 2y 1, x 2 + y2 4 > 1}. (c) C = {(x, y) R 2 : xy < 1, x 2 y 2 > 0}. (d) D = {( 1 n, 1 n ) R2 : n N}. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 2.1;

3 3. Venerdì 01/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 16-19) - Funzioni di più variabili: riepilogo di alcune equazioni fondamentali della geometria (retta, circonferenza, parabola, ellisse, iperbole, cono, sfera, cilindro, paraboloide ed ellissoide); definizione dominio naturale e grafico di una funzione in più variabili; esempi. - Limiti di funzioni (1): definizione di intorno di infinito; definizioni di limite finito e infinito di una funzione in un punto; disuguaglianza di Young (con dim.); esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.2 Dire se i seguenti insiemi sono chiusi o aperti, limitati o illimitati, connessi e convessi. (a) A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 1}. (b) B = {(x, y, z) R 3 : max{ x, y, z } < 1}. Es.3 Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni, specificandone le proprietà topologiche (a) f(x, y) = arcsin(x 2 + y 2 5). (b) f(x, y) = e 2(x+y) + e 2(x+y) 2. (c) f(x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 1). x2 y 2 + z Es.4 Verificare i seguenti limiti usando la definizione (a) (b) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x 2 x2 + y 2 = 0. x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0. - Esercizi assegnati: i) Dire se il seguente insieme è chiuso o aperto, limitato o illimitato, connesso, convesso: A = {(x, y, z) R 3 : x 1, x 2 + y 2 9}. ii)determinare il dominio naturale della seguente funzione, specificandone le proprietà topologiche: x + y f(x, y) = ln(x 2 + y 2 1) + x y. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.1;

4 4. Lunedì 04/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 11-13) - Limiti di funzioni (2): condizione necessaria per l esistenza del limite con le rette (con dim.); coordinate polari; condizione necessaria e sufficiente con le coordinate polari (con dim.); limite di una funzione all infinito; validità dei classici teoremi sui limiti (s.d.); esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.5 Verificare che i seguenti limiti non esistono. (a) (b) (c) Es.6 Calcolare il seguente limite x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y. 2 lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2. x 3 y x 6 + y 2. x 3 lim (x,y) (0,0) x 2 + y. 2 Es.7 Verificare i seguenti limiti, usando la definizione. (a) lim (x,y) 1 x 2 + y 4 = 0. (b) lim (x,y,z) (x2 + y 4 + z 2 ) =. - Esercizi assegnati: i) Verificare il seguente limite, usando la definizione. ( lim ln (x,y) x 2 + y ) = 0; 2 Paragrafi di riferimento sul testo: BPS:

5 5. Martedì 05/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 08-11) - Limiti di funzioni (3): coordinate sferiche e applicazione su limiti di funzioni in tre variabili. - Funzioni continue (1): definizioni di funzione continua in un punto e in un intervallo; prolungamento continuo; operazioni tra funzioni continue (s.d.); teorema di esistenza degli zeri (con dim.); teorema di Weierstrass (s.d.); definizione di continuità uniforme; la continuità uniforme implica la continuità (s.d.) + controesempio (Es.2); teorema di Heine-Cantor (s.d.); teorema dei valori intermedi (s.d.); esempi. - Campi vettoriali (1): definizione di campo vettoriale; dominio naturale di un campo vettoriale; limite finito in un punto; definizione di continuità in un punto e in un intervallo. - Derivate parziali (1): definizione di derivata parziale; calcolo delle derivate; esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.1 Studiare la continuità delle seguenti funzioni Es.2 (a) f(x, y) = 1, (x, y) = (0, 0) x 2 +y 2 +x x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) e x2 +y 2 1, (x, y) (0, 0) (b) f(x, y) = x 2 +y 2. 1, (x, y) = (0, 0) (x 1)(y 1), (x, y) (0, 0) (x 1) (c) f(x, y) = 2 +(y 1) 2 1, (x, y) = (0, 0) xyz, (x, y, z) (0, 0, 0) x (d) f(x, y, z) = 2 +y 2 +z 2 1, (x, y, z) = (0, 0, 0) f(x, y) = xy è continua ma non uniformemente continua in R 2. Es.1 Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni (a)f(x, y, z) = +x + ln(y + z 2 ). (b)f(x, y, z) = 3x 2 + cos(yz) + e xyz. - Esercizi assegnati: i) Studiare la continuità della seguente funzione sin(x 2 y 2 ), (x, y) (0, 0) (a) f(x, y) = x 2 +y 2 0, (x, y) = (0, 0) 5....

6 Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 4.1.2; 3.3.2; 2.2; Venerdì 08/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 16-19) - Derivate parziali (2): definizione di derivata direzionale; interpretazione geometrica della derivata direzionale; non esistenza di implicazioni tra continuità e derivabilità + controesempi (Es.3 ed Es.4); definizione di differenziabilità; condizioni necessarie per la differenziabilità e formula per il calcolo della derivata direzionale (con dim.); definizione di differenziale; equazione dell iperpiano tangente; normale al piano tangente; esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.2 Calcolare, se esistono, le derivate parziali della funzione x f(x, y) = e 2 +y 2 sin(x + 3y). Es.3 Verificare che la seguente funzione non è derivabile nell origine: f(x, y) = x 2 + y 2 Es.4 Verificare che la seguente funzione è derivabile, ma non continua nell origine: xy, (x, y) (0, 0) x (a) f(x, y) = 2 +y 2. 0, (x, y) = (0, 0) Es.5 Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità della seguente funzione: x 4 y, (x, y) (0, 0) x (a) f(x, y) = 2 +y 2. 0, (x, y) = (0, 0) Calcolare la derivata direzionale di f in (0, 0) lungo la direzione v = (3, 4). Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 4.2; 4.3;

7 7. Lunedì 11/03/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Richiami sugli integrali in R. Significato geometrico. Teoremi fondamentali del calcolo. Primitive. Integrali come funzioni degli estremi di integrazione. Formula di derivazione: d dx g(x) h(x) Esempio di applicazione. Se f è continua in R 2 la funzione f(s) ds = f(g(x))g (x) f(h(x))h (x). F (x) = d c f(x, y) dy, è continua (con cenno di dimostrazione). Esempi di integrali di funzioni di due variabili lungo segmenti, paralleli all asse y o paralleli all asse x. Definizione di integrale doppio di una funzione di due variabili reali su un rettangolo. Esempio 7.1. Calcolo dell integrale di una funzione costante, o costante a tratti, mediante la definizione. Proprietà dell integrale doppio: additività rispetto al dominio di integrazione, linearità. Teorema 7.2. Formule di riduzione per l integrale doppio di una funzione continua su un rettangolo. (Dimostrazione posposta). Esercizio 7.3. Calcolo di [0,1] [0,1] Per casa 7.4. Calcolare: e x+y dx dy, [0,1] [0,1] xe xy dx dy. [0,π] [0,π/2] Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: sin(x y) dx dy.

8 8. Martedì 12/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 08-11) - Derivate parziali (3): teorema del differenziale totale (con dim.); il gradiente dà la direzione di massima crescita (con dim.); definizione di o piccolo; definizione di restrizione; esempi. - Introduzione alle curve su R n (1): definizione di curva continua; sostegno di una curva; definizioni di curva chiusa e di curva semplice; esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.6 Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità della seguente funzione: f(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) x α y β x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) α, β > 0. Es.7 Dopo aver prolungato la seguente funzione nell origine per continuità, studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità nell origine della funzione g(x, y) così ottenuta. f(x, y) = x ln ( 3 + xy x 2 + y 2 Esiste il piano tangente a g in (0, 0). Esistono le derivate direzionali di g in (0, 0). Es.1 Rappresentare le seguenti coppie di curve, specificando se sono chiuse e/o semplici e di quali curve si tratta (a) r 1 (t) = (2 cos t, 3 sin t), t [0, 2π] e r 2 (t) = (2 cos t, 3 sin t), t [0, 4π]; (b) r 1 (t) = (1 + t, 2 + 2t), t [ 1, 0] e r 2 (t) = (1 t, 2 2t), t [0, 1]. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 4.3, 4.4, 2.3.1, ). 8

9 9. Venerdì 15/03/2019 (Andreucci) (Aula 4: 16-19) Dimostrazione del Teorema sulle formule di riduzione per integrali doppi di funzioni continue su rettangoli. Esercizio 9.1. [0,1] [1,2] dx dy (x + y), 2 [0,1] [ 1,0] y 2 dx dy. 1 + x2 Con la formula di riduzione, gli integrali doppi di funzioni a variabili separabili su rettangoli si riducono al prodotto di due integrali semplici. Definizione di integrale doppio su dominio diverso da un rettangolo: tecnica dell estensione a 0 su un rettangolo R. L integrale se esistee non dipende da R. Collegamento con il problema della definizione di area per un dominio generale. Non è detto che l integrale di una funzione continua esista su un dominio molto irregolare. Definizione di area o misura come integrale di 1. Gli insiemi di misura nulla e loro caratterizzazione. Teorema 9.2. (s.d.) Se f è continua in un rettangolo, a parte un insieme di misura nulla, allora è integrabile su quel rettangolo. Teorema 9.3. Il grafico di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha misura nulla come sottoinsieme di R 2. Definizione di domini semplici e regolari. Esempi. Come conseguenza dei precedenti Teoremi, le funzioni continue sono integrabili nei domini semplici o regolari. Formula di riduzione sui domini semplici. Esercizio 9.4. Calcolo di D f, nei casi: f(x, y) = 3x 2 2xy + y, D limitato da x = 0, x = y 2, y = 2; f(x, y) = y ln x, D limitato da x = 2, y = x, xy = 1; f(x, y) = x + y, D = {(x, y) x + y 1}. 9

10 Per casa 9.5. Calcolare e x+cos y sin y dx dy, D [0,1] [0,π] [ 2 3, 8 3 ] [0, 3] { y2 4 x 1} (x x dx dy, 4 y 2 2 xy) dx dy, ( ) π x sin dx dy, D definito da 1 x 2, x y x. 2 y AB: 1.5, 1.7, Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.1.1, 5.1.2, Lunedì 18/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 11-13) - Introduzione alle curve su R n (2): definizioni di curva derivabile e di classe C 1 ; definizioni di vettore velocità e vettore accellerazione; definizioni di curva regolare e di versore tangente. - Derivate parziali (4): teorema di derivazione delle funzioni composte (con dim.); teorema del gradiente nullo (con dim.) + controesempio (Es.8); ortogonalità delle curve di livello (con dim.); derivate successive; teorema di Schwarz (s.d.); esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.8 Lafunzione f(x, y) = arctan( x y ) + arctan(y x ) ha gradiente nullo sul suo dominio, ma non è costante. Es.9 Calcolare le derivate seconde della seguente funzione: f(x, y) = x 3 cos(y 2 ). Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.4.5;

11 11. Martedì 19/03/2019 (Andreucci) (Aula 4: 08-11) Proprietà degli integrali multipli: linearità, additività rispetto al dominio di integrazione, monotonia, positività, di annullamento dell integrando se questo è continuo, del valore assoluto. Risoluzione di alcuni esercizi assegnati per casa. Uso delle simmetrie di integrando e dominio. Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione per fili e integrazione per sezioni. Esercizio ) Volume del paraboloide x 2 + y 2 z 4. 2) Ω z, ove Ω = A 1 A 2, con A 1 = [0, 1] 3 e A 2 = {z x + y}. Per casa ) Ω xz, ove Ω = {x 0, z 0, 0 y 4 x2 z 2 }. 2) Ω xyz, ove Ω = {x 0, y 0, x 2 + y 2 z 2}. 3) D (x + y), ove D = {x2 + y 2 x + y}. 4) Ω z, ove Ω = {x 0, y 0, z 0, 6x + 4y + 3z 12}. 5) volume di Ω = {x 2 + 2y 2 z 4}. 6) 3, 4/900. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.1.3,

12 12. Venerdì 22/03/2019 (Andreucci) (Aula 4: 16-19) Introduzione euristica al cambiamento di variabili negli integrali doppi. Significato del determinante iacobiano come fattore di riscalamento delle aree. Teorema (s.d.) Sia F : A R 2 una trasformazione iniettiva di classe C 1 con inversa C 1. Sia T A un dominio. Sia f C(D), D = F (T ). Allora f(x, y) dx dy = f(f (u, v)) det J(u, v) du dv, D ove J indica la matrice iacobiana di F. T Il Teorema può essere applicabile anche se le ipotesi su F cadono in sottoinsiemi di misura nulla di A. Esercizio Calcolare i seguenti integrali cambiando variabili (o anche no ove possibile): x + y x 2 + y dx dy, D = {0 < 2 a2 x 2 + y 2 b 2, y 0}, coord. polari; D volume dell ellissoide x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 1; usare x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ; cos(x + y) dx dy, D [0,π] [0,π] area di {x y 2x, 1 x + 4y 4}; u = x + 4y, v = y; e y x+y dx dy, D = {x 0, y 0, x + y 1}, u = x + y, v = y. Esercizio D ( ) π x sin dx dy, D = D 1 D 2, 2 y con D 1 = {1 x 2, x y x}, D 2 = {2 x 4, x y 2}. Per casa , 6, 10/910. AB: 1.68, 1.26, Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.1.4,

13 13. Lunedì 25/03/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Cambiamento di variabili negli integali tripli. Coordinate polari (o sferiche); coordinate cilindriche. Momenti d inerzia. Esercizio Calcolo del volume del solido compreso tra un cono e la sfera { x 2 + y 2 z, x 2 + y 2 + z 2 R 2 }. Calcolo del volume di {x 2 + y 2 + z 2 /4 1, x 0}. AB: 1.9, 1.29, 1.32, Per casa AB: Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: Martedì 26/03/2019 (Andreucci) (Aula 4: 08-11) Superfici, superfici regolari, elemento d area. Area di una superficie. Integrale di superficie. Esercizio ) Area della sfera e del paraboloide. 2) AB: 1.55 Superfici di rotazione; elemento d area. Esercizio Area del toro. Derivazione sotto il segno d integrale. Teorema Siano f, f x C(R), R = [a, b] [c, d]. Allora d d d f f(x, y) dy = (x, y) dy, x (a, b). dx x c c Corollario Siano f, f x C(R2 ), g, h C 1 (R). Allora d dx h(x) g(x) f(x, y) dx = h (x)f(x, h(x)) g (x)f(x, g(x))+ Esercizio AB: 1.51, Per casa AB: 1.33, 1.50, Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 4.3, 5.4, h(x) g(x) f (x, y) dy, x R. x

14 15. Venerdì 29/03/2019 (Fragapane) (Aula 4: 16-19) - Derivate parziali (5): definizione di matrice Hessiana; definizione di differenziale secondo; formula di Taylor con resto di Lagrange (con dim.), formula di Taylor con resto di Peano (con dim.). - Massimi e minimi liberi (1): definizioni di punto di massimo e minimo locale; definizioni di punto stazionario e di punto di sella; teorema di Fermat (con dim.) + controesempi (Es.1, Es.2 ed Es.3); definizione di forma quadratica; segno di una forma quadratica (f.q.); teorema sul segno di una f.q. in dimensione 2 (s.d.); esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.1 Mostrare che la seguente funzione ha minimo assoluto nell origine: f(x, y) = x 2 + y 2. Es.2 Mostrare che la seguente funzione non ha minimo assoluto nell origine: f(x, y) = x 2 y 2. Es.3 Mostrare che la seguente funzione ha minimo assoluto nell origine: f(x, y) = x 2 + y 2. Es.4 Determinare i punti critici delle seguenti funzioni: (a) f(x, y) = e x+y (x 2 y + xy); (b) f(x, y) = x 3 + 3x 2 y + y 2. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.5.2, 3.6.1, 3.6.2,

15 16. Lunedì 01/04/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Superfici orientabili e non orientabili. Nastro di Möbius. Orientazione interna e esterna per frontiere di domini. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata. Esempio Calcolo del flusso di k x x 3, attraverso la superficie della sfera S = {x 2 + y 2 + z 2 = R 2 }, e di x 2 e 1, attraverso la semisfera S {x 0}. Integrali impropri in due dimensioni. Esempio Calcolo della gaussiana, 7/910. Esercizio AB 1.50, Per casa Calcolo degli integrali impropri b a dx x α, A dx dy (x 2 + y 2 ) α 2 per (a, b) = (0, 1), (a, b) = (1, + ), e per A = {x 2 + y 2 1}, A = {x 2 + y 2 1}., Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 5.2,

16 17. Martedì 02/04/2019 (Andreucci) (Aula 4: 08-11) Divergenza di un campo vettoriale in R 3. Teorema (della divergenza) Sia F C 1 (A) A R 3 compatto regolare con frontiera regolare a tratti orientabile. Allora div F dx dy dz = F n ds. Qui n è la normale esterna a A. A Esempi. Curve regolari. Definizione di lunghezza di una curva regolare come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. L integrale b a r (t) dt è un maggiorante della lunghezza. In realtà si potrebbe vedere che è uguale alla lunghezza. Definizione di ascissa curvilinea s(t) = t a A r (τ) dτ. Integrali di linea (o curvilinei) di prima specie. Corollario (di Gauss-Green) Sia F C 1 (A) A R 2 compatto regolare con frontiera regolare a tratti orientabile. Allora div F dx dy = F n ds. Qui n è la normale esterna a A. Esercizio AB: 2.26, A Interpretazione della divergenza come 1 lim R 0+ 4 F n ds. 3 πr3 B R (P 0 Si ha per ogni dominio A come nel teorema della divergenza n ds = 0. A Definizione di laplaciano di una funzione scalare e di rotore di un campo vettoriale. 16 A

17 Per casa /910; AB: Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 2.3, 2.4, 2.5, 6.2, Venerdì 05/04/2019 (Fragapane) (Aula 4: 16-19) - Massimi e minimi liberi (2): teorema sul segno di una f.q. in dimensione maggiore di 2 (s.d.); teoremi sul segno di una f.q. tramite gli autovalori (s.d.); condizione sufficiente per massimi e minimi in dimensione 2 (s.d.); condizione sufficiente per massimi e minimi in dimensione qualunque (con dim.); natura dei punti critici nel caso di Hessiana nulla; esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.5 Determinare il segno delle seguenti forme quadratiche: (a) q(x, y) = x 2 3xy + 2y 2 ; (b) q(x, y) = x 2 + 3y 2 ; (c) q(x, y, z) = 4x 2 + 2xy 9y 2 + 2xz + 2z 2 ; (d) q(x, y, z) = 5x 2 8xy + y 2 + z 2. Es.6 Determinare e classificare i punti critici delle seguenti funzioni: (a) f(x, y) = xye (x2 +y 2) ; (b) f(x, y) = x 3 y + x 2 y 2 + 4x 2 y. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 3.6.4,

18 19. Lunedì 08/04/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Teorema (Guldino I) Il volume del solido prodotto dalla rotazione di un dominio D contenuto nel semipiano {(0, y, z) y > 0} è 2πy 0 area(d), ove y 0 è la coordinata y del baricentro di D. Teorema (Guldino II) L area della superficie prodotta dalla rotazione di una curva γ contenuta nel semipiano {(0, y, z) y > 0} è 2πy 0 lunghezza (γ), ove y 0 è la coordinata y del baricentro di γ. Esempio Il toro con sezione quadrata, per entrambi i teoremi. Per casa , 2/970; 1/980. Campi vettoriali, lavoro di un campo su una curva; cambiamento di segno per cambiamento di verso di percorrenza. Circuitazione. Esempi. Esercizio /780 Definizione di campo conservativo; potenziale. Lavoro come differenza dei valori del potenziale negli estremi della curva. Il linguaggio delle forme differenziali. Teorema Se un campo ammette due potenziali nello stesso aperto connesso, essi differiscono solo per una costante additiva. Integrazione indefinita di un campo componente per componente. Esempio ) Il campo 2x x 2 + y e y x 2 + y e 2 2 è conservativo in R 2 \ {(0, 0)}. 2) Il campo non è conservativo. xye 1 Per casa , 30/730. Integrare xye 1 su x 2 + y 2 = 1 e su (x 1) 2 + y 2 = 1. Tentare di trovare una primitiva di y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy. 2 Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.1.3, 6.1.4, 6.1.7,

19 20. Martedì 09/04/2019 (Fragapane) (Aula 4: 10-13) - Massimi e minimi liberi (3): condizioni necessarie del secondo ordine per massimi e minimi (s.d.); esempi. - Massimi e minimi vincolati (1): teorema di Dini (s.d); esempi sulla sola sufficienza delle condizioni di Dini (Es.1, Es.2 ed Es.3); esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.7 Determinare e classificare i punti critici delle seguenti funzioni: (a) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1) xy; (b) f(x, y) = y ln(x 2 + z 2 + 1). Es.1 Il teorema del Dini non è applicabile alla funzione f(x, y) = x 2 + y 2 ed essa non definisce implicitamente né x in funzione di y né viceversa. Es.2 Il teorema del Dini non è applicabile alla funzione f(x, y) = x 2 y 2 ed essa non definisce implicitamente un unica funzione y = g(x). Es.3 Il teorema del Dini non è applicabile alla funzione f(x, y) = x 2 y 3 ed essa definisce implicitamente un unica funzione y = g(x). Es.4 Data la funzione f(x, y) = 2e xy 2 y, dimostrare che essa definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno dell origine. Se possibile, dire se in x = 0 g ammette mimo o massimo e calcolare g(x) lim x 0 x. 2 Paragrafi di riferimento sul testo: BPS:

20 21. Venerdì 12/04/2019 (Andreucci) (Aula 4: 16-19) Teorema Sia F C(A), A aperto di R 3. Sono equivalenti: 1) Se le due curve γ 1, γ 2 A hanno gli stessi estremi (ordinati) allora F dr = F dr. γ 1 γ 2 2) Se γ A è una curva chiusa, allora la circuitazione di F su γ è nulla. 3) Il campo F ammette un potenziale in A. Esempio Il campo definito in A = R 2 \ {(0, 0)} y x 2 + y e x x 2 + y e 2 2. Il campo ha circuitazione non nulla sulle circonferenze di centro l origine. Quindi non è esatto in A. Calcolo del gradiente di un anomalia polare ϕ. Tre modi per esprimere la primitiva del campo: ( ) ( x y ϕ(x, y), arctg, arctg. y x) Per casa Mostrare come le 3 forme funzionali sopra coincidano nei domini comuni. Esercizio /730; AB Integrare ( x 2 ) y F = xye cos y e 2. Paragrafi di riferimento sul testo: BPS:

21 22. Lunedì 15/04/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Teorema (Gauss-Green) Siano P, Q C 1 (D) ove D R 2 è un dominio regolare chiuso con frontiera regolare a tratti orientabile. Allora [ Q x P ] dx dy = P dx + Q dy. y D Applicazioni alle forme esatte. Campi vettoriali (o forme) chiusi. + D Teorema Se F C 3 (A), aperto di R 3, F = U, allora F k x j = F j x k, j, k = 1, 2, 3, j k. Definizione di aperto semplicemente connesso in R 2. Teorema Se una forma è chiusa in un semplicemente connesso A R 2 allora è esatta in A. Esempio La forma y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy 2 è chiusa nel non semplicemente connesso R 2 \ {(0, 0)}, ma non è ivi esatta. Esercizio AB: 2.44, Per casa AB: 2.21, Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.1.5,

22 23. Martedì 16/04/2019 (Fragapane) (Aula 4: 08-11) - Massimi e minimi vincolati (2): metodo diretto; ortogonalità del gradiente al vincolo nel punto di estremo (con dim.); metodo dei moltiplicatori di Lagrange; Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (con dim.); esempi. - Esempi svolti a lezione: Es.5 Determinare massimi e minimi assoluti (specificando i punti in cui sono assunti) delle seguenti funzioni negli insiemi indicati a fianco: (a) f(x, y) = x 4 y 4, su V = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 4}, (b) f(x, y) = x 3 +y 3 +x 2, su V = {(x, y) R 2 : 0 x 1, 0 y 3 x}. Es.6 Tra i punti della curva di equazione x 2 y 3 = 0, determinare quello che ha distanza minima dal punto P (0, 1). Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: Lunedì 29/04/2019 (Andreucci) (Aula 4: 11-13) Teorema di Gauss-Green in domini non semplicemente connessi. Verso di percorrenza positivo sulla frontiera. Applicazione all integrazione di forme differenziali; la circuitazione intorno a una cavità è uguale per tutte le curve chiuse che circondano solo quella cavità (e si chiama periodo). Esercizio AB: 2.24, Bordo di superficie orientate; superficie senza bordo. Teorema di Stokes o del rotore. Esercizio Calcolare con la definizione e con il teorema di Stokes il flusso del rotore di (y, z, x) sulla semisfera x 2 +y 2 +z 2 = R 2, z 0, orientazione esterna. Per casa AB: Paragrafi di riferimento sul testo: BPS: 6.2, 6.4,