Analisi Matematica II

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Teresa Olivieri
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1 Claudio Canuto, Anita Tabacco Analisi Matematica II Teoria ed esercizi con complementi in rete ^ Springer

2 Indice 1 Serie numeriche Richiami sulle successioni Serie numeriche Serie a termini positivi Serie a termini di segno alterno Operazioni algebriche sulle serie Esercizi Soluzioni 25 2 Serie di funzioni e di potenze Successioni di funzioni Proprietà delle successioni uniformemente convergenti Passaggio al limite sotto segno di integrale Passaggio al limite sotto segno di derivata Serie di funzioni Serie di potenze Operazioni algebriche sulle serie di potenze Derivazione e integrazione di serie di potenze Funzioni analitiche Serie di potenze in C Esercizi Soluzioni 66 3 Serie di Fourier Polinomi trigonometrici Coefficienti e serie di Fourier Forma esponenziale della serie di Fourier Serie di Fourier e derivazione Convergenza delle serie di Fourier Convergenza quadratica 93

3 Vili Indice Convergenza puntuale Convergenza uniforme Decadimento dei coefficienti di Fourier Funzioni periodiche di periodo T > Esercizi Soluzioni Funzioni tra spazi euclidei Vettori in R Matrici Insiemi in 1" e loro proprietà Funzioni: definizioni e primi esempi Continuità e limiti Proprietà dei limiti e della continuità Curve in R m Superfici in R Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale per funzioni scalari Derivate parziali prime e gradiente Differenziabilità e differenziale Teorema di Lagrange e funzioni lipschitziane Derivate parziali seconde e matrice hessiana Derivate parziali di ordine superiore Sviluppi di Taylor; convessità Convessità Estremi di una funzione; punti stazionari Punti di sella Esercizi Soluzioni Calcolo differenziale per funzioni vettoriali 207 '6.1 Derivate parziali e matrice jacobiana Differenziabilità e lipschitzianità Operatori differenziali notevoli Operatori del primo ordine " Operatori del secondo ordine Derivazione di funzioni composte Un'applicazione: le funzioni definite mediante integrali Curve regolari Congruenza tra curve; orientazione Lunghezza di un arco e ascissa curvilinea Elementi di geometria differenziale di una curva Cambiamenti di variabile 235

4 Indice IX Cambiamenti di variabile notevoli Superfici regolari Cambiamenti di parametrizzazione Superfici orientabili Bordo di una superficie; superfici chiuse Superfici regolari a pezzi Esercizi Soluzioni Applicazioni del calcolo differenziale Teorema della funzione implicita Invertibilità locale di una funzione Curve e superfici di livello Curve di livello Superfici di livello Estremi vincolati Metodo pararnetrico Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Esercizi Soluzioni Calcolo integrale per funzioni in più variabili Integrale doppio su rettangoli Integrale doppio su insiemi misurabili Proprietà dell'integrale doppio Cambiamento di variabili negli integrali doppi Integrali multipli Cambiamenti di variabili negli integrali tripli Applicazioni ed estensioni Massa, baricentro e momenti di inerzia Volume dei solidi di rotazione Integrali di funzioni vettoriali Integrali multipli impropri Esercizi Soluzioni Calcolo integrale su curve e superfici Integrali curvilinei Baricentro e momenti di inerzia di una curva Integrali di linea ' Integrali superficiali Area di una calotta Baricentro e momenti di inerzia di una superficie Integrali di flusso I Teoremi di Gauss, Green e Stokes 396

5 X Indice Aperti e superfici ammissibili e loro bordo II Teorema della divergenza o di Gauss II Teorema del rotore; Teorema di Green II Teorema di Stokes Campi conservativi e potenziale Calcolo esplicito del potenziale Esercizi Soluzioni Equazioni differenziali ordinarie Esempi introduttivi Definizioni generali Equazioni scalari del primo ordine Equazioni a variabili separabili Equazioni omogenee Equazioni lineari Equazioni di Bernoulli Equazioni di Riccati Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Esistenza e unicità del problema di Cauchy Esistenza e unicità locale Soluzione massimale Esistenza globale Esistenza globale unilaterale Integrali primi Sistemi di equazioni lineari del primo ordine Sistema omogeneo Sistema non omogeneo Sistemi lineari con matrice A costante Sistema omogeneo con A diagonalizzabile Sistema omogeneo con A non diagonalizzabile Sistema non omogeneo Equazioni lineari scalari di ordine n Stabilità Sistemi lineari autonomi Sistemi piani Cenno alla stabilità non lineare Esercizi ; Soluzioni 513 Definizioni e formule notevoli 527 Indice, analitico 539

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