FACOLTÀ DI INGEGNERIA

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1 FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA in Ingegneria Civile Classe L/7 Insegnamento di Analisi Matematica 2 S.S.D. MAT/05 9 C.F.U. A.A Docente: Valerio Marchisio valerio.marchisio@unicusano.it (solo per comunicazioni interne e amministrative) Nickname: marchisio.valerio Presentazione del corso Il corso di Analisi Matematica 2 è uno dei corsi del secondo anno del Corso di Laurea in Ingegneria Civile. Il programma può essere diviso in cinque parti: 1. introduzione delle funzioni di più variabili come naturale estensione del concetto di funzione studiata nel corso di Analisi 1; 2. calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali e studi dei massimi e minimi; 3. curve ed integrali curvilinei; 4. equazioni differenziali ordinarie; 5. integrali multipli. Il materiale didattico presente in piattaforma è organizzato come segue. I 54 moduli ricoprono interamente il programma e ciascuno di essi contiene una dispensa e una videolezione in cui il docente commenta la dispensa stessa. Tale materiale contiene sia gli elementi di teoria necessari per affrontare lo studio della materia, sia una grande quantità di esempi ed esercizi interamente svolti. Inoltre, in piattaforma sono stati inseriti 8 test di autovalutazione, tramite i quali ogni studente può valutare la propria preparazione e prendere coscienza di quali siano, eventualmente, i suoi punti deboli e le sue lacune sui vari argomenti del programma. Tutti gli studenti sono fortemente incoraggiati a svolgere i test di autovalutazione durante la propria attività di studio.

2 Il Regolamento didattico del Corso di Laurea prevede che lo studente sia in grado di prepararsi a sostenere l esame nell arco di un periodo di 12 settimane. Nel programma che segue, il docente suggerisce una scansione temporale che vede la preparazione di ogni macroargomento del programma in 2/3 settimane. Accanto a tale scansione temporale, si trova un indicazione con i moduli di riferimento e i relativi test di autovalutazione. Sono presenti in piattaforma, inoltre, i testi di alcuni dei precedenti appelli d esame di Analisi 2, in modo da consentire agli studenti di avere un idea di massima di come sono strutturati i compiti di esame. Tutor del corso è il Dottor Fabio Felici, il quale può essere contattato tramite messaggio in piattaforma per domande relative ad argomenti di teoria risultati poco chiari, ma anche a esercizi su cui gli studenti hanno riscontrato delle difficoltà. Il Tutor gestisce inoltre in piattaforma l attività delle classi virtuali, supervisionate dal docente. Le classi virtuali sono costituite da gruppi di studenti che stanno affrontando la preparazione all esame di Analisi 2, i quali hanno accesso a un apposito Forum in cui sono inseriti, durante i vari cicli didattici, alcuni esercizi e/o spunti di riflessione. All interno di questo spazio, lo studente può accedere agli esercizi proposti, svilupparli autonomamente e inserire poi eventuali domande e/o riflessioni che saranno utili a lui stesso per la comprensione dell argomento trattato, come anche agli altri iscritti al Forum. Lo spirito del Forum è infatti promuovere il dialogo e l interazione tra gli studenti, in modo che i dubbi sollevati da un singolo, e chiariti da un suo collega o dal tutor, possano risultare utili per tutti gli iscritti. Gli studenti sono dunque fortemente incoraggiati a richiedere al Tutor l iscrizione alla classe virtuale e a partecipare attivamente all attività del Forum. Propedeuticità L esame di Analisi 1 è propedeutico all esame di Analisi 2. È necessario che lo studente che si avvicina alla preparazione di questa materia abbia una buona padronanza di alcuni argomenti quali: - nozioni di topologia sulla retta reale; - conoscenza delle funzioni elementari (polinomi, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche); - regole di derivazione delle funzioni di variabile reale; - integrazione delle funzioni di variabile reale; - studio di funzioni di variabile reale. Ricevimento studenti Consultare il calendario alla pagina seguente del nostro sito verificando gli orari di Videoconferenza di Analisi 2:

3 Orario delle lezioni Consultare il calendario alla pagina seguente del nostro sito verificando gli orari di Lezione di Analisi 2: Date degli appelli Consultare il calendario alla pagina per gli appelli presso la sede di Roma, e alla pagina per gli appelli presso le sedi esterne. Programma del corso Funzioni di più variabili (Settimane 1,2; Moduli 1-6; Test di autovalutazione 1) Richiami di topologia in, intorni sferici, punti interni, esterni e di frontiera, insiemi aperti e chiusi, punti isolati e di accumulazione, insiemi limitati e connessi per poligonali. Funzioni, definizioni, dominio e codominio ed insiemi di livello. Esempi di funzioni particolari. Cenni sulle funzioni vettoriali. Limiti e continuità delle funzioni di più variabili: definizione di limite e teoremi sulle proprietà dei limiti, continuità. Funzioni limitate, teorema di Weierstrass e dei valori intermedi. Uniforme continuità e teorema di Cantor. Derivate e differenziali delle funzioni di più variabili (Settimane 3,4,5; Moduli 7-20; Test di autovalutazione 2, 3 e 4): derivate parziali, gradiente e differenziabilità. Proprietà delle funzioni differenziabili. Teorema del differenziale e teoremi sul calcolo differenziale. Piano tangente. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor per le funzioni di più variabili. Forme quadratiche: classificazione, autovalori e teorema di Sylvester. Estremi relativi, punti critici e teorema di classificazione dei punti critici. Ricerca di massimi e minimi per le funzioni di due variabili, cambiamenti di coordinate, estremi vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Integrali curvilinei e forme differenziali (Settimane 6,7; Moduli 21-28; Test di autovalutazione 5): curve regolari e lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Campi vettoriali e cenni sulle forme differenziali, integrale curvilineo dei campi vettoriali e interpretazione fisica come lavoro di un campo di forze. Proprietà dei campi conservativi. Equazioni differenziali ordinarie (Settimane 8,9,10; Moduli 29-40; Test di autovalutazione 6): definizione di equazione differenziale, problema di Cauchy, lemmi e teoremi di esistenza locale e globale e di esistenza ed unicità delle soluzioni. Equazioni differenziali lineari. Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali (a coefficienti costanti, a variabili separabili, omogenee ed equazione di Bernoulli).

4 Integrali delle funzioni di più variabili (Settimane 11,12; Moduli 41-52; Test di autovalutazione 7 e 8): funzioni integrabili secondo Riemann e proprietà dell integrale. Insiemi misurabili, integrali doppi e tripli su insiemi misurabili, proprietà e teoremi. Formule di riduzione. Cambiamento di coordinate. Superfici regolari, integrali di superficie, superfici compatte e chiuse. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza e teoremi di Gauss-Green e Stokes. I moduli 53 e 54 sono dedicati alla risoluzione di esercizi di riepilogo. Riferimenti bibliografici 1. Dispense del docente. 2. N.Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi matematica II. Liguori Editore. Obiettivi formativi Il corso ha lo scopo di far acquisire agli studenti le nozioni relative all analisi di funzioni di più variabili reali, necessarie per lo studio di fenomeni fisici. Inoltre, un obiettivo importante del corso è la conoscenza delle equazioni differenziali ordinarie, argomento del tutto nuovo per gli studenti del corso. Infine, il corso ha lo scopo di fornire gli elementi necessari per l integrazione di funzioni di più variabili reali. Risultati di apprendimento attesi Familiarità con le funzioni di più variabili reali, relativo calcolo differenziale e ricerca di massimi e minimi. Risoluzione di equazioni differenziali, integrali multipli ed integrali curvilinei. Programma ridotto Gli studenti che, a seguito dell avvenuto riconoscimento di un esame affine, sostenuto in una precedente carriera accademica, devono sostenere l esame di Analisi 2 in forma ridotta (e non da 9 c.f.u.) saranno esaminati su argomenti decisi dal Docente in base ai c.f.u. previsti e agli argomenti già trattati nella precedente carriera accademica. Modalità d esame e di valutazione Nelle sedi esterne, l esame consiste in una prova scritta della durata di 90 minuti. Nella sede di Roma, l esame consiste in una prova scritta della durata di 90 minuti, più una breve prova orale facoltativa. Durante la prova scritta NON è consentito utilizzare dispense, appunti, testi o formulari in formato cartaceo né digitale. L uso della calcolatrice è consentito solo nel caso di calcolatrici non scientifiche né programmabili. Valerio Marchisio

5 VALERIO MARCHISIO Curriculum vitae Valerio Marchisio, nato a Roma il 20/11/ valerio.marchisio@unicusano.it (solo per comunicazioni interne e amministrative) Nickname (da utilizzare per i contatti in piattaforma): marchisio.valerio Ha conseguito la Laurea in Matematica presso l Università degli Studi di Roma La Sapienza nell a.a. 2003/2004 con votazione 110/110 e lode con una tesi dal titolo: Una Classe di equazioni dispersive. Dal 2004 al 2005 ha svolto un periodo di formazione post laurea presso il CNR Istituto per le applicazione del calcolo Mauro Picone. Ha conseguito il dottorato di ricerca in Matematica presso l Università degli studi di Roma Tor Vergata nell a.a. 2008/2009 con una tesi dal titolo Malliavin representation formulas for Asian options in a jump-diffusion model Dal 2004 al 2012 è stato tutor, assistente e cultore della materia in diversi atenei. Dal 2008 ad oggi lavora come matematico quantitativo come consulente nell ambito finanza e risk management per banche, assicurazioni, fondi pensione e imprese private. Dal 2011 ad oggi è docente invitato presso il Master in Insurance & Risk Management, MIB School of Management, Trieste. Dall anno accademico 2013/2014 è professore aggregato del corso di Analisi Matematica 2 presso l università Niccolò Cusano, nei corsi Ingegneria Civile ed Ingegneria Industriale. Roma, 31/03/2015 Valerio Marchisio