APPUNTI ANALISI MATEMATICA

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1 MAURIZIO TROMBETTA APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA PER IL DIPLOMA UNIVERSITARIO PARTE PRIMA

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3 INDICE Capitolo Primo: INSIEMI, APPLICAZIONI, RELAZIONI 1 Gli insiemi... Pag 1 2 Operazioni fra insiemi Applicazioni Relazioni binarie Relazioni di equivalenza Relazioni d'ordine Esercizi Capitolo Secondo: GLI INSIEMI NUMERICI 1 I numeri naturali... Pag 17 2 Il Principio di Induzione Gli interi relativi I numeri razionali Insufficienza del campo razionale - I numeri reali Proprietà fondamentali di  Intervalli e intorni I numeri complessi Esercizi Capitolo Terzo: CALCOLO COMBINATORIO 1 Introduzione, insieme prodotto... Pag 39 2 Permutazioni semplici Disposizioni semplici Combinazioni semplici La formula di Newton Permutazioni e disposizioni con ripetizione Esercizi Capitolo Quarto: LE FUNZIONI ELEMENTARI 1 Funzioni reali di variabile reale... Pag 55 2 Polinomi e funzioni razionali La funzione esponenziale La funzione logaritmo Il numero e Le funzioni trigonometriche La forma trigonometrica dei numeri complessi Esercizi... 75

4 Capitolo Quinto: LIMITI E CONTINUITÀ 1 Limite di una successione... Pag 77 2 Limiti delle funzioni I teoremi sui limiti delle funzioni Le funzioni continue Continuità delle funzioni elementari Limiti notevoli I teoremi fondamentali sulle funzioni continue Esercizi Capitolo Sesto: INFINITI E INFINITESIMI 1 Ordini di infinito... Pag Ordini di infinitesimo Ordini di infinito o di infinitesimo e operazioni fra funzioni... 4 Ordini di infinito o di infinitesimo reali, soprareali, 114 sottoreali, infrareali Esercizi Capitolo Settimo: CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE 1 Il rapporto incrementale e la nozione di derivata... Pag Regole di derivazione Derivate delle funzioni elementari Le funzioni iperboliche Approssimante lineare Proprietà locali del primo ordine Funzioni derivabili su un intervallo La formula di Taylor Concavità, convessità, flessi Esercizi Capitolo Ottavo: L'INTEGRALE INDEFINITO 1 Il problema delle primitive, integrali immediati... Pag I metodi d'integrazione Integrale indefinito delle funzioni razionali Integrazione di alcune classi di funzioni Esercizi

5 PIERPAOLO OMARI MAURIZIO TROMBETTA APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA PER IL DIPLOMA UNIVERSITARIO PARTE SECONDA

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7 INDICE Capitolo Nono: SERIE NUMERICHE 1 Richiami sulle successioni... Pag 1 2 Serie numeriche Tre esempi importanti Teoremi fondamentali sulle serie Serie a termini positivi Serie a termini di segno qualunque Serie numeriche nel campo complesso Esercizi Capitolo Decimo: SERIE DI FUNZIONI 1 Successioni di funzioni Serie di funzioni Serie di potenze Serie di potenze e derivazione Sviluppabilità in serie di Taylor Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari Serie di potenze nel campo complesso Esercizi Capitolo Undicesimo: TOPOLOGIA DI  n 1 Struttura metrica di  n Applicazioni Struttura lineare di  n Esercizi e complementi Capitolo Dodicesimo: CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 Campi scalari Campi vettoriali Il differenziale secondo per i campi scalari Forme quadratiche Estremi liberi per funzioni scalari Estremi vincolati per funzioni scalari Esercizi Capitolo Tredicesimo: INTEGRALE DI RIEMANN IN  n 1 La definizione di integrale Proprietà dell'integrale La funzione integrale e il Teorema fondamentale del Calcolo Formule di riduzione su rettangoli per integrali doppi e tripli Integrali su insiemi limitati, la misura di Peano - Jordan Integrali su domini ammissibili di  Integrali su domini ammissibili di  Cenno sugli integrali impropri unidimensionali Esercizi

8 Capitolo Quattordicesimo: EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1 Introduzione... Pag Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine Equazioni differenziali lineari del primo ordine Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti Sistemi di due equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti Esercizi Capitolo Quindicesimo: CURVE IN Â n (n = 2, 3) 1 La nozione di curva Curve rettificabili Integrali curvilinei di campi scalari Integrali curvilinei di campi vettoriali Campi conservativi I teoremi bidimensionali di Stokes e della divergenza Esercizi Capitolo Sedicesimo: CENNO SULLE SUPERFICI 1 La nozione di superficie Linee coordinate, versore normale e piano tangente Area di una superficie regolare semplice Integrali superficiali Esercizi Capitolo Diciasettesimo: RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA 1 Equazioni di rette e piani... Pag Trasformazioni di coordinate Le coniche come luoghi geometrici Forme quadratiche, matrici simmetriche e autovalori Classificazione delle coniche Classificazione delle quadriche Esercizi