Indice. P Preliminari 3. 1 Limiti e continuità 59

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1 Indice Prefazione ix Per lo studente xii Ringraziamenti xiv Che cos èilcalcolodifferenziale? 1 P Preliminari 3 P.1 Numeri reali e retta reale 3 Intervalli 5 Il valore assoluto 8 Equazioni e disequazioni con i valori assoluti 9 P.2 Coordinate cartesiane del 12 piano Scale degli assi 12 Incrementi e distanze 13 Grafici 14 Linee rette 15 Equazioni delle rette 16 P.3 Grafici delle equazioni 19 quadratiche Cerchi e dischi 20 Equazione della parabola 21 Proprietà di riflessione delle parabole 22 Cambio di scala di un grafico 23 Traslazione di un grafico 23 Ellissi e iperboli 25 P.4 Funzioni e loro grafici 27 Convenzione del dominio 29 Grafici delle funzioni 30 Funzioni pari e dispari; simmetria e 32 riflessioni Riflessione in una linea retta 33 Definire funzioni e disegnare grafici con Maple 35 P.5 Operazioni tra funzioni 37 Somma, differenza, prodotto e divisione 37 Composizione di funzioni 39 Funzioni definite a tratti 40 P.6 Funzioni trigonometriche 44 Alcune identità utili 46 Coseni e seni di alcuni angoli particolari 47 Formule d addizione 49 Le altre funzioni trigonometriche 51 Funzioni trigonometriche con Maple 53 Riassunto di trigonometria 54 1 Limiti e continuità Velocità, rapidità di crescita, 59 area: alcuni esempi Velocità media e velocità istantanea 59 La crescita di una coltura di alghe 61 L area di un cerchio Limiti delle funzioni 64 Limiti unilateri 68 Regole per il calcolo dei limiti 70 Teorema di compressione Limiti all infinito e limiti 75 infiniti Limiti all infinito 74 Limiti all infinito delle funzioni razionali 76 Limiti infiniti 77 Calcolo di limiti mediante Maple Continuità 82 Continuità in un punto 82 Continuità in un intervallo 83 Le funzioni continue sono molto numerose 84 Estensioni continue e discontinuità 85 rimovibili Funzioni continue in intervalli finiti chiusi 86 Ricerca grafica di massimi e minimi 88 Ricerca delle radici delle equazioni Definzione formale di limite 93 Uso della definizione di limite per 95 dimostrare teoremi Altri tipi di limiti 96 Riassunto del capitolo 99

2 xvi 2 Derivazione Rette tangenti e loro 101 pendenza Rette normali La derivata 107 Alcune derivate importanti 108 Notazione di Leibniz 111 Differenziali 113 Derivata e proprietà del valore intermedio Regole di derivazione 116 Derivata della somma e moltiplicazione 117 per una costante Derivata del prodotto 118 Derivata del reciproco 121 Derivata del quoziente Derivata delle funzioni 125 composte Calcolo delle derivate con Maple 128 Regole di derivazione con inclusa la 128 funzione composta Dimostrazione del teorema 6 (derivata di funzioni composte) Derivate delle funzioni 130 trigonometriche Qualche limite particolare 131 Derivate del seno e del coseno 132 Derivate delle altre funzioni trigonometriche Teorema del valore medio 138 Funzioni crescenti e decrescenti 141 Dimostrazione del teorema del valore medio Uso delle derivate 145 Approssimazione delle piccole variazioni 146 Rapidità di variazione media e istantanea 147 Sensitività a una variazione 148 Derivate e problemi di economia Derivate d ordine superiore Derivazione implicita 157 Derivate di ordine superiore di funzioni 160 implicite Regola generale della derivata di una potenza Antiderivate e problemi ai valori iniziali 162 Antiderivate 163 Integrale indefinito 163 Equazioni differenziali e problemi ai 166 valori iniziali 2.11 Velocità e accelerazione 170 Velocità vettoriale e velocità in modulo 170 Accelerazione 171 Caduta dei gravi 173 Riassunto del capitolo Le funzioni trascendenti Funzioni inverse 181 Inversione di funzioni non biunivoche 185 Derivata delle funzioni inverse Funzioni esponenziali e 188 logaritmiche Esponenziali 188 Logaritmi Il logaritmo naturale e 192 l esponenziale Il logaritmo naturale 192 La funzione esponenziale 196 Esponenziali e logaritmi generali 198 Derivazione logaritmica Crescita e decadimento 203 Crescita degli esponenziali e dei logaritmi 203 Crescita esponenziale e modelli di 204 decadimento Interessi degli investimenti 207 Crescita logistica Funzioni trigonometriche 212 inverse La funzione inversa del seno o Arcoseno 212 La funzione inversa della tangente o 216 Arcotangente Altre funzioni trigonometriche inverse Funzioni iperboliche 221 Funzioni iperboliche inverse Equazioni del secondo ordine lineari a coefficienti costanti 227 Ricetta per risolvere ay + by + cy = Moto armonico semplice 230 Moto armonico smorzato 233 Equazioni non omogenee e risonanza 234 Riassunto del capitolo 239

3 xvii 4 Alcune applicazioni delle derivate Variazioni collegate 241 Procedimento per i problemi con 242 variazioni collegate 4.2 Valori estremi 248 Valori massimi e valori minimi 248 Punti critici, punti singolari e punti estremi 250 Ricerca dei valori estremi 251 Test della derivata prima 252 Funzioni definite non su intervalli finiti chiusi Concavità e punti di flesso 255 Test della derivata seconda Disegno del grafico di una 261 funzione Asintoti 262 Esempi di disegno formale di curve Ricerca di valori estremi 271 Procedimento per la ricerca dei valori estremi Calcolo delle radici delle 281 equazioni Metodo di Newton 281 Iterazione del punto fisso 285 Programmi per la risoluzione di equazioni Approssimazioni lineari 289 Approssimazione di valori delle funzioni 289 Analisi dell errore Polinomi di Taylor 295 Formula di Taylor 297 Notazione dell O grande Forme indeterminate 302 Regole de l Hôpital 304 Riassunto del capitolo Integrazione Somme e simbolo di 315 sommatoria Calcolo di alcune somme Aree come limiti di somme 321 Il problema fondamentale dell area 322 Calcolo di alcune aree Integrale definito 326 Partizioni e somme di Riemann 327 Integrale definito 329 Somme di Riemann generali Proprietà dell integrale 333 definito Teorema del valore medio per gli integrali 336 Integrali definiti di funzioni continue a pezzi Teorema fondamentale del 340 calcolo differenziale 5.6 Metodo di sostituzione 346 Integrali trigonometrici Area delle regioni piane 356 Area di superfici comprese fra due curve 355 Riassunto del capitolo Tecniche di integrazione integrazione per parti 363 Formule di riduzione Sostituzioni inverse 370 Sostituzioni trigonometriche inverse 370 Completamento del quadrato 374 Altre sostituzioni inverse 375 La sostituzione tan(θ/2) Integrali delle funzioni 378 razionali Denominatori lineari e quadratici 379 Frazioni parziali Integrazione mediante 386 algebra computazionale o tavole Uso di Maple per integrare 387 Uso delle tavole di integrali Integrali impropri 390 Integrali impropri di primo tipo 391 Integrali impropri di secondo tipo 394 Determinazione della convergenza o della divergenza Le formule del trapezio e del 399 punto medio La formula del trapezio 400 La formula del punto medio 403 Stime dell errore 404

4 xviii 6.7 La formula di Simpson Altri aspetti dell integrazione 412 approssimata Approssimazione degli integrali impropri 413 Uso della formula di Taylor 415 Integrazione di Romberg 414 Altri metodi 418 Riassunto del capitolo Applicazioni dell integrazione Volume dei solidi di 423 rivoluzione Volumi a fette 424 Solidi di rivoluzione 425 Gusci cilindrici Altri volumi a fette Lunghezza di un arco e area di 437 una superficie Lunghezza d arco 437 Lunghezza d arco del grafico di una 438 funzione Area delle superfici di rivoluzione Massa, momenti e centro di 446 massa Massa e densità 446 Momenti e centro di massa 449 Esempi bidimensionali e tridimensionali Centroidi 453 Teorema di Pappo Altre applicazioni fisiche 460 Pressione idrostatica 460 Lavoro 461 Energia potenziale ed energia cinetica Applicazioni in economia, 467 finanza ed ecologia Valore attuale di un flusso di pagamenti 468 Economia dello sfruttamento di risorse rinnovabili Probabilità 472 Media, varianza e deviazione standard 475 Distribuzione normale Equazioni differenziali del primo ordine 483 Equazioni separabili 483 Equazioni lineari del primo ordine 488 Riassunto del capitolo Curve piane Coniche 495 Parabole 496 Proprietà del fuoco della parabola 497 Ellissi 498 Proprietà dei fuochi dell ellisse 500 Le direttrici di un ellisse 500 Iperboli 501 Proprietà dei fuochi dell iperbole 502 Classificazione delle coniche Curve parametriche 507 Curve piane generali e parametrizzazioni 510 Alcune curve piane notevoli Curve parametriche lisce e loro pendenza 514 Pendenza di una curva parametrica 515 Studio delle curve parametriche Lunghezza e area di curve parametriche 519 Lunghezza di un arco e area di una 519 superficie Aree delimitate da curve parametriche Coordinate polari e curve polari 523 Alcune curve polari 526 Intersezione di curve polari 529 Coniche polari Pendenza, area e lunghezza 531 d arco di curve polari Aree delimitate da curve polari 533 Lunghezza d arco delle curve polari 534 Riassunto del capitolo Successioni e serie Successioni e convergenza 539 Convergenza delle successioni 542

5 xix 9.2 Serie infinite 548 Serie geometriche 550 Serie telescopiche e serie armoniche 552 Alcuni teoremi sulle serie Criteri di convergenza per le 556 serie positive Criterio di convergenza dell integrale 556 Uso di limitazioni integrali per sommare 558 una serie Criteri di convergenza di confronto 560 Criteri di convergenza del rapporto e 563 della radice Uso di limitazioni geometriche per la somma di una serie Convergenza assoluta e 568 convergenza semplice Criterio di convergenza per le serie 569 oscillanti Riordinamento dei termini di una serie Serie di potenze 575 Operazioni algebriche sulle serie di 578 potenze Derivazione e integrazione delle serie 580 di potenze Calcoli con Maple Serie di Taylor e di Maclaurin 586 Serie di Maclaurin di alcune funzioni 588 elementari Altre serie di Maclaurin e di Taylor Applicazioni delle serie di 595 Taylor e di Maclaurin Approssimazione dei valori delle funzioni 595 Funzioni definite da integrali 597 Forme indeterminate La formula di Taylor rivista 599 Serie di Taylor e di Maclaurin mediante 600 il teorema di Taylor Teorema di Taylor con il resto integrale Teorema binomiale e serie 603 binomiale La serie binomiale Soluzioni in serie di equazioni 607 differenziali Riassunto del capitolo 611 Appendice I A-1 Numeri complessi Definizione dei numeri complessi A-2 Rappresentazione grafica dei numeri A-3 complessi Aritmetica complessa A-5 Radici dei numeri complessi A-9 Appendice II A-12 Funzioni complesse Limiti e continuità A-13 Derivata complessa A-14 Funzione esponenziale A-17 Teorema fondamentale dell algebra A-18 Appendice III A-22 Funzioni continue Limiti delle funzioni A-23 Funzioni continue A-23 Completezza e limiti di successioni A-25 Funzioni continue in un intervallo A-26 limitato chiuso Appendice IV A-29 Integrale di Riemann Continuità uniforme A-32 Appendice V A-34 Equazioni differenziali ordinarie Classificazione delle equazioni A-36 differenziali Equazioni differenziali ordinarie lineari A-35 Equazioni differenziali del primo ordine A-37 Equazioni esatte A-39 Fattori integranti A-41 Campo della pendenza e curve integrali A-42 Esistenza e unicità delle soluzioni A-42 Metodi numerici A-44 Appendice VI A-52 Calcolo differenziale con Maple Elenco degli esempi dell uso di Maple A-53 Risposte degli esercizi dispari A-55 Indice analitico A-87