Domande da 6 punti. Prima parte del programma

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1 Domande da 6 punti Prima parte del programma Domanda. Dare la definizione di arco di curva continua, di sostegno di una curva, di curva chiusa, di curva semplice e di curva piana fornendo qualche esempio. Domanda. Dare la definizione di derivata di una funzione vettoriale di una sola variabile reale. Dire qual è il significato geometrico della derivata di una curva. Dare le definizioni di curva regolare e di curva regolare a tratti. Domanda 3. Spiegare cos è la forma polare delle equazioni parametriche di una curva piana e dire come si passa dalla forma polare della curva alla sua espressione in forma cartesiana. Domanda 4. Dare la definizione di curva rettificabile e di lunghezza di una curva. Scrivere la formula usata per calcolare la lunghezza di una curva regolare r : [a,b] R m. Domanda 5. Dataunafunzionef : [a,b] Rderivabileconderivatacontinua, scriverelaformula che ne fornisce la lunghezza del grafico. Scrivere inoltre la formula che fornisce la lunghezza di una curva data in forma polare: ρ = q(θ), θ [θ,θ ]. Domanda 6. Dare la definizione di integrale di linea (di prima specie) di una funzione lungo una curva fornendo anche un esempio. Domanda 7. Dare la definizione di insieme di livello e di grafico per una funzione reale di più variabili reali. Fornire degli esempi. Domanda 8. Dare la definizione di intorno sferico e le definizioni dei seguenti limiti:. lim x x o f (x) = l,. lim x x o f (x) = +, 3. lim f (x) = l. x + Domanda 9. Enunciare e dimostrare il teorema di permanenza del segno menzionandone qualche conseguenza importante. Domanda 0. Dato un insieme E R n, dare le definizioni di punto esterno, punto interno e punto di frontiera per E. Un punto di frontiera appartiene necessariamente ad E? Fare qualche esempio. Domanda. Dare le definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato e connesso per archi, facendo qualche esempio. Enunciare il teorema di Weierstrass. Domanda. Dare la definizione di derivata parziale, derivata direzionale, gradiente. Domanda 3. Dare la definizione di differenziabilità per funzioni reali di più variabili reali e illustrarne il significato. Domanda 4. Descrivere il significato geometrico del gradiente e spiegare che relazione c è tra il gradiente e le curve di livello di una funzione, dimostrando le affermazioni fatte. Domanda 5. Dire cos è la matrice Hessiana ed enunciare il teorema di Schwarz. Che implicazioni ha il teorema di Schwarz relativamente alle proprietà della matrice Hessiana? Domanda 6. Dare la definizione di punto di massimo relativo, di punto di massimo assoluto, di punto stazionario e di punto di sella per funzioni reali di più variabili reali. Enunciare il teorema di Fermat (condizione necessaria per l esistenza di un punto estremante).

2 Seconda parte del programma Domanda 7. Fornire la definizione di matrice Jacobiana e la definizione di differenziabilità per una funzione vettoriale di più variabili reali. Domanda 8. Enunciare il teorema della derivazione della funzione composta nel suo caso più generale. Domanda 9. Dare la definizione di integrabilità secondo Riemann di una funzione definita su un generico dominio E R limitato dando per nota la definizione di integrabilità su domini rettangolari e fornire la definizione di insieme misurabile. Domanda 0. Enunciare il teorema di Fubini (o di riduzione) su un dominio rettangolare. Domanda. Dare la definizione di insieme y semplice e descrivere come si calcola un integrale usando il teorema di Fubini su un insieme y semplice. Domanda. Dare la definizione di diffeomorfismo ed enunciare in modo preciso la formula per il cambiamento di variabili negli integrali doppi. Domanda 3. Descrivere le coordinate cilindriche e sferiche e spiegare come possono venire utilizzate nel calcolo degli integrali tripli. Domanda 4. Dare la definizione di equazione differenziale, di ordine di un equazione differenziale e di equazione differenziale in forma normale, fornendo vari esempi per esemplificare le definizioni date. Domanda 5. Mostrare anche solo tramite un esempio che un equazione differenziale in forma normale può essere scritta come un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Domanda 6. Dire, anche solo tramite esempi, cosa sono le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e a coefficienti non costanti, omogenee e non omogenee. Domanda 7. Descrivere, senza dimostrazioni, la struttura generale delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee e non omogenee. Domanda 8. Descrivere, anche solo tramite un esempio non banale (cioè usare un equazione almeno di secondo grado), il metodo di soluzione di un equazione lineare a coefficienti costanti non omogenea. Domanda 9. Sia f : R R una funzione differenziabile con continuità il cui grafico è rappresentato nella seguente figura: f(y) 4 3 y

3 Rappresentare in modo qualitativo il grafico della soluzione del seguente problema di Cauchy: { y = f(y) y(0) = 3 y t Domanda 30. Scrivere il sistema di Lotka Volterra preda predatore e descriverne l andamento qualitativo delle soluzioni. Domanda 3. Descrivere il metodo di Eulero e il metodo di Eulero migliorato per la soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine. 3

4 Domande da 0 punti Prima parte del programma Domanda 3. Dare la definizione di integrale definito di una funzione vettoriale di variabile reale r : [a,b] R m. Enunciare il teorema fondamentale del calcolo per funzioni vettoriali di variabile reale. Scrivere e dimostrare la relazione che sussiste tra l integrale del modulo e il modulo dell integrale di una funzione vettoriale di variabile reale. Domanda 33. Data una funzione continua f : R n R, dire se l insieme {x R n : f(x) > 0} è aperto, chiuso o nessuno dei due e dimostrare l affermazione fatta. Inoltre enunciare e dimostrare il teorema degli zeri. Domanda 34. Definire le derivate direzionali. Enunciare e dimostrare la formula del gradiente. Domanda 35. Dare la definizione di funzione differenziabile in un punto. Enunciare e dimostrare la condizione sufficiente di differenziabilità. Domanda 36. Enunciare il teorema della derivazione della funzione composta nei casi. g(x) = h(f(x)) con f : R R, h : R R;. p(t) = f (r(t)) con f : R R, r : R R. Dimostrare il teorema nel secondo caso. Domanda 37. Enunciare e dimostrare il teorema del valor medio per funzioni di più variabili e descriverne una conseguenza. Domanda 38. Scrivere la formula di Taylor con resto secondo Lagrange per funzioni di più variabili reali specificandone le ipotesi di validità. Fornirne infine una dimostrazione. Domanda 39. Scrivere la formula di Taylor con resto secondo Peano per funzioni di più variabili reali specificandone le ipotesi di validità. Fornirne infine una dimostrazione. Domanda 40. Data una funzione reale di più variabili reali dire che relazioni ci sono tra la natura (punto di massimo, di minimo o di sella) di un suo punto stazionario e il segno (definita positiva, negativa, ecc.) della sua matrice Hessiana calcolata in quel punto. Dimostrare almeno uno dei risultati citati. Seconda parte del programma Domanda 4. Enunciare e dimostrare il teorema della funzione implicita. Domanda 4. Descrivere e dimostrare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca di estremanti vincolati. Domanda 43. Dare la definizione di integrabilità (secondo Riemann) di una funzione di due variabili definita su un dominio rettangolare, definendo e spiegando tutti gli elementi usati nella definizione. Domanda 44. Descrivere le coordinate polari e calcolare l integrale della Gaussiana: e x dx. R Domanda 45. Dare la definizione di Problema di Cauchy ed enunciare i teoremi di esistenza locale e di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy. Descrivere il metodo di soluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili e fare un esempio di problema di Cauchy che ammette più di una soluzione. 4

5 Domanda 46. Descrivere e dimostrare la formula che fornisce l integrale generale per le equazioni differenziali lineari del primo ordine. Domanda 47. Dimostrare (anche solo limitandosi ad un esempio non banale) che l insieme delle soluzioni di un equazione differenziale lineare omogenea di ordine n è uno spazio vettoriale di dimensione n. Domanda 48. Ricavare e descrivere le soluzioni dell equazione dell oscillatore armonico smorzato al variare dei valori delle costanti positive ν e κ. y +νy +κy = 0. Domanda 49. Determinare una soluzione particolare dell equazione per l intensità di corrente I(t) in un circuito RLC con forzante periodica: I + R L I + LC I = cos( ωt). (R, C, L sono costanti positive indicanti rispettivamente la resistenza, la capacità e l induttanza del circuito). Domanda 50. Scrivere il sistema di equazioni differenziali che descrive la dinamica di due specie in competizione tra loro e descriverne l andamento delle soluzioni al variare dei parametri del sistema. 5