A Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame

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1 COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione per ogni domanda; per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Non si richiede la giustificazione della risposta data. Risposta esatta: 1. punti; risposta sbagliata: -. punti; risposta non data: punti. Test 1: Sia f(x, y) = x y per ogni (x, y) R. Sia D v (1, 1) la derivata direzionale di f nel punto (1, 1) secondo il versore v = i + 1 j. Allora D v (1, 1) vale? (A) 7 (B) (C) 7 (D) 1 Test : Sia C = {(x, y, z) R x 1, y 1, z 1} e sia S la superficie totale del cubo. Sia n(x, y, z) il versore normale esterno a S nel generico punto (x, y, z) S. Sia F(x, y, z) = (arctan y + ze y + x)i + (x cos z e z )j + (xy e x )k (x, y, z) R. Allora il flusso di F attraverso S vale (A) (B) 1 (C) (D) -1 Allora: Test : Sia data la funzione f(x, y) = (x + y + 1)(x y + 1). (A) ( 1, 1) è punto di massimo (B) Il gradiente di f in (, ) vale (1, ) (C) ( 1, ) è punto di sella (D) ( 1, ) è punto di massimo Test 4: La lunghezza della curva γ(t) = (cos(t ), sin(t )) t [, ] vale: (A) (B) (C) (D) 4 Test : Sia Σ la superficie di equazione z = x y + con x, y. Sia inoltre f(x, y, z) = sin x + cos(y) + z allora quanto vale Σ f dσ? (A) (B) 6 (C) 6 (D) Test 6: Sia f(x, y) = e xy + x + y 1 e sia y = y(x) la funzione definita implicitamente da f(x, y(x)) =, y() =. Allora y () vale? (A) (B) (C) (D) 1 1

2 Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Soluzione dei test: Test 1: Posto v = (v 1, v ), per definizione di derivata direzionale si ha f(1 + tv 1, 1 + tv ) f(1, 1) D v (1, 1) = lim t t (1 + = lim t t) (1 + t ) 1 4 (1 + = lim t + 4 t) (1 + t + t + t ) = lim t t t t t + 4 t + o(t) 1 t = 7 quindi come richiesto Dv (1, 1) = 7. La risposta corretta è pertanto la (C). Test : L idea è quella di usare il teorema della divergenza. Dette F i, i = 1,, le componenti del campo vettoriale F, calcoliamo dunque divf(x, y, z) = F 1 x + F y + F z = = 1 qundi il flusso del campo attraverso S equivale all integrale triplo di 1 su C ma questo corrisponde al calcolo del volume di C che è un cubo con lunghezza dello spigolo uguale a 1, perciò la risposta corretta è la (B). Test : Osserviamo che la funzione data è infinitamente differenziabile, quindi è possibile calcolare il gradiente di f, sia facendo la moltiplicazione f(x, y) = (x + y + 1)(x y + 1) = x xy + x + xy y + y + x y + 1 = x y + x + 1 sia usando la formula della derivazione del prodotto. In ogni caso si ottiene: f(x, y) = (x +, y) = (, ) (x, y) = ( 1, ). A questo punto proviamo a studiare la natura di tale punto con il metodo della matrice Hessiana: si ha H f ( 1, ) = ( ) il cui determinante vale 4 <. Il punto critico considerato è quindi una sella. La risposta esatta pertanto è la (C). Test 4: La curva è regolare e si ha γ (t) = ( t sin t, t cos t ) per cui, indicando con L(γ) la lunghezza di γ si ottiene L(γ) = ( t sin t ) + (t cos t ) dt = La risposta corretta è pertanto la (B). 4t dt = t dt = t dt = [t ] =. Test : Prima di tutto occorre trovare una parametrizzazione della superficie. La più naturale visto che la superficie è data in forma cartesiana risulta x = u r(u, v) = y = v z = u v + da cui e quindi r u (u, v) = (1,, ) r v (u, v) = (, 1, ) r u (u, v) r v (u, v) = (,, 1) r u r v =.

3 A questo punto Σ f dσ = = [sin u + cos(v) + (u v + )] du dv sin u du dv + cos(v) du dv + = [ cos u] + [sin(v)] + [u v ] + 6 = (u v + ) du dv Pertanto la risposta corretta è la (D). Test 6: Dobbiamo controllare che siano verificate le ipotesi per poter applicare il teorema del Dini. Innanzitutto si ha f C (R ). Inoltre f(, ) = e infine f y (x, y) = xe xy + f y (, ) = pertanto le ipotesi del teorema del Dini sono verificate in un intorno dell origine e quindi l equazione f(x, y) = definisce implicitamente una funzione y = y(x) in un intorno di. Si ha inoltre f x (x, y) = ye xy + 1x f x (, ) = da cui y (x) = f x(x, y(x)) f y (x, y(x)) y () = f x(, y()) f y (, y()) = La risposta corretta è pertanto la (C).

4 Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Esercizio (8 punti) Si determini l integrale generale della seguente equazione differenziale ordinaria, al variare di α y + αy + 4y = 4x Si tratta di un equazione differenziale ordinaria del II ordine lineare a coefficienti costanti non omogenea. L integrale generale dell equazione completa si ottiene sommando all integrale generale dell equazione omogenea una soluzione particolare dell equazione completa. L equazione omogenea è: z + αz + 4z =. L equazione caratteristica associata è: r + αr + 4 = il cui discriminante è = α 4 e perciò dipende da α. Distinguiamo tre casi: primo caso: >. Questo accade se e solo se α 4 > cioè se α < oppure α >. In questo caso l equazione caratteristica ha due soluzioni reali e distinte r 1 = α α 4 r = α + α 4 quindi l integrale generale dell equazione omogenea è dato da z α (x) = C 1 e α α 4 + C e α+ α 4 C 1, C R. secondo caso: = se e solo se α = ±. Allora l integrale generale dell equazione omogenea è dato da z α (x) = C e αx + C 4 x e αx C, C 4 R. terzo caso: < se e solo se < α <. In tal caso l equazione caratteristica ha due soluzioni complesse coniugate α ± i α 4 da cui l integrale generale dell equazione omogenea è z α (x) = e αx (C cos( α 4x) + C 6 sin( α 4x)) C, C 6 R. A questo punto occorre trovare una soluzione particolare dell equazione completa. Cerchiamola con il metodo di somiglianza. Andiamo a cercare ȳ α (x) del tipo ȳ α (x) = C 7 + C 8 x, da cui ȳ α(x) = C 8 e ȳ α(x) =. Inserendo queste informazioni nell equazione di partenza si ottiene αc 8 + 4C 7 + 4C 8 x = 4x da cui, risolvendo in C 7, C 8 C 8 = 1 C 7 = α/ quindi una soluzione particolare dell equazione completa risulta ȳ α (x) = α dell equazione completa risulta, con C i i = 1,..., 6 costanti arbitrarie + x. Riassumendo l integrale generale y α (x) = C 1 e α α 4 + C e α+ α 4 α + x α < α > C e αx + C 4 x e αx α + x α = ± e αx (C cos( α 4x) + C 6 sin( α 4x)) α + x < α < 4

5 Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Esercizio (8 punti) Calcolare il volume del solido definito da S = {(x, y, z) R y x 4, y + x 4, z 11, z + y } Abbiamo due condizioni sulla z; è chiaro che la condizione effettiva sarà: D altra parte Poniamo z min{11, + y }. min{11, + y } = 11 se y 9, min{11, + y } = + y se y 9. A = {(x, y) R y x 4, y + x 4, y 9} B = {(x, y) R y x 4, y + x 4, y 9} Si vede chiaramente che B è un triangolo di base e altezza 1 quindi di area 1. Invece l area di A può essere vista come differenza tra l area della regione limitata dalle quattro rette y = x, y = x, y = x + 4, y = x + 4 (che vale 8) e l area di B che vale 1, quindi l area di A vale 7. Inoltre A può essere ulteriormente decomposto a sua volta in due domini x semplici A 1 e A come segue: e A questo punto A 1 = {(x, y) R y x 4, y + x 4, y } = {(x, y) R y, y x y} A = {(x, y) R y x 4, y + x 4, y } = {(x, y) R y, y 4 x 4 y} V (S) = S 1 dx dy dz = A B ( = A ( +y 1 dz) dx dy + B ( = A ( + y ) dx dy + B 11 dx dy min{11,+y } 11 1 dz) dx dy 1 dz) dx dy = A 1 dx dy + A1 y dx dy + A y dx dy + 11 B 1 dx dy = I + II + III + IV. A questo punto A 1 dx dy rappresenta per definizione l area di A che come detto vale 7, quindi I = 14. D altra parte Inoltre III = A y dx dy = = II = A1 y dx dy = y (8 y) dy = Infine IV = 11 per cui riassumendo y dy 4 y y 4 1 dx y dy y y 8y y dy = [ 8 y y4 1 dx = ] V (S) = = 6 + = y dy = 8 = = 8 6 =

6 Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Tema ( punti) Si enunci il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, precisando le ipotesi, e se ne illustrino le applicazioni. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange serve per studiare problemi di ottimizzazione vincolata, cioè problemi di massimo o minimo dove le variabili indipendenti sono soggette a un vincolo, rappresentato da una curva regolare assegnata in una qualsiasi forma: parametrica o cartesiana (esplicita o implicita). Esso rappresenta la corretta generalizzazione del teorema di Fermat nel caso degli estremi vincolati. Formalmente il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sul seguente enunciato: Teorema (metodo dei moltiplicatori di Lagrange) Siano f, g C 1 (R ) e (x, y ) un punto di estremo vincolato per f sotto il vincolo g(x, y) = b. Allora se (x, y ) è regolare per il vincolo (cioè se g(x, y ) (, )) allora esiste λ R (detto moltiplicatore di Lagrange) tale che f(x, y ) = λ g(x, y ). La precedente equazione esprime una condizione di parallelismo tra i gradienti di f e g e può essere interpretata dicendo che se (x, y ) verifica le ipotesi del teorema, allora la derivata di f lungo la tangente al vincolo si deve annullare. In questo caso si dice che (x, y ) è un punto critico vincolato. Operativamente il metodo dei moltiplicatori di Lagrange consiste nell introdurre la funzione L(x, y, λ) detta Lagrangiana come segue: L(x, y, λ) = f(x, y) λ(g(x, y) b). In tal caso il teorema precedente afferma che se (x, y ) è punto di estremo vincolato, allora esiste λ tale che il punto (x, y, λ ) è punto critico libero per L, cioè soluzione del sistema L x = f x λg x = L y = f y λg y = L λ = b g = Le prime due equazioni esprimono la condizione di parallelismo dei gradienti, mentre la terza esprime la condizione di vincolo. Allora sotto il nome di metodo dei moltiplicatori di Lagrange si indica il seguente modo di procedere, basato sulla teoria appena enunciata: (1) si isolano eventuali punti non regolari dell insieme g(x, y) = b che vanno esaminati a parte () si cercano i punti critici liberi della Lagrangiana, cioè le soluzioni del precedente sistema () si determina la natura dei punti critici: a tale proposito risulta spesso utile il teorema di Weierstrass. Il punto (1) è estremamente importante in quanto punti singolari per il vincolo possono essere punti estremo globale. Esempio: trovare (se esistono) massimo e minimo globale per f(x, y) = y x sull insieme S = {(x, y) R y +x 4 (x 4 1) = }. 6

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