Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) =

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1 Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = 3 x (y 1) + 1. b) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore individuato dalla retta y = 3x orientato nel verso delle x crescenti. c) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore individuato dalla retta y = x orientato nel verso delle x crescenti.. Calcolare le derivate parziali in (0, 0) di f(x, y) = 5 y 3 sin x. 3. Calcolare, se esistono, le derivate parziali in (0, 3) di f(x, y) = x (x + y 4). 4. Sia f(x, y) = x y x 4 + y se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Mostrare ce f non è continua in (0, 0), ma ce ammette derivate direzionali in (0, 0) lungo qualunque direzione. 5. Sia f(x, y) = x + y. a) Disegnare il grafico di f. b) Calcolare, dove esistono, le derivate parziali di f. 6. Sia f(x, y) = x + y. a) Disegnare il grafico di f. b) Mostrare ce f è differenziabile nel punto (1, 1), utilizzando la definizione. c) Scrivere l equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1, f(1, 1)). 7. Sia f(x, y) = xe x y. a) Determinare il dominio D di f. b) Calcolare, dove esistono, le derivate parziali di f. 8. Sia f(x, y) = x 3 y. a) Determinare il dominio D di f. b) Calcolare, dove esistono, le derivate parziali di f. c) Mostrare ce f è differenziabile in (0, 0). d) Stabilire dove f è differenziabile. 9. Sia f(x, y) = xy x + y se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) 1

2 a) Calcolare le derivate parziali di f. b) Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0). c) Vale la formula del gradiente in (0, 0)? d) Mostrare ce f non è differenziabile in (0, 0). 10. Dire se la funzione log(1 + xy ) + 1 se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y 1 se (x, y) = (0, 0) è continua, derivabile, differenziabile in (0, 0). 11. Calcolare la derivata della funzione f(x, y) = (x y )e x y nella generica direzione v, nel punto (1, 1). 1. Si consideri la funzione f(x, y) = y e 4x. a) La funzione è differenziabile nel punto (0, 1)? Vale la formula del gradiente nel punto (0, 1)? Si calcolino gradiente e derivate direzionali nel punto (0, 1). b) Qual è la direzione di massima crescita di f nel punto (0, 1)? Quale quella in cui D v f(0, 1) = 0? 13. Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie grafico di f(x, y) = e x sin y in (1, π), giustificandone l esistenza. Calcolare poi D v f(1, π), dove ( 3 v = 5, 4. 5) 14. Sia f(x, y) = (x + 1)y + log(1 + x). a) Calcolare f(0, 0) e determinare massimo e minimo di f(0, 0) v, al variare di v versore qualunque del piano x, y. b) Verificare ce f(0, 0) è ortogonale in (0, 0) alla linea di equazione log(1 + x) y =. 1 + x 15. Data la superficie S di equazione z = x y, dire in quale punto di S il piano tangente è parallelo al piano x, y. 16. Sia f(x, y) = x sin y. Determinare lungo quale direzione D v f(1, 1) = Sia f(x, y) = y 4 e 3x. Determinare lungo quale direzione D v f(0, 1) = 0. y 18. Sia f(x, y) = e 3x. a) Calcolare il gradiente di f nel punto P = (1, 1); b) x determinare l equazione della linea di livello C di f passante per P e calcolare il

3 coefficiente angolare della retta tangente a C in P ; c) verificare ce il gradiente di f è perpendicolare a C in P. 19. Sia f(x, y) = ye xy. a) Scrivere l equazione del piano tangente alla superficie grafico di f nel punto (1,, e ); b) sia C la linea di livello passante per P = (1, ), scrivere l equazione della retta tangente a C in P. Soluzioni. f(t cos θ, 1 + t sin θ) f(0, 1) 1. a) Se v = (cos θ, sin θ), D v f(0, 1) = = t 0 t 3 t cos θt sin θ = 3 cos t 0 t θ sin θ. In particolare (0, 1) = (0, 1) = 0. ( ) b) Si a ce v =,, quindi D v f(0, 1) =. c) Si a ce v = ( ) 1 (cos θ, sin θ), con tan θ =, quindi v = 5,, quindi D v f(0, 1) = Si a ce (x, y) = y3 sin x cos x, dunque (0, 0) si presenta nella 5 5 (y 3 sin x) 4 forma di indecisione 0 0. Calcoliamola allora con la definizione: (0, 0) = f(, 0) f(0, 0) 0 = = 0, analogamente (0, 0) = = 0 = f(, 3) f(0, 3) (0, 3) = 0 esiste; (0, 0) = 0 = 0 f(0, 3 + ) f(0, 3) ( + 5) 0 = 0 = 0. =, quindi non 4. Poicé f(x, x ) = 1 0, si può concludere ce f non è continua in x 0 (0, 0). Calcoliamo le derivate direzionali in (0, 0): D v f(0, 0) = t 0 f(t cos θ, t sin θ) f(0, 0) t = t 0 t cos θt sin θ (t 4 cos 4 θ + t sin θ)t = θ cos sin θ, se sin θ 0; se sin θ = 0 si a ce D v f(0, 0) = t 0 f(t cos θ, 0) f(0, 0) t 3 = 0.

4 5. a) Il grafico di f è un cono circolare retto. b) x (x, y) = x + y, y (x, y) =, se (x, y) (0, 0); (0, 0) non esiste, infatti x + y f(, 0) f(0, 0) (0, 0) = = non esiste; analogamente (0, 0) 0 0 non esiste. 6. a) Il grafico di f è un paraboloide. b) f è differenziabile in (1, 1) infatti f(1 +, 1 + k) f(1, 1) (1, 1) (1, 1)k = + k (1 + ) + (1 + k) k = + k c) L equazione del piano tangente è: z = f(1, 1)+ 1) = x + y. + k + k = 0. (1, 1)(x 1)+ (1, 1)(y 7. a) D = {(x, y) R : y 0}. b) (x, y) = ye x (1 + x ), esiste in D. xex (x, y) = se y 0; se x 0 e y = 0, (x, 0) non esiste; in (0, 0): y (0, 0) = = 0. Dunque la derivata parziale di f rispetto 0 a y esiste in D eccetto ce nei punti del tipo (x 0, 0) con x a) D = R. b) (x, y) = 3 y, esiste in R. (x, y) = x 3 3 se y 0; se y x 0 e y = 0, (x, 0) non esiste; in (0, 0): (0, 0) = = 0 0. Dunque la derivata parziale di f rispetto a y esiste in R eccetto ce nei punti del tipo (x 0, 0) con x 0 0. c) f è differenziabile in (0, 0) infatti f(, k) f(0, 0) (0, 0) (0, 0)k 3 k = + k + k = ρ cos θ 3 ρ sin θ = 0, qualunque sia θ. N.B. f è differenziabile in (0, 0) ρ 0 ρ nonostante ce in (0, 0) non sia verificata la condizione sufficiente di differenziabilità. d) f è differenziabile in tutti i punti del tipo (x, y) con y 0, percé in tali punti ammette derivate parziali e le derivate parziali sono continue in un intorno di tali punti; f è differenziabile ance in (0, 0) per il punto precedente. 4

5 9. a) Se (x, y) (0, 0), (0, 0) si a ce (0, 0) = 0 (0, 0) = 0 (x, y) = y4 x y (x + y ), x (x, y) = f(, 0) f(0, 0) = 0, = 0. 3 y (x + y ). In f(t cos θ, t sin θ) f(0, 0) t 3 cos θ sin θ b) D v f(0, 0) = = = cos θ sin θ. t 0 t t 0 t 3 c) In (0, 0) non vale la formula del gradiente, infatti: D v f(0, 0) = cos θ sin θ (0, 0) cos θ + (0, 0) sin θ = 0. d) Ovviamente f non sarà differenziabile in (0, 0), altrimenti varrebbe la formula del gradiente. Mostriamolo con la definizione: f(, k) f(0, 0) (0, 0) (0, 0)k k = + k ( + k ) + k ρ 3 cos θ sin θ = = cos θ sin θ, dipende da θ, quindi non esiste. ρ 0 ρ La funzione è continua in (0, 0), infatti: log(1 + xy ) log(1 + ρ cos θ sin θ ) +1 = +1 = ρ cos θ sin θ + (x,y) (0,0) x + y ρ 0 ρ ρ 0 1 = 1, qualunque sia θ. Poicé se x = 0, oppure se y = 0, la funzione è identicamente uguale a 1, entrambe le derivate parziali esistono nell origine f(, k) 1 = + k e sono nulle. Per la differenziabilità, calcoliamo il log(1 + ρ cos θ sin θ ) ρ 0 ρ esiste e f non è differenziabili in (0, 0). = cos θ sin θ ; tale ite dipende da θ, quindi non 11. La funzione è di classe C in R, dunque differenziabile. Applicando la formula del gradiente si trova ce D v f(1, 1) = cos θ sin θ. 1. a) f è di classe C 1 in R, dunque è differenziabile ovunque, e vale la formula del gradiente. f(0, 1) = (4, ). D v f(0, 1) = 4 cos θ sin θ. (4, ) b) La direzione di massima crescita è quella del gradiente: v = 5. D v f(0, 1) = 0 se v è perpendicolare al gradiente, cioè se v = v = (, 4). 5 5 (, 4) 5, o

6 13. Si a ce: (x, y) = ex sin y, (x, y) = ex cos y, le derivate parziali sono continue in R, dunque f è ovunque differenziabile. L equazione del piano tangente in (1, π) è: z = f(1, π)+ (1, π)(x 1)+ (1, π)(y π), cioè z+ey = eπ. Poicé f è differenziabile in (1, π), per calcolare la derivata direzionale possiamo applicare la formula del gradiente: D v f(1, π) = (1, π)3 5 + (1, π)4 5 = 4 5 e. 14. a) Si a ce: (x, y) = y x, (x, y) = x + 1, quindi f(0, 0) = (, 1). ( f(0, 0) v è massimo nella ( direzione e verso del gradiente, cioè se 1 v = 5, ); è minimo v =, 1 ). b) La curva data è tangente in (0, 0) alla retta di coefficiente angolare: y (0) = ; si tratta quindi di mostrare ce f(0, 0) è ortogonale a tale retta. Sia w = (1, ), un vettore direzione della retta, poicé f(0, 0) w = (, 1) (1, ) = 0, il gradiente è ortogonale alla retta y = x. 15. Il piano tangente in P = (x, y, f(x, y)) è parallelo al piano x, y se (x, y) = (x, y) = 0. Calcoliamo le derivate parziali: (x, y) = yxy 1, (x, y) = x y log x; esse si annullano contemporaneamente per x = 1, y = 0, dunque il piano tangente in (1, 0, 1) è parallelo al piano x, y e a equazione z = La derivata direzionale è nulla nella direzione ortogonale al gradiente. Si a ce: f(1, 1) = (sin 1, cos 1), quindi v = (cos 1, sin 1) oppure v = ( cos 1, sin 1). 17. f(0, 1) = (3, 4); sia v = (cos θ, sin θ); D v f(0, 1) = 0 se v è ortogonale al gradiente, cioè se 3 cos θ ( 4 sin θ = 0. Tenendo conto della relazione 4 sin θ + cos θ = 0, si trova v = ± 5, 3. 5) 18. a) f(1, 1) = (e 3, e3 ); b) y = x e 6 6x, y (1) = 4; c) f(1, 1) (1, 4) = a) z = 1 (8 4x y); b) y = 4x + 6. e 6