Appunti di Algebra Lineare. Distanze

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1 Appunti di Algebra Lineare Distanze 1

2 Indice 1 Distanze nel piano 1.1 Distanza punto-punto Distanza punto-retta Distanza retta-retta Distanze nello spazio 5.1 Distanza punto-piano Distanza punto-retta Distanza retta-retta Distanze nel piano Mi sembra giusto dirlo subito: ciò che sta in questa sezione è inutile, nel senso che non verrà trattato nelle esercitazioni. Potete passare alla sezione successiva, sullo spazio. Ciò che segue può solo servire a capire analogie e differenze fra alcune delle domande che ha senso porsi sia nel piano che nello spazio. Ad esempio, la distanza di un punto da una retta nel piano e di un punto da una retta nello spazio... Lavoriamo quindi, per il momento, nel piano affine E. calcolare: 1. la distanza fra due punti;. la distanza fra un punto e una retta; 3. la distanza fra due rette. 1.1 Distanza punto-punto In questo ambiente ha senso voler Per ogni intero n ě 1, la distanza fra due punti P =(a 1,...,a n ) e Q =(b 1,...,b n ) di E n è definita come d(p, Q) := a (a 1 b 1 ) + +(a n b n ). (1) Notare che ciò che sta a destra non è altro che la norma (o modulo) del vettore PQ = a 1 b 1... P R n. a n b n Domanda: Quando n = 1, cos è la distanza fra due punti Example 1.1. In E, siano P =(, 1), Q =( 1, 3). Allora d(p, Q) = PQ = a 3 +( ) = 13. Example 1.. La distanza fra P =(0, 0) e Q =(1, 1) è d(p, Q) = =, la famosa diagonale del quadrato di lato 1.

3 Consiglio: disegnarsi la situazione e realizzare che si sta semplicemente applicando il Teorema di Pitagora. Concludere che la definizione generale (1) è una sorta di Pitagora a n dimensioni. 1. Distanza punto-retta Sia r : ax + by + c = 0 l equazione cartesiana di una retta nel piano (scritta in questa forma, significa che il vettore a n = b descrive una direzione ortogonale alla retta r. Dato un punto P 0 =(x 0, y 0 ) che non stia su r, la sua distanza d(p 0, r) da r è definita come la sua distanza dal punto H P r, l unicopuntodir con la proprietà che il segmento P 0 H è ortogonale ad r (quindi parallelo ad n). Siccome la distanza fra due punti la sappiamo calcolare, in linea teorica siamo a posto. Ma come si calcola d(p 0, H), concretamente Scegliamo un punto Q =(x 1, y 1 ) P r sulla retta, diverso da P 0, e tracciamo P 0 Q. La situazione è questa: Sappiamo che n P 0 Q = n P 0 Q cos α = n d(p 0, H). 3

4 Quindi d(p 0, r) :=d(p 0, H) = n P 0 Q n = a(x 1 x 0 )+b(y 1 y 0 ) a + b = ax 1 + by 1 ax 0 by 0 a + b = ax 0 by 0 c a + b. Si noti che per l ultima uguaglianza si è usato ax 1 + by 1 = c, che traduce il fatto che Q sta su r. In conclusione, d(p 0, r) = ax 0 + by 0 + c. a + b Si noti come il risultato finale non dipenda dalla scelta del punto Q. Example 1.3. Sia r : x + 3y 7 = 0eP 0 =(1, ). Allora d(p 0, r) = b +( = = ) Distanza retta-retta Date due rette parallele r 1, r Ă E, definiamo d(r 1, r ):=d(p 1, r ), dove P 1 è un qualunque punto di r 1. Ciò che sta a destra dell uguale lo sappiamo calcolare dal paragrafo precedente. Example 1.4. Siano r 1 : x y + 5 = 0er : x + y 8 = 0. (Sono parallele sì!). Sia P 1 =(0, 5) P r 1. Allora 5 8 d(r 1, r )=d(p 1, r )= =

5 Distanze nello spazio In questa sezione lavoriamo in E 3. Ora, ha senso voler calcolare: 1. la distanza fra due punti;. la distanza fra un punto e un piano; 3. la distanza fra un punto e una retta; 4. la distanza fra due rette; 5. la distanza fra due piani paralleli (preannuncio che questa non verrà trattata: dite voi cos è la distanza fra due piani paralleli! ovvero, l esercizio è di darne una definizione ragionevole). Sulla distanza fra due punti, non vi è nulla da dire che non sia già stato detto dalla formula (1). Facciamo comunque un esempio: Example.1. Se P =(0, 1, ), Q =(1, 3, 1) P E 3, allora d(p, Q) = a (1 0) +(3 + 1) +( 1 ) = = 6..1 Distanza punto-piano Ciò che segue dovrebbe ricordare la distanza punto-retta in E. Il concetto è sempre lo stesso: se abbiamo un piano π, unpuntop 0 =(x 0, y 0, z 0 ) e vogliamo d(p 0, π), ci scegliamo un punto Q P π e tracciamo la retta per P 0 e Q, che andrà a bucare il piano π in un punto (proprio Q, ovviamente). a Questo ci determina un angolo α e, se n = b è il vettore ortogonale a π, allora come nel caso c del piano avremo n P 0 Q = n P 0 Q cos α = n d(p 0, H). Definendo, com è naturale, d(p 0, π) :=d(p 0, H), si trova, esattamente come prima, n P 0 Q d(p 0, π) =, n 5

6 cioè 1 d(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a + b + c. Si noti che tale distanza vale 0 se e soltanto se P 0 P π. Example.. Sia π : x + y 3z + 17 = 0eP 0 =(1,, 1). Allora d(p 0, π) = = Distanza punto-retta Supponiamo di avere una retta r eunpuntop 0. Vorremmo ricondurci a una situazione simile a quella nel piano, dove è facile calcolare la distanza di un punto da una retta - siccome dare una retta nel piano è come dare un vettore, a due componenti, ortogonale alla retta. Dobbiamo anzitutto metterci nella condizione in cui P 0 stia su un piano ortogonale ad r. Quindi, ecco una prima strategia per trovare d(p 0, r): trovare l equazione del piano π per P 0 ortogonale ad r; trovare il punto di intersezione r X π = t H u (cioè: trovare le coordinate di H risolvendo il sistema! e notare che tale intersezione è davvero solo un punto, perché stiamo chiedendo che la retta sia ortogonale al piano) applicare la distanza fra i due punti e calcolare d(p 0, H): questa sarà la distanza cercata. Example.3. Sia dato il punto P 0 =(, 3, 1) elaretta " x z = 0 r : y z 6 = 0. Vogliamo d(p 0, r). Innanzitutto riscriviamo r tramite le sue equazioni parametriche: $ & x = t r : y = t + 6 % z = t 1 La formula seguente l ho dimostrata in classe. E comunque è analoga a quella punto-retta nel piano, c è solo una coordinata in più. Ancora una volta: una retta nel piano assomiglia aunpianonellospazio,piùcheaunaretta nello spazio! 6

7 In questo modo ci ricaviamo il vettore direzionale di r, cherisultaessere r = 1. 1 Allora il piano π per P 0 ortogonale ad r è dato da (x )+(y 3)+(z + 1) =0, cioè x + y + z 6 = 0. Questo termina il primo step. Ora calcoliamo le coordinate del punto H = r X π: $ & x + y + z 6 = 0 r X π : x = z ñ 4z + z z 6 = 0, % y = z + 6 da cui segue che z = 0, quindi anche x = 0ey = 6. Questo dice che H =(0, 6, 0). Infine: d(p 0, r) =d(p 0, H) = a +( 3) +( 1) = 14. Esiste un secondo metodo per calcolare la distanza di un punto da una retta. Se è d(p 0, H) (come prima) la distanza che vogliamo calcolare, la strategia adesso è quella di costruire un opportuno parallelogramma di cui il segmento P 0 H risulti essere l altezza. A tale scopo, consideriamo il versore e r = Applichiamolo (vedi disegno) in modo che termini su H. Se Q è i l p u n t o d i r dove e r risulta applicato, si vede che possiamo costruire il parallelogramma in figura, e P 0 H ne è l altezza. Notare che la base ha lunghezza e r = 1 per costruzione. r r. Quindi l area A di questo parallelogramma è data da e r ˆ P 0 Q = A = Base ˆ Altezza = Altezza = d(p 0, r). 7

8 Ora, si vede che la scelta di dove applicare il versore (cioè la scelta di Q) è davvero irrilevante, perché scegliere un altro punto Q 1 Q e ripetere la costruzione semplicemente muove il parallelepipedo sulla retta r! ma ciò che conta, cioè la sua altezza, continua ad essere uguale a ciò che vogliamo determinare, cioè d(p 0, r). In conclusione: d(p 0, r) = e r ˆ P 0 Q, per ogni Q P r Example.4. Riprendiamo l Esempio.3. Con un confronto dei due metodi sullo stesso esempio ciascuno potrà scegliere il suo preferito. Ebbene, col secondo metodo ci sono tre cose da fare: calcolare e r (cioè r/ r ), scegliere (liberamente!) un punto Q su r, e calcolarsi e r ˆ P 0 Q : questo è il risultato. Per prima cosa, siccome r = 1 abbiamo r = 6, quindi 1 e r = 1 / 6 1 = 1/ 6/ / = 6/6. 6 6/6 Scegliendo t = 0 nelle equazioni parametriche di r si trova il punto Q =(0, 6, 0), quindi P 0 Q = 3 1. Infine: d(p 0, r) = e r ˆ P 0 Q = modulo di = modulo di 6/3 6/3 4 = 6/3 i j k 6/3 6/6 6/6 3 1 c = a 16/9 = Esercizio. Dare una motivazione del perché nello spazio la distanza fra un punto e una retta non ammette una formula chiusa - o intrinseca, cioè dipendente solo dai dati in ingresso (il punto e la retta)..3 Distanza retta-retta Se abbiamo due rette complanari incidenti, la loro distanza (se proprio vogliamo definirla) è nulla. Se sono parallele, la loro distanza è la distanza fra due punti uniti da un segmento ortogonale. Supponiamo di avere due rette sghembe r 1, r Ă E 3. Vogliamo dire cos è, ma soprattutto come si calcola, la loro distanza d(r 1, r ). La loro distanza, astrattamente (ma molto concretamente!), si può pensare così: supponiamo di confrontare tutte le distanze d(p 1, P ) dove P i P r i, e di dichiarare che d(r 1, r ) è la più piccola 8

9 (l inf, a essere precisi) fra tutte. Ebbene, questa è la definizione e come tale merita il nostro rispetto, ma purtroppo è inutilizzabile a fini pratici siccome ci sono infinite distanze (fra punti) da calcolare. Per fortuna, operare questi infiniti confronti è la stessa cosa che fare una cosa ben più semplice: calcolarsi l unica retta dello spazio s con la proprietà di essere ortogonale e incidente sia a r 1 che a r, e calcolarsi d(p 1, P ),dovep i = s X r i. Questa è esattamente d(r 1, r ). Concretamente, si agisce così: si scelgono due punti, diciamo P 1 P r 1 e P P r, e ci si calcola il versore e =( r 1 ˆ r )/ r 1 ˆ r.infine: Oppure, se preferite, d(r 1, r )= P 1 P e. () d(r 1, r )= P 1 P r 1 ˆ r r 1 ˆ r. (3) Remark.1. Date due rette sghembe r 1 ed r, si può trovare il piano π contenente r 1 e parallelo a r. Ebbene, possiamo calcolare la distanza fra r 1 ed r come la distanza fra π e un qualsiasi punto dell altra retta: d(r 1, r )=d(π, P ), per ogni P P r. $ $ & x = t & x = Example.5. Prendiamo le rette r 1 : y = 1 t e r % : y = 1, così che % z = 1 + t z = + 1 r 1 = 1 1, r = Scegliamoci già P 1 =(0, 1, 1) P r 1 e P =(0, 1, 1) (scelti con t = 0 = ): Siccome abbiamo che Quindi, usando () si ha P 1 P = 0 0 r 1 ˆ r i j k 3 = 1 1 = 1 ñ r 1 ˆ r = = 14, r 1 ˆ r e = r 1 ˆ r = 1 3 3/ 14 1 = 1/ /. 14 d(r 1, r )= P 1 P e 1 = =

10 Ma chiaramente veniva lo stesso usando (3): = 1 ( ( 1)) = Esercizio.1. Trovare la comune perpendicolare s a r 1 e r (dell esempio sopra), calcolare P i = s X r i e verificare che d(p 1, P )=d(r 1, r ). $ " & x = x y 1 = 0 Esercizio.. Calcolare la distanza fra le rette r 1 : x + y z = 0 e r : y = + 1 in tre % z = modi: quello dell esempio svolto, quello dell esercizio precedente, e quello della Nota.1. Il risultato è 3/ 5. 10