UNIVERSITA DEGLI STUDI LA SAPIENZA DI ROMA POLO DI RIETI FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL AMBIENTE E DEL TERRITORIO

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI LA SAPIENZA DI ROMA POLO DI RIETI FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL AMBIENTE E DEL TERRITORIO Geometria III esonero pariale A.A. 6 Cognome Nome Matricola Codice Scrivere in stampatello Quesiti (punti per ciascun quesito) Scegliere la risposta esatta giustificandola opportunamente:. Dati in R una retta e due punti stabilire quale delle seguenti affermaione è vera: a. Esiste sempre un piano che li contiene; b. Non esiste alcun piano che li contiene; c. Se esiste un piano che li contiene esso è unico; d. Esistono infiniti piani che li contengono.. Considerati i punti P(, -) e Q(4, ) e detta PQ la retta che li congiunge stabilire il valore di verità delle seguenti affermaioni: a. La retta PQ è parallela al vettore v (, 6); b. La retta PQ ha equaione cartesiana - ; c. La retta di equaione - 7 è perpendicolare alla retta PQ.. Stabilire quali tra le seguenti equaioni rappresenta una circonferena: a. ; b. ; c. 6. Esercii. Determinare i valori del parametro reale k per i quali le rette k k k sono incidenti, parallele o coincidenti. (Punti 4). Scrivere l equaione della circonferena passante per i punti P(, 6), Q(7, -), R(, ). (Punti )

2 . Data la retta r di equaioni t t t e il punto P(,, -) determinare le equaioni della retta per P perpendicolare ad r. (Punti ) 4. Date le rette r ed s rispettivamente di equaioni a. Verificare che sono incidenti ; b. Determinare il loro punto di interseione ; c. Trovare l equaione del piano che le contiene. (Punti 9). Dato il punto A(,, -) e le rette r ed s rispettivamente di equaioni - t - t determinare l equaione del piano per A e parallelo alle rette r ed s. (Punti )

3 SOLUZIONI Quesiti. La risposta corretta è d. Una retta e un punto fuori di essa caratteriano univocamente un piano; pertanto dati una retta e due punti esistono infiniti piani che li contengono.. La risposta a è vera. Infatti i parametri direttori della retta PQ sono (, ) e sono proporionali ai parametri direttori di v (, 6). La risposta b è falsa. Infatti la retta PQ ha equaione ( ) 9 4 La risposta c è vera. Infatti il fascio di rette perpendicolari a PQ ha equaione k k Pertanto la retta - 7 appartenendo al fascio di perpendicolari è essa stessa perpendicolare alla retta PQ.. La risposta corretta è a. Infatti calcolando il raggio della circonferena a si ottiene r 8 ; per la b r 4 ; essendoci sotto il segno di radice un numero negativo la circonferena non è reale; per la c infine si ha r e pertanto la circonferena si riduce al solo centro. Problemi. Consideriamo il sistema costituito dalle equaioni delle due rette k k k Il determinante della matrice incompleta è k Det(A) - k k - k k k Per k pertanto r(a). Considerata la matrice completa del sistema k A k k si ha r(a ) e quindi il sistema è compatibile, ammette un unica soluione e le rette sono incidenti. Per k si ha Det(A) pertanto r(a) mentre r(a ) quindi il sistema è incompatibile, non ammette soluioni e le rette sono parallele.

4 . Per l esistena della circonferena i tre punti devono essere non allineati, cioè deve essere 6 Det(A) 7 Il Det(A) -4 e quindi i tre punti sono non allineati. La generica circonferena ha equaione a b c essa deve essere soddisfatta dalle coordinate dei tre punti dati a 6b c 7 7a b c b c Tale sistema ha il determinante dei coefficienti eguale al Det(A) e pertanto nonnullo, quindi il sistema ammette, per il teorema di Rouchè-Capelli, un unica terna di soluioni che calcoliamo con le formule di Cramer: a c b Quindi l equaione della circonferena richiesta è Per trovare la retta richiesta passante per il punto P e perpendicolare alla retta r basta calcolare i parametri direttori di una generica retta per P ed imporre la condiione di perpendicolarità tra i parametri direttori di questa e della retta r. I parametri direttori della retta r sono l m n. Consideriamo il generico punto Q della retta r esso ha coordinate Q( t, t, t) pertanto considerata la retta PQ i suoi parametri direttori sono l - t t; m t - - t; n - t - 4 t; dovendo essere la retta PQ e la retta r perpendicolari deve risultare ll mm nn essa equivale alla seguente ( t) (- - t) (- 4 t) 4t 4 4t - 9t - 7t 4 t 4 7 4

5 Allora i parametri direttori della retta PQ sono l t m - - t n - 4 t e l equaione richiesta, essendo i parametri direttori proporionali ad l, m, n è 4t 6t 6t. 4. a. Consideriamo il sistema formato dalle equaioni delle rette date - - Determiniamo il rango della matrice dei coefficienti A Si ha r(a) ; essendo il minore M r(a) ; considerata la matrice completa del sistema A il suo determinante Det(A ) e quindi r(a ) ; pertanto il sistema è compatibile, ammette un unica soluione e le due rette sono incidenti.

6 b. Alle coordinate del punto di interseione fra le rette r ed s si giunge sopprimendo un equaione delle quattro poste a sistema e, tenuto conto che il minore M si è ottenuto eliminando la prima equaione, applicando le formule di Cramer si ottiene: Quindi il punto di interseione è P(-,, ). c. L equaione del piano contenente le rette date si ottiene imponendo che esso sia parallelo ai vettori che hanno per componenti i parametri direttori delle due rette e passi per P(,, -). I parametri direttori delle rette date si ottengono considerando le loro equaioni parametriche; nell equaione della retta r posto t si ottiene t t t e analogamente nell equaione della retta s posto t si ottiene t t t Quindi il vettore v(,, -) è parallelo alla retta r e il vettore w(,, -) è parallelo alla retta s; pertanto l equaione del piano è data da: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). Date due rette non parallele e un punto P (,, ) dello spaio, le rette per P parallele alle rette date individuano un piano per P. Considerato un qualsiasi punto P(,, ) del piano se i vettori PP, v e w rispettivamente di componenti (,, ) v(l, m, n) w(l, m, n ) sono complanari e quindi linearmente dipendenti sussiste il seguente teorema: il piano per P parallelo a due rette non parallele di parametri direttori (l, m, n) e (l, m, n ) ha equaione l l' m m' n n' 6

7 Nel caso dell eserciio in questione ricaviamo le equaioni parametriche della retta s; nelle sue equaioni cartesiane, posto t si ha - t t t Pertanto i parametri direttori di r sono (-,, ) e quelli di s (-,, ) le due rette non sono parallele e in base al teorema precedente l equaione del piano parallelo ad r ed s e passante per A(,, -) è data da ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). 7