Sistemi lineari. 1. Generalità. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = k (matrice completa)

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1 Sistemi lineari. Generalità La teoria dei sistemi di equaioni lineari costituisce uno dei capitoli molto importanti della matematica pura e applicata. Infatti molte questioni teoriche o tecniche si traducono agevolmente in sistemi di equaioni lineari che si risolvono con la regola di Cramer o col metodo di Gauss. Le difficoltà di risoluione dei sistemi aumentano all aumentare del numero delle equaioni e delle incognite. I sistemi di due equaioni con due incognite si risolvono facilmente applicando uno qualsiasi dei quattro metodi, di sostituione, di confronto, di riduione o di Cramer, che si studiano sin dai primi anni delle scuole medie superiori. La risoluione di un sistema di tre equaioni a tre incognite comincia invece a essere piuttosto laboriosa. Lo studio delle matrici e dei determinanti agevola notevolmente la ricerca delle soluioni di un sistema con più di tre equaioni e tre incognite. Poiché un sistema può essere tale da non ammettere soluioni, sarebbe bene sapere a priori se esso sia di questo tipo. Così, se le soluioni esistono, si può procedere con i calcoli per pervenire al risultato; se non esistono, invece, si rinuncia allo svolgimento delle operaioni. Il problema circa l esistena o meno delle soluioni di un sistema di equaioni lineari viene risolto molto bene dal teorema di ouché Capelli. Prima di enunciare tale teorema si rendono necessarie alcune precisaioni. Un equaione lineare o di primo grado è una relaione del tipo: a a a a n n dove,,,, n si dicono incognite e a, a, a,, a n si dicono coefficienti delle incognite. Mentre le i sono delle variabili, le a i e sono delle costanti, ossia dei numeri reali. Il numero è detto termine noto dell equaione. Se il termine noto è nullo, l equaione si dice omogenea, altrimenti non omogenea. Un insieme di m equaioni lineari a n incognite costituisce un sistema di equaioni lineari. Generalmente un sistema di tale tipo viene rappresentato nel modo seguente: a a... a n a a... ann... am am... amnn n m dove a ij è il coefficiente dell incognita j dell iesima equaione. Se m, il sistema si dice omogeneo; se, invece, almeno uno dei termini i è diverso da ero, il sistema si dice non omogeneo. Si chiama matrice incompleta di un sistema la matrice formata con i coefficienti delle incognite. Si chiama matrice completa di un sistema la matrice formata con i coefficienti delle incognite e con i termini noti. Se si indica con A la prima e con B la seconda, in questo caso, si ha: a a... a a a... a n a a... an A... am am... amn n a a... an B... am am... amn m Sistemi lineari

2 Si chiama soluione di un sistema di m equaioni lineari a n incognite ogni n pla ordinata (m, m,, m n ) di numeri che trasforma ogni equaione del sistema in una identità quando si pone m, m,, n m n. Il sistema si dice compatibile se ammette almeno una soluione, incompatibile nel caso contrario. ESEMPI. Il sistema: soluione:,,. In seguito si vedrà che un tale sistema ammette infinite soluioni.. è compatibile perché ammette la Il sistema: è manifestamente incompatibile. Non esiste, cioè, nessuna terna di numeri che trasformi in identità entrambe le equaioni.. Teorema di ouché Capelli Condiione necessaria e sufficiente affinché un sistema di equaioni lineari ammetta soluioni è che le matrici completa e incompleta abbiano lo stesso rango (o caratteristica). Si omette la dimostraione. Si consideri il sistema del primo esempio del paragrafo precedente. Le due matrici incompleta e completa sono rispettivamente: A e B Si calcoli prima il rango della matrice incompleta. Il rango della matrice A al massimo può essere perché è proprio l ordine massimo dei minori non nulli che da tale matrice possono essere estratti. Si consideri il minore del secondo ordine formato con le prime due colonne. Si ha: Essendo diverso da ero il minore di ordine estratto dalla matrice A, si ha: rang (A) Si calcoli ora il rango della matrice completa B del sistema. Si osservi che il rango della matrice completa non può essere minore di quello della matrice incompleta perché dalla prima può essere estratto lo stesso minore della seconda. Quindi il rango della matrice completa è maggiore o uguale a quello della matrice incompleta del medesimo sistema.in questo caso il rango della matrice B non può essere maggiore di perché da essa non possono essere estratti minori di ordine maggiore di. Infatti essa ha due righe soltanto. Si ha, quindi: rang (B) Essendo: rang (A) rang (B) Sistemi lineari

3 per il teorema di ouché Capelli, il sistema è compatibile. Si applichi ora il teorema di ouché Capelli al secondo sistema del paragrafo precedente. Si ha: A B Poiché la matrice A è formata da due righe uguali, tutti i minori di ordine che da essa possono essere estratti sono nulli. Non essendo A una matrice nulla, i minori del primo ordine non sono tutti nulli. Si ha, perciò: rang (A ) Poiché dalla matrice B si può estrarre un minore del secondo ordine diverso da ero, il suo rango è. Infatti, si ha: Mentre tutti i minori del secondo ordine estratti da A sono nulli, fra quelli estratti da B ve ne è almeno uno che è diverso da ero. Si ha, perciò: rang (B ) Essendo: rang (A ) rang (B ) per il teorema di ouché Capelli, il sistema è incompatibile.. Determinaione delle soluioni di un sistema lineare In questo paragrafo vengono presentati alcuni esempi esplicativi mediante i quali si vuole mettere in risalto l importana del teorema di ouché Capelli per la risoluione dei sistemi lineari. ESEMPI. isolvere il sistema: 8 Il numero delle incognite supera quello delle equaioni. Il sistema può essere indeterminato o impossibile. Cioè: o esistono infinite terne di numeri che verificano il sistema oppure nessuna. Per stabilire a priori quale delle due condiioni sussista, si considerino le due matrici del sistema: A 8 B E facile constatare che il rango della matrice incompleta è. Infatti, preso il minore formato con le prime due colonne, si ha: 9 Sistemi lineari

4 Poiché il rango della matrice completa non può essere maggiore di, si ha: rang (A) rang (B) Il sistema allora è compatibile. Poiché, come si è detto prima, il numero delle incognite supera il rango delle due matrici, il sistema è indeterminato. La differena fra il numero delle incognite e il rango esprime il grado di indeterminaione del sistema. In questo caso il grado di indeterminaione è perché, essendo il numero delle incognite. Si dice che il sistema ammette (infinito alla ) soluioni. Per determinarle si attribuisce a una delle incognite, ad esempio, un valore arbitrario. Posto Z m, il sistema diviene: 8 m m Si trovano così i valori delle incognite e in funione di m. Si risolve ora il sistema con la regola di Cramer: 8 m m 8 m m 8 m 9 8 m m m m m 9 La soluione del sistema è: 8 m m m dove m può assumere un valore arbitrario. Ad esempio: per m si ha la soluione: 8 per m si ha la soluione: per m si ha la soluione: 9 8 per m si ha la soluione: 8 per m si ha la soluione: E possibile ora dare un interpretaione geometrica dei sistemi di due equaioni a tre incognite. Come è noto, un equaione di primo grado a due incognite rappresenta una retta di un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali. Un sistema di due equaioni a due incognite rappresenta l interseione di due rette, ossia un punto del piano.ad esempio, il sistema: a b c a' b' c' Sistemi lineari

5 rappresenta il punto comune alle rette corrispondenti alle due equaioni. Se il determinante della matrice incompleta o dei coefficienti è diverso da ero, il sistema è compatibile e la coppia (, ) di numeri, soluione del sistema, rappresenta le coordinate del punto di interseione delle due rette. La condiione di compatibilità è espressa dalla relaione: a b ab' a' b a' b' Se, invece, tale determinante è nullo, il rango della matrice incompleta è. In tal caso bisogna trovare il rango della matrice completa. Se è uguale a, il sistema è incompatibile. Ciò significa che le due rette sono parallele. Se il rango delle due matrici è, il sistema è indeterminato. Ciò significa che le due rette sono coincidenti. Nello spaio, un equaione lineare a tre incognite rappresenta un piano, mentre un sistema di due equaioni a tre incognite rappresenta l interseione di due piani. Se i due piani si intersecano, tale interseione è una retta e il sistema è compatibile. Le infinite terne che verificano il sistema sono le coordinaste dei punti della retta. E opportuno precisare che un punto nello spaio è individuato da una terna di numeri. Se i due piani sono paralleli, non si intersecano e perciò il sistema è incompatibile. Si consideri allora il sistema: a b c d a' bì c' d' a) Se il rango delle matrici è, il sistema è compatibile e i due piani si intersecano lungo una retta; b) Se il rango delle due matrici è, il sistema è compatibile e i due piani sono coincidenti; c) Se il rango della matrice incompleta è e quello della matrice completa è, il sistema è incompatibile e i due piani risultano paralleli.. 9 Si considerino le matrici del sistema: A B 9 Poiché gli elementi della seconda riga di A sono proporionali ai corrispondenti elementi della prima riga, tutti i minori del secondo ordine sono nulli. Si ha, perciò: rang (A) Il rango della matrice B, invece, è. Infatti, si ha: 8 Quindi: rang (B) 9 Non essendo uguali i due ranghi, il sistema è incompatibile. I due piani sono paralleli.. 8 Il numero delle equaioni supera quello delle incognite. Sistemi lineari

6 Si considerino le matrici del sistema: a eq. O A 8 B Il rango della matrice incompleta è. Infatti, preso il minore formato con le prime due righe, si ha: 8 9 Si calcola ora il determinante della matrice completa: a eq. Fig. 8 a eq. Quindi: rang (A) 8 ( ) (8 ) 8( 8). Poiché è nullo l unico minore del tero ordine che può essere estratto dalla matrice completa, si ha: rang (B) Essendo uguali i due ranghi, il sistema è compatibile. Considerando il sistema formato con le prime due equaioni, cioè quelle corrispondenti al minore del secondo ordine diverso da ero, si ha: 8 La soluione di questo sistema è anche la soluione della tera equaione, che perciò può essere trascurata. Ciò significa che la retta rappresentata dalla tera equaione passa per il punto di interseione delle due rette rappresentate dalle prime due equaioni. Le tre rette appartengono dunque a un medesimo fascio di rette passanti per uno stesso punto. Questa situaione si presenta allorché una delle tre equaioni si ottiene sommando membro a membro le altre due dopo averle moltiplicate rispettivamente per due numeri. In questo caso la tera equaione è uguale alla somma della prima moltiplicata per e della seconda. isolvendo il sistema, si trova:, Si provi ora se anche la tera equaione viene verificata. Si ha: 8 Si può allora dire che un sistema di n equaioni lineari a due incognite è compatibile se i ranghi delle due matrici sono uguali a oppure a. Nel primo caso, il sistema ammette un unica soluione che si trova risolvendo il sistema di due delle equaioni date. Le rette appartengono al medesimo fascio il cui centro è un punto del piano. Nel secondo caso le rette sono tutte coincidenti e il sistema è indeterminato, ossia tutte le coppie di numeri che verificano una delle equaioni date verificano anche tutte le altre. Sistemi lineari

7 Se il rango della matrice incompleta è e quello della matrice completa è, il sistema è incompatibile. Ciò significa che le rette non appartengono a un medesimo fascio.. a eq. a eq. a eq. O Si considerino le matrici del sistema. A Fig. B Si calcolano i minori del secondo ordine che possono essere estratti dalla matrice A. ; ; Poiché almeno uno dei tre minori del secondo ordine è diverso da ero, si ha: rang (A).. 8 Si calcola il determinante della matrice B. Si ha: Si costruiscono le due matrici del sistema: A Quindi: rang (B). Essendo rang (A) rang (B), il sistema è incompatibile. Le tre rette non appartengono al medesimo fascio. Poiché soltanto due dei minori del secondo ordine sono diversi da ero, non tutte le rette si incontrano a due a due. Infatti, la prima e la tera sono parallele. 8 B Si trovano i minori del secondo ordine estratti dalla matrice A. ; ; Tutti i minori del secondo ordine sono diversi da ero. isulta: rang (A) Sistemi lineari

8 a eq. O a eq. a eq. Fig. Si calcola ora il determinante della matrice B. 8 isulta, così: rang (B). Essendo disuguali i ranghi delle due matrici, il sistema è incompatibile. Poiché inoltre i tre minori del secondo ordine della matrice incompleta sono diversi da ero, le tre rette si intersecano a due a due. Individuano cioè un triangolo.. 8 Si costruiscono le due matrici del sistema. Si ha: A Si calcola il determinante della matrice A. isulta: rang (A). B 8 ( ) ( ). Poiché il rango della matrice completa non può essere minore di quello della matrice incoompleta, si ha: rang (B). Il sistema è compatibile. Essendo inoltre nulla la differena fra il numero delle incognite () e il rango (), esiste una terna soltanto che verifica simultanreamente ler tre equaioni del sistema. Cioè, il grado di indeterminaione è ero. Il sistema quindi è determinato. I tre piani passano per uno stesso punto dello spaio. La soluione del sistema rappresenta le coordinate di tale punto. Si risolve il sistema con la formula di Cramer. Il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite è già stato calcolato. Si ha, cioè: Δ A Si calcolano ora i determinanti delle matrici che si ottengono sostituendo una delle colonne della matrice incompleta con la colonna dei termini noti. Si ha: Δ ; Δ 9 ; Δ Sistemi lineari

9 Sistemi lineari 9 isulta: Δ Δ 9 Δ Δ Δ Δ. Si costruiscono le due matrici del sistema. Si ha: A B Si può notare subito che le tere righe di entrambe le matrici sono uguali al doppio della prima sommata alla seconda. Tali righe sono dunque combinaioni lineari delle prime due. Ciò significa che tutti i minori del tero ordine sono nulli. Invece i minori del secondo ordine non sono tutti nulli. Infatti, considerando il minore formato con le prime due righe e le prime due colonne, si ha: isulta, così: rang (A) rang (B) Il sistema è compatibile. Il grado di indeterminaione è perché la differena tra il numero delle incognite e il rango è proprio ( ). Si considerano le prime due equaioni ponendo. Si ha: Si trova: 8 Attribuendo a tutti i valori reali, si ottengono le infinite terne ordinate di numeri che verificano il sistema. Poiché il grado di indeterminaione del sistema è, esso ammette soluioni. I piani rappresentati dalle tre equaioni passano tutti per una stessa retta; i tre piani appartengono quindi allo stesso fascio. Le infinite soluioni del sistema rappresentano le coordinate di tutti i punti della retta interseione dei tre piani Si costruiscono le due matrici del sistema. Si ha: 9 A 9 B

10 Si nota subito che entrambe le matrici hanno la tera riga uguale alla somma delle prime due. Ciò significa che tutti i minori del tero ordine sono nulli. Si constata facilmente che risultano nulli anche tuti i minori del secondo ordine. Di conseguena le caratteristiche di entrambe le matrici sono uguali a. Si ha, cioè: rang (A) rang (B) Il sistema è compatibile. Essendo la differena tra il numero delle incognite e il rango, il sistema è indeterminato con grado di indetereminaione. Ciò significa che due equaioni si possono eliminare. Si considera allora solamente la prima equaione; ponendo e h, si ha: h Il risultato del sistema è: h h Attribuendo tutti i possibili valori reali a e h, si trovano leinfinite terne ordinate di numeri che verificano il sistema. Poiché le soluioni sono funioni di due parametri, il sistema ammette una doppia infinità di soluioni, ossia ammette soluioni. I tre piani sono coincidenti Le matrici del sistema sono: A, B 8 Nella prima matrice la quarta riga è uguale alla somma della prima e della tera moltiplicata per. Inoltre la tera riga è uguale alla somma della prima e della seconda moltiplicata per. Ciò significa che sono tutti nulli i minori del quarto e del tero ordine che possono essere estratti da tale matrice. Poiché il minore del secondo ordine:, si ha: rang(a). Nella seconda matrice tutti i minori del quarto ordine sono nulli perché la tera riga è combinaione lineare delle prime due. Infatti essa è uguale alla somma della prima riga e della seconda moltiplicata per. Con la regola di Cramer si sarebbe indotti a concludere che il sistema è indeterminato, essendo nulli tutti i determinanti del quarto ordine. Infatti, si avrebbe ero fratto ero. Ciò sarebbe vero se il sistema fosse compatibile, ossia se le matrici A e B avessero lo stesso rango. Si constata invece che il rango della matrice completa è. Infatti, si ha: 8 Ossia: rang(b). Il sistema è incompatibile, essendo diversi i ranghi dele due matrici. Applicando la regola di Cramer, invece, si sarebbe ottenuto: Sistemi lineari

11 Sistemi lineari e avremmo concluso che il sistema è indeterminato e quindi compatibile. Da ciò si può comprendere l importana del teorema di ouché Capelli.. Le matrici del sistema sono: A B Il rango della matrice completa è. Infatti preso il minore formato con la prima, la seconda e la quarta colonna, si ha: 8) ( Affinché il sistema sia compatibile, dev essere: Sviluppando, si ottiene: 8, 8. Si può concludere allora che: per 8 il sistema è incompatibile; per 8 il sistema è compatibile e ammette un unica soluione.. Determinare il parametro in modo che il sistema: sia compatibile. Dev essere: ; ; ( ) ( ) ( ) ; ; 8 ; ± ±

12 . Sistemi omogenei DEFINIZIONE In simboli, si ha: Sistemi lineari Un sistema lineare di n equaioni ad n incognite si dice omogeneo se sono nulli tutti i termini noti. a a... a n n a a... an n... an an... ann n Se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da ero, il sistema ammette soltanto la soluione banale: n Se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, il sistema ammette la soluione generale: j A ij (j,,, n) (dove i è un qualunque numero compreso fra e n; fattore di proporionalità; A ij complemento algebrico del termine a ij della matrice dei coefficienti). Quanto detto vale soltanto se non sono tutti nulli i complementi algebrici della riga considerata. Infatti, tenuto conto della regola di Laplace e della proprietà 9 dei determinanti, sussistono le seguenti identità: aai aai... a nain aai aai... an Ain... aiai ai Ai... ain Ain... anai anai... ann Ain Si dimostra facilmente che i sistemi lineari omogenei sono sempre compatibili. Considerando le matrici del sistema, si ha: a a... a n a a... a A... an an... a n nn a a... a n a a... an B... an an... ann Poiché l ultima colonna della matrice completa è formata tutta di eri, il rango di questa matrice è sempre uguale a quello della matrice dei coefficienti. Ecco provato che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile. Il sistema è determinato se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al numero delle incognite. La soluione è quella banale formata tutta di eri. Il sistema è indeterminato se il rango della matrice dei coefficienti è minore del numero delle incognite. ESEMPI isolvere il sistema:. ()

13 Sistemi lineari Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti. Si ha: Essendo diverso da ero il determinante della matrice dei coefficienti, il sistema ammette soltanto la soluione banale:,,.. Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti. Si ha: Essendo nullo il determinante della matrice dei coefficienti, il sistema è indeterminato. Si calcolano i complementi algebrici dei termini della prima riga della matrice dei coefficienti. Si ha: A ) ( A A La terna:,, è una soluione del sistema. La soluione generale del sistema è:,, dove è un qualunque numero reale. La soluione generale di un sistema lineare omogeneo viene denominata anche soluione propria o autosoluione del sistema. Le soluioni espresse nella forma vettoriale:, esprimono il fatto che esse formino un sottospaio di di dimensione : è lo spaio generato dal vettore che ne rappresenta una base.

14 Sistemi lineari. t t t Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti. Si ha: perché la quarta colonna è uguale alla somma delle prime due. Si calcolano ora i complementi algebrici della prima riga. Si ha: A 9 A 9 A A 9 Una soluione particolare del sistema è: 9, 9,, t 9. La soluione generale del sistema è: 9, 9,, t 9. In forma vettoriale, si può scrivere. t.. 8 Si trasforma la matrice dei coefficienti, in modo da leggerne il rango. 8 Il rango della matrice dei coefficienti del sistema è. Poiché le incognite sono, le soluioni formano un sottospaio di dimensione. Si risolve l equaione.

15 Sistemi lineari Posto: e h, si ha: h. La soluione del sistema è:, h, h. In forma vettoriale, si ha: h,, h.. Il rango della matrice dei coefficienti è. Infatti, si ha: Poiché il numero delle incognite del sistema è lo stesso di quello che denota il rango della matrice dei coefficienti, il sistema è determinato e ammette perciò soltanto la soluione banale:,. TEOEMA Sia AX B un sistema lineare. Se X è una sua soluione particolare e Z una soluione del sistema omogeneo associato AX O, la soluione del sistema dato può essere espressa nella forma X X Z. IPOTESI AX B, AZ O. TESI X X Z. Sommando membro a membro le due espressioni dell ipotesi, si ha: AX AZ B O. Da cui: A(X Z) B. C.V.D.. 9 Una soluione particolare del sistema è rappresentata dalla terna:,. Si consideri il sistema omogeneo associato : Si trasforma la matrice dei coefficienti, in modo da leggerne il rango.

16 Sistemi lineari Il rango della matrice dei coefficienti del sistema è. Poiché le incognite sono, le soluioni formano un sottospaio di dimensione. Posto, si risolve il sistema: Si trova:., La soluione del sistema omogeneo è: Ossia: h La soluione del sistema dato è: X (,, ) (,, ) h(,, ).