il determinante che si ottiene da A, sopprimendo la i - esima riga e la j - esima colonna. Si definisce complemento algebrico dell'elemento a ij

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1 Determinanti Sia data la matrice quadrata a... a n a a n = a... a n nn Chiamiamo determinante di il numero det o che ad essa viene associato. det = a a... a... a... a n n n... a nn Un generico elemento a ij del determinante si dice di classe pari o dispari a seconda che i+ j è un numero pari o dispari. Si chiama minore complementare dell'elemento a ij il determinante che si ottiene da, sopprimendo la i - esima riga e la j - esima colonna. Si definisce complemento algebrico dell'elemento a ij e si indica con ij il minore complementare di a ij preceduto dal segno + o dal segno - a seconda che tale elemento è di classe pari o dispari. Il valore di si ottiene facendo la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i rispettivi complementi algebrici.( teorema di Laplace). : det = Se la linea scelta è la prima riga si avrà det =+ ( + ) 3 ( + ) + ( + ) 3 3 = 3 ( 0) + 3( 5) =

2 Poiché la matrice è del terzo ordine, possiamo giungere allo stesso risultato mediante la regola di Sarrus che prevede la ripetizione delle prime due colonne accanto a quelle date; ossia: 3 det = Sottraendo poi alla somma dei prodotti dei termini della diagonale principale e delle sue parallele la somma dei prodotti dei termini della diagonale secondaria e delle sue parallele si ha: ( 3 ) + ( 5) + ( 3 ( ) 0) ( 3 3 5) ( 0) ( ( ) ) = 0 Proprietà dei determinanti Se gli elementi di una linea sono tutti nulli, il determinante è nullo. Se scambiamo tra loro due linee parallele il determinante cambia segno. Se gli elementi di due linee parallele sono uguali o proporzionali, il determinante è nullo. Se gli elementi di una linea vengono moltiplicati per uno stesso numero k, il determinante viene moltiplicato per k. Due matrici quadrate trasposte hanno lo stesso determinante. Se si moltiplicano gli elementi di una linea per i complementi algebrici di una linea parallela, il determinante è nullo ( teorema di Laplace) Se gli elementi di una linea sono la somma di due o più addendi, il determinante è uguale alla somma dei due o più determinanti che si ottengono disponendo in essi i vari addendi. Il determinante non cambia se si aggiunge agli elementi di una linea gli elementi corrispondenti di un'altra linea ad essa parallela moltiplicati per un numero k. Se una linea è combinazione lineare di due o più altre linee ad essa parallele, il determinante è nullo. Date due matrici quadrate dello stesso ordine, il determinante della matrice prodotto è uguale al prodotto dei determinanti delle matrici date (TEOREM DI BINET) = 3 0 B = B = det = 5 det B = 4 det( B) = 60 det( B) = det det B

3 3 Matrice inversa Diciamo che una matrice quadrata è invertibile quando il suo determinante è diverso da zero. Data la matrice, non singolare (det 0) a a a = a a a a a a consideriamo la sua trasposta t a a a = a a a a a a Dopo aver calcolato i complementi algebrici degli elementi a ij di tale matrice, potremo scrivere la matrice inversa data da: = det Data la matrice quadrata 3 = 5 Essendo det = 3 0 la matrice è invertibile. Per determinare la sua inversa scambiamo dapprima le righe con le colonne t = 3 5 e calcoliamo poi i complementi algebrici degli elementi di t = 5 = 3 = =. vremo quindi 3

4 4 5 3 = 3 Volendo scrivere la matrice inversa, possiamo anche considerare la matrice aggiunta, che ha come elementi della colonna i - esima i complementi algebrici della riga i - esima. 3 = la matrice aggiunta sarà: 68 6 agg = La matrice inversa di è data anche da: = agg con det 0 det Se det = 0 la matrice si dice singolare e non è invertibile. Equazioni matriciali Siano e B due matrici quadrate dello stesso ordine. Se è invertibile, le equazioni X = B Z = B avranno rispettivamente come soluzioni X = B Z = B Ricavare la matrice incognita X, nella seguente equazione, facendo poi la verifica 3 = 5 X 0 3 Essendo det 0 e 5 3 = 3 4

5 5 la matrice incognita sarà: 5 3 X = X = 3 8 Verifica: = L'introduzione della matrice inversa si rende necessaria per poter dividere due matrici e risolvere i sistemi lineari di n equazioni in n incognite con il metodo della matrice inversa Si perviene così alla regola di Cramer di cui si discuterà in seguito. Definizione - Una matrice quadrata di ordine n si dice ortogonale se la sua inversa coincide con la sua trasposta, cioè se risulta = t. Rango o caratteristica di una matrice Sia una matrice di m righe ed n colonne, si definisce rango o caratteristica di l'ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da essa. 3 3 = 5 det = 0 = 0 = poiché l'ordine del minore non nullo è, il rango di è. Osservazioni i) Se ad una linea di una matrice si aggiunge una combinazione lineare delle altre linee parallele, la nuova matrice B ha lo stesso rango di ii) Se la matrice B si ottiene da sopprimendo o aggiungendo in questa una linea che sia combinazione lineare delle altre linee parallele le due matrici hanno lo stesso rango. 5

6 6 Teorema - Le righe di una matrice sono tra loro linearmente dipendenti se e solo se il loro numero è maggiore del rango della matrice. Teorema fondamentale - Il rango (o caratteristica) di una matrice rappresenta il massimo numero di linee parallele linearmente indipendenti della matrice. Possiamo anche dire che è l'ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da essa. Teorema di Kronecher Se una matrice possiede un minore M,non nullo, di ordine k e se sono nulli tutti i minori di ordine k+, ottenuti orlando M con una riga e una colonna qualsiasi di, allora il rango della matrice è uguale a k. Esercizi Determinare il rango della matrice per ogni valore del parametro k k 3 = 0 k Calcoliamo innanzitutto i valori del parametro che annullano il determinante della matrice: k 3 det = 0 k + 3k 4 = 0 da cui k =, k = 4 k Per k ek 4 la matrice ha rango 3. Per k = si ha 3 = 0 ed essendo 0 0 la matrice ha rango. llo stesso modo, si dimostra che per k = - 4 la matrice ha rango. 6

7 7 Regola di CRMER Un sistema lineare di n equazioni in n incognite ammette una sola soluzione quando il determinante D del sistema è diverso da zero. Le n incognite sono date da: Di xi = D Essendo D i il determinante che si ottiene da D sostituendo alla i ma colonna quella dei termini noti. Il metodo di GUSS Per risolvere un sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z si può usare anche il metodo di Gauss, detto anche "delle eliminazioni successive". Per risolvere il sistema moltiplichiamo la prima equazione per a e la seconda per a ; sottraiamo la prima equazione dalla seconda; moltiplichiamo la prima equazione per a 3 e la terza per a ; sottraiamo la prima equazione dalla terza a questo punto la seconda e la terza equazione del sistema non contengono più l'incognita x. Procedendo ancora in modo analogo facciamo in modo che la terza equazione non contenga più l'incognita y. Possiamo quindi ricavare il valore di z e risalire successivamente a quello di y e di x. = 5 ( ) x + y + z = ( ) 4x 5y + z = 3 = 5 y+ z = ( ) y+ z = 4 ( ) = 5 ( 4) y + z = 4x 5y + z = 3 ( ) = 5 y+ z = 3z = 8 quindi: 5 z = y = x =