Determinante. Elisabetta Colombo. Determinante. Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico ,

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1 Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico ,

2 1 n=2 2 3 con le 4

3 n=2 n=2 con le Ad ogni matrice quadrata A = (a ij ) j=1...n i=1...n di ordine n si può associare un numero reale, detto di A (e indicato con det A oppure con A ). NOTA Non viene fornita la definizione di di una matrice, ma solo un metodo operativo per calcolarlo. Per calcolare il della matrice quadrata A di ordine n, si procede nel modo seguente: se n = 1, ossia se A = ( ) a 11, allora det A = a11 ; ( ) a11 a se n = 2, ossia se A = 12, allora a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 12 a 21

4 n=2 n=2 Esempi Data la matrice A = ( si ha: det A = ( 1) 2 0 5= 2. Data la matrice B = ( si ha: det B = 3 ( 1) ( 2) 1 = = 1. ) ) con le

5 n=2 con le Per poter calcolare il di una matrice quadrata di ordine n 3, dobbiamo introdurre le seguenti definizioni. Data la matrice quadrata A di ordine n 2 si definisce A = a 11 a 12.. a 1n a 21 a 22.. a 2n : : : a n1.. a nn Minore complementare dell elemento a ij : il della matrice quadrata di ordine (n 1), detta A ij, ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j. di a ij : il numero reale ( 1) i+j det ( A ij )

6 n=2 con le Esempi Sia A = ( 3 1 A 11 = allora ), il minore associato a A 11 = è det A 11 = 6 1 = 5 e il complemento dell elemento a 11 è ( 1) 1+1 det A 11 = 5 ( ) 1 0 A 21 =, il minore associato a A = è det A 21 = 2 0 = 2 e il complemento dell elemento a 21 è ( 1) 2+1 det A 21 = 2 ( ) 1 0 A 31 =, il minore associato a A = è det A 31 = 1 0 = 1 e il complemento dell elemento a 31 è: ( 1) 3+1 det A 31 = 1

7 n=2 con le Siamo ora in grado di calcolare il di una qualunque matrice quadrata di ordine n 3: Theorem (di ) Fissata una qualunque riga o colonna di A, il deteminante di A si ottiene sommando il prodotto di ogni elemento di tale riga o colonna per il suo complemento.

8 n=2 con le In formule, fissata per esempio la riga k, con 1 k n si ha det A = = a k1 ( 1) k+1 det A k1 + a k2 ( 1) k+2 det A k2 + + a kn ( 1) k+n det A kn oppure, fissando la colonna k, det A = = a 1k ( 1) 1+k det A 1k + a 2k ( 1) 2+k det A 2k + + a nk ( 1) n+k det A nk.

9 n=2 con le NOTA Poichè il calcolo del è indipendente dalla linea (riga o colonna) scelta, conviene, quasi sempre, fissare una linea della matrice che contenga il maggior numero di zeri. Esempio 1 Sia A la matrice dell esempio precedente Per calcolarne il fissiamo (ad esempio) la prima colonna, allora ossia det A = a 11 ( 1) 1+1 det A 11 + a 21 ( 1) 2+1 det A 21 + a 31 ( 1) 3+1 det A 31

10 n=2 con le det =2 ( 1) 1+1 det ( ( ) 1 0 det +0 ( 1) 3+1 det A = 2 (6 1)+( 1) ( 1)(2 0)+0 = = 12. ) +( 1) ( 1) 2+1

11 n=2 con le Fissando invece la terza riga si ottiene, come vediamo, lo stesso risultato: ( ) det =0 det A ( 1)det ( ) det = (6 + 1) =

12 n=2 con le Esempio 2 Per calcolare il della matrice A = , fissiamo, ad esempio, la prima colonna e otteniamo: det A =0 det A 11 1 det det det A 41

13 n=2 con le Fissando ora la seconda riga per il calcolo di ( ) det =det =(3 + 2) =

14 n=2 con le Fissando ora la prima colonna per il calcolo di det = ( ) ( ) ( ) det 2 det 2 det = = 15

15 n=2 Quindi det A= 1 det ( 15) = det = con le

16 n=2 con le Se A è triangolare, cioè con tutti zeri sopra o sotto la diagonale, allora det A = a 11 a 22 a nn. Se A ha una riga o una colonna di zeri, allora det A = 0. Se A ha due righe o due colonne uguali, allora det A = 0. Scambiando due righe (ossia applicando la Trasformazione I) o due colonne il cambia segno. Moltiplicando una riga per un numero k ( 0) (ossia applicando la Trasformazione II) il viene moltiplicato per k. Aggiungendo ad una riga un multiplo di un altra (ossia applicando la Trasformazione III) il non cambia.

17 n=2 con le Data la matrice quadrata di ordine 3, si ha: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 12 a 33 a 21 a 23 a 32 a 11 e si calcola sommando i prodotti degli elementi sulla diagonale e sulle sue traslate e sottraendo i prodotti degli elementi sulla diagonale NE-SO e sulle sue traslate (regola di Sarrus.)

18 n=2 con le Esempio det = ( 2)+( 1) ( 1) 2 ( 2) = = 44

19 n=2 con le NOTA Le proprietà del possono essere utilizzate per semplificare il calcolo. Essenzialmente si cerca, con e per colonna, di ottenere una riga o una colonna con molti zeri per sviluppare poi rispetto ad essa, ricordando che sommando a una riga o a una colonna un multiplo di un altra il non cambia,mentre scambiando righe o colonne il cambia di segno e moltiplicando per k 0 una riga o una colonna il viene moltiplicato per k.

20 Esempi n=2 con le det A = = R R 1 det ) = / =2(7/2

21 Esempi n=2 con le det = +1 det C 1 + C 2 = C 2 + 2C 3 35 det det C 1 2C 3 = det C 1 = det = 35 det 7C 1 = 5C 2 ( ) = 35

22 n=2 con le Theorem (di Rango massimo) Una matrice quadrata A, di ordine n (cioè n n) ha rango massimo n se se solo se det A 0. Dim La matrice A ha rango n se e solo se è equivalente a una matrice a gradini B con n gradini, quindi triangolare con elementi tutti non zero sulla diagonale. Perciò det B che è il prodotto di tali elementi è non zero e quindi è non zero det A che è un suo multiplo per un coefficiente diverso da zero. Viceversa A ha rango k minore di n se è equivalente a una matrice quadrata B con k gradini, quindi con det B = 0, perciò anche det A = 0.