Matrici. Prof. Walter Pugliese

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1 Matrici Prof. Walter Pugliese

2 Le matrici Una matrice è un insieme di numeri reali organizzati in righe e colonne. Se n è il numero delle righe e m e il numero delle colonne si dice che la matrice è di tipo n x m. I numeri che costituiscono una matrice si chiamano elementi e si rappresentano con una lettera minuscola (di solito corrispondente al nome della matrice) munita di un indice costituito da due numeri interi che rappresentano rispettivamente il numero di riga e di colonna dell elemento: A = a $$ a $% a $( a %$ a %% a %) a )$ a )(

3 Esempio 1: A = È una matrice di 3 righe e 4 colonne quindi è di tipo 3 x 4 e si ha per esempio che: Esempio 2: a $$ = 5 a %: = 1 a :% = 0 A = Se tutti gli elementi di una matrice sono uguali a zero, la matrice si dice nulla. Esempio 3: 3 A = B = 1 2 Una matrice può anche avere una sola riga e più colonne oppure una sola colonna e più righe. Matrici di questo tipo si chiamano rispettivamente matrice riga e matrice colonna ; per riferirsi ad esse si usa spesso anche il termine vettore riga o vettore colonna

4 Matrice quadrata Quando il numero di righe è uguale a quello delle colonne, la matrice si dice quadrata ed il numero delle righe si dice ordine della matrice. Esempio: A = È una matrice quadrata di ordine Gli elementi in cui l indice della riga è uguale della colonna costituiscono la diagonale principale della matrice: nell esempio essi sono gli elementi a $$ ; a %% ; a :: (in rosso). Gli elementi che si trovano sull altra diagonale (0; 0; 5)costituiscono la diagonale secondaria.

5 Matrice trasposta Se si scambiano le righe di una matrice con le sue colonne si ottiene un altra matrice che si dice trasposta della prima. La trasposta di una matrice A si indica con il simbolo A T. È evidente che se una una matrice A è di tipo n x m, allora A T è di tipo m x n. Esempio: A = allora A V =

6 Matrice diagonale e matrice triangolare Una matrice quadrata che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli che si trovano sulla diagonale principale, si dice matrice diagonale A = Se sono nulli tutti gli elementi che si trovano al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale, la matrice si dice triangolare A = e B = sono matrici triangolari.

7 Addizione Due matrici A e B si possono sommare solo se sono dello stesso tipo; in questo caso: La matrice somma C = A + B è matrice dello stesso tipo che si ottiene sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici. Esempio: Le matrici A = e B = Sono entrambe del tipo 2 x 3, si ha che: C = A + B = =

8 Sottrazione Chiamiamo opposta di una matrice M la matrice M _ i cui elementi sono gli opposti di quelli di M: Se M = la matrice opposta è M_ = La matrice differenza D = A B è la matrice che si ottiene sommando A con l opposta di B: Siano A = D = A B = e B = allora =

9 Prodotto di una matrice per un numero reale Si definisce prodotto di una matrice A per un numero reale h la matrice che ha per elementi quelli di A, ciascuno moltiplicato per h. Esempio: Siano h = 5 e A = allora h d A = A d h = Viceversa, se tutti gli elementi di una matrice hanno un fattore in comune, questo può essere messo in evidenza: A = = 2 d

10 Prodotto tra matrici Affinchè il prodotto tra due matrici A e B possa essere eseguito occorre che il numero di colonne della matrice A sia uguale al numero di righe della matrice B. Si dice in questo caso che le due matrici sono confrontabili. Il prodotto di due matrici confrontabili A e B, la prima di tipo n x p, la seconda di tipo p x m, è una matrice C di tipo n x m nella quale l elemento c ik si ottiene: Si moltiplicano i termini corrispondenti della riga i-esima e della colonna k-esima Si sommano i prodotti ottenuti.

11 Esempio di prodotto tra matrici

12 Matrice identica Si dice matrice identica una matrice quadrata di ordine n che ha tutti gli elementi uguali a zero tranne quelli che appartengono alla diagonale principale che sono uguali a 1. La matrice identica rappresenta l elemento neutro della moltiplicazione tra matrici, cioe: A d I = I d A = A ESEMPIO: Consideriamo la matrice A = e la matrice identica I = Si ha: A d I = 2 d 1 5 d 0 2 d 0 5 d 1 3 d d 0 3 d d 1 = I d A = 1 d d 3 1 d d 4 0 d d 3 0 d ( 5) + 1 d 4 =

13 CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA Ad ogni matrice quadrata A di ordine n è possibile associare un numero reale che si chiama determinante di A e che si indica con il simbolo det A oppure A Matrice di ordine 1: Il determinante di una matrice di ordine 1 è il numero stesso. Per esempio se A = 3 allora deta = 3 Matrice di ordine 2: Il determinante di una matrice di ordine 2 è la differenza fra il prodotto degli elementi che appartengono alla diagonale principale e il prodotto degli elementi che appartengono alla diagonale secondaria. Per esempio se A = 1 4 allora det A = 1 d 2 3 d 4 = se B = 0 3 $ 1 allora det A = 0 d ( 1) 3 d $ = : % % %

14 Matrice di ordine n: Questa regola può essere estesa al calcolo del determinante di una matrice quadrata qualsiasi, anche se, nei nostri esempi, ci limiteremo a matrici di ordine 3 o 4. Diamo prima alcune definizioni: Si chiama minore complementare dell elemento a ik il determinante della matrice che si ottiene da quella considerata sopprimendo la riga i-esima e la colonna k- esima. L elemento a yz si dice di classe pari se i + k è un numero pari, si dice di classe dispari se i + k è un numero dispari. Si chiama complemento algebrico dell elemento a ik, e si indica di solito con il simbolo A yz, il minore complementare di a yz se questo è di classe pari, il suo opposto se a yz è di classe dispari. Regola (teorema di Laplace): Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

15 Esempio Consideriamo la matrice di ordine 3 A = Risulterà Elemento allora (avendo Minore scelto la complementare riga 3, più conveniente perché contiene Complemento uno zero) : algebrico a 21 = = 1 1 (opposto del minore complementare poiché a 21 è un elemento di classe dispari) a 22 = = (uguale al minore complementare poiché a 21 è un elemento di classe pari) a 23 = = 3 3 (opposto del minore complementare poiché a 21 è un elemento di classe dispari) det A = = = 19