Esercitazioni di Algebra e Geometria
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- Rosalinda Tonelli
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1 Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico Dott.ssa Elisa Pelizzari elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì venerdì Ricevimento studenti: venerdì presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti). 1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
2 Matrice Una matrice m x n a coefficienti in un campo K è una tabella con: m righe n colonne i cui elementi, detti entrate, appartengono al campo K. Esempi di campi sono: Q il campo dei numeri razionali, R il campo dei reali, C il campo dei numeri complessi. Esempio è una matrice 2x3 a coefficienti reali. 2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
3 La notazione ( ) è equivalente a [ ] oppure. Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente:,,,,,, =,,, Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dell alfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola. In forma più sintetica è: =,,,,, dove, è l elemento che si trova in posizione (i,j) cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna. 3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
4 Nell esempio precedente: = , = 3, =, =, =, =, = con, R e gli indici =1,2 e =1,2,3. L insieme delle matrici di dimensioni sullo stesso campo K è indicato con K m,n. Q m,n ha per oggetti le matrici a entrate razionali, R m,n ha per oggetti le matrici a entrate reali, C m,n ha per oggetti le matrici a entrate complesse. Casi particolari: a) =1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 a coefficienti in K. =,,, K 1,n 4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
5 b) =1 si ottengono matrici colonna di dimensioni 1 a coefficienti in K. =,,, Km,1 c) = si ottengono matrici quadrate di dimensioni a coefficienti in K. Il numero n è detto ordine della matrice quadrata. =,,,,,,,,,,,, K n,n,,,,, ma di solito tale insieme si indica M n (K). Ovviamente ==1 è una matrice con un unica entrata =,. 5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
6 Esempi = R 1,5 è una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali. = R 5,1 è una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali = M 6 (R) è una matrice quadrata di ordine 6 con 6 6=36 entrate coefficienti reali. 6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
7 Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A, B due matrici di K m,n. Indichiamo A+B una matrice di K m,n così definita: Quindi la matrice A+B ha in posizione (i,j) l elemento ottenuto sommando ai,j e bi,j in K: Osservazioni: 1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso 7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
8 numero di righe e lo stesso numero di colonne. 2) La matrice O di K m,n con entrate tutte nulle oi,j=0 per ogni i=1,,m e j=1,,n funge da elemento neutro rispetto alla somma di K m,n ed è detta matrice nulla di K m,n : O+A=A+O=A. Esercizio Date le seguenti matrici: Calcolare, ove sia possibile, A+B, B+C, A+D, A+A, B+(B+B) e (B+C)+C. a) A+B: l operazione non è definita in quanto b) B+C: l operazione è definita e la matrice somma è: 8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
9 c) A+D: l operazione non è definita in quanto d) A+A: l operazione è definita e) B+(B+B) le operazioni sono definite: 9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
10 f) (B+C)+C le operazioni sono definite: Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice è possibile calcolare e così via. 10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
11 Possiamo generalizzare e definire: Il prodotto tra uno scalare e una matrice Siano A una matrice di K m,n e λ K uno scalare. Indichiamo λa una matrice di K m,n così definita: Esempio Dunque la matrice finale λa ha in qualsiasi posizione (i,j) l elemento ai,j moltiplicato per lo scalare λ in K. 11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
12 Esercizi da svolgere Si eseguano, quando possibile, le seguenti operazioni con le matrici: A+B, C+D, A+C; A - B, C D, B C; -A, 2B, -3C, -2D; A 2B, 2C + D, 2A+3D. 12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
13 Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra matrice riga e matrice colonna. Siano A, matrice riga di K 1,n, e B, matrice colonna di K n,1 ; indichiamo con A B un elemento di K così definito: Osservazione: il prodotto è definito solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Esempio 13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
14 mentre non è definito. Allora, date A K m,n e B K n,p, definiamo il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B: Osservazione: il prodotto è definito perché il numero delle colonne di A è n per ipotesi uguale al numero di righe di B. Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B può essere così scritto: 14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
15 Esempio Date il prodotto tra una riga di A e una colonna di C è sempre definito. Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C è: Attenzione: il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non è definito. 15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
16 Definiamo ora il prodotto tra due matrici: date due matrici A K m,n e B K n,p, definiamo il prodotto AB una matrice di K m,p il cui elemento in posizione (i,j) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B: Osservazioni: 1) Il prodotto AB è definito solo se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B. Se il prodotto AB è definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B. 2) Se è definito AB, non è detto che lo sia BA: per esempio A matrice di R 3,2 e B matrice di R 2,1 16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
17 3) Se sono definiti AB e BA non è detto che AB=BA: esempio A matrice di R 2,1 e B matrice di R 1,2. Esempi Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. 17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 / 2011
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