LeLing12: Ancora sui determinanti.

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1 LeLing2: Ancora sui determinanti. Ārgomenti svolti: Sviluppi di Laplace. Prodotto vettoriale e generalizzazioni. Rango e determinante: i minori. Il polinomio caratteristico. Ēsercizi consigliati: Geoling 4. Sviluppo di Laplace Lo sviluppo di Laplace di un determinante det(a) n n permette di ridurre il calcolo a quello di n determinanti (n ) (n ). Ecco la formula dello sviluppo secondo la riga i-esima (dove A = (a ij )): det(a) = ( ) i+ a i det(a i ) + + ( ) i+n a in det(a in ) dove A ij e la matrice (n ) (n ) che risulta della A cancellando la riga i-esima e la colonna j -esima. Ecco lo sviluppo seconda la colonna j -esima: det(a) = ( ) j+ a j det(a j ) + + ( ) j+n a nj det(a nj ) Esempio 0.. Ecco lo sviluppo usando la prima riga = = (4 6) 2(3 5) + ( ) = 0 Vediamo la dimostrazione dello sviluppo secondo la prima riga. Osservare che la linearita del determinante dimostrata nella dispensa precedente implica det(a) = j= E j A 2 A n n a j det. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 Geometria

2 dove E j e la base canonica delle righe, cioe E j e nulla tranne nel posto j dove ha. Dunque per terminare la dimostrazione dobbiamo calcolare i determinanti a 2 a 22 a 2(j ) a 2j a 2(j+) a 2n a n a n2 a n(j ) a nj a n(j+) a nn Notiamo che tutta la colonna j -seima non interviene nel calcolo, cioe a 2 a 22 a 2(j ) 0 a 2(j+) a 2n a n a n2 a n(j ) 0 a n(j+) a nn Siccome scambiando due colonne il determinate cambia segno, risulta: E j A 2 det. = 0 a 2 a 22 a 2(j ) a 2(j+) a 2n ( )j = ( ) +j det(a j ) a n a n2 a n(j ) a n(j+) a nn A n Mettendo tutto insieme risulta lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga: det(a) = a det(a i ) ± ± a n det(a n ). Osservare che il determinante a b c d = ad bc e un caso particolare dello sviluppo di Laplace. Prodotto vettoriale Dato un vettore del piano R 2 ( ) a v = vogliamo trovare un vettore perpendicolare ( ) b x w =. Consideriamo il determinate y x y a b. Sappiamo che questo determinate e zero quando x = a e y = a come risulta della formula x y ( ) ( ) x b a b = xb ya =. y a Dunque il vettore ( ) b w = e perpendicolare a ( ) ( ) ( ) a a b v =, cioe = 0. a b b a Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 2 Geometria

3 Questo argomento si generalizza allo spazio R 3 e permette di risolvere il problema di trovare un vettore w perpendicolare a due vettori dati v, v 2. Infatti, siano v = b, c a 2 v2 = b 2 e x w = y. Consideriamo il seguente determinante: c 2 z x y z a b c a 2 b 2 c 2 = x b c b 2 c 2 y a c a 2 c 2 + z a b a 2 b 2 dove l uguaglianza e conseguenza dello svillupo di Laplace respetto alla prima riga. Possiamo interpretare quest ultima uguaglianza come un prodotto scalare, cioe b c x y z a b c a 2 b 2 c 2 = x b c b 2 c 2 y a c a 2 c 2 + z a b x b 2 c 2 a 2 b 2 = y a c z a 2 c 2 a b a 2 b 2 b c b 2 c 2 dunque il vettore w = a c a 2 c 2 e perpendicolare a v e v 2. a b a 2 b 2 Il vettore w si chiama prodotto vettoriale di v e v 2 e lo si denota con v v 2. In modo analogo, usando un determinante n n e lo sviluppo di Laplace si puo risolvere il problema di trovare un vettore w R n perpendicolare a n vettori dati. Il prodotto vettoriale visto geometricamente Abbiamo visto che il prodotto vettoriale v v 2 e perpendicolare a v e v 2. Siccome sappiamo che i vettori perpendicolari a v e v 2 costituiscono una retta, per individuare v v 2 basta conoscere il suo modulo, cioe la lunghezza, e il suo verso. Proposizione 0.2. Il modulo di v v 2 tra v e v 2. e v v 2 sin(θ), dove 0 θ < π e l angolo a Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 3 Geometria

4 v v 2 Dimostrazione. Ricordiamo che il determinante det( v ) e il volume del v2 parellelepipedo generato dai tre vettori v v 2, v, v 2 : V olume( v v 2, v, v v 2 v 2 ) = det( v ) = v v 2 2. v2 Osserviamo allora che: v v 2 v v 2 sin(θ) = Area( v, v 2 ) = det( v v 2 v ) = v v 2 v2 v v 2 Siccome il determinate det( v v 2 v ) e positivo, si v2 conclude che la regola della mano destra e adatta per trovare il verso di v v 2. Dunque v v 2 e l unico vettore che e perpendicolare a v, v 2 che ha lungheza uguale all area Area( v, v 2 ) del parallelogramma generato da v e v 2 e il cui verso si trova usando la regola della mano destra. Il prodotto vettoriale v w si puo anche interpretare in termini di un giro (o rotazione) di 90 gradi. Infatti, supponendo che v w, allora v w e il vettore che si ottiene girando 90 in verso anti-orario il vettore w nel piano normale a v. Questo poiche il determinante nasce nel tentativo di calcolare l area o volume dell paralelopipedo generato tra i vettori. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 4 Geometria

5 Rango e determinante: i minori Ricordare che il determinante ha senso soltanto per le matrici quadrate. Se la matrice non e quadrata possiamo calcolare certi determinati chiamati minori. Un minore d ordine k della matrice A e il determinate di una matrice k k che risulta scegliendo k righe e k colonne della matrice A. Ad esempio, ogni numero a ij e un minore d ordine. Esempio 0.3. Il determinate = 2 e un minore d ordine 2 della matrice , che corrisponde a scegliere la prima e terza riga e la prima e terza colonna. Anche il determinante = 2 e un minore della matrice A. Ecco 8 2 un minore d ordine 3 : = 8 c c n c 2 Osservare che una colonna C = e non nulla se e solo se almeno un minore e. non nullo. Infatti i minori sono i numeri c,, c n e dunque ovviamente C e non nulla se almeno uno di questi numeri e non nullo. Questo e vero in generale, cioe per una matrice A n m qualsiasi; ossia A e non nulla se e solo se almeno un minore e non nullo. Notare che possiamo dire che una matrice ha rango zero se e solo se tutti i minori sono nulli. Questa osservazione si generalizza e diventa il teorema di Kronecker 2. Teorema 0.4. Una matrice A n m ha rango ρ(a) = k se e solo se esiste un minore non nullo d ordine k e tutti i minori d ordine > k sono nulli. Dimostrazione. Sia M k un minore d ordine k. Se ci fosse una combinazione lineare non banale tra le k righe (risp. k colonne) coinvolte nella costruzione di M k allora questa combinazione lineare sarebbe anche una combinazione lineare non banale tra le k righe che si trovano dentro al minore d ordine M k. Questo implica M k = 0. Questo dimostra che M k = 0 se k > ρ(a). Per dimostrare che se k = ρ(a) allora esiste un minore d ordine k non nullo possiamo assumere che A e una matrice con k colonne, 2 Leopold Kronecker (823-89) matematico tedesco. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 5 Geometria

6 cioe facciamo attenzione semplicemente a k colonne linearmenti independenti. Siccome il rango righe e uguale al rango colonne esitono anche k righe linearmente independenti. Dunque il minore k k cosi costruito deve essere non nullo, poiche le k righe sono linearmente independenti. Scelta delle variabile libere Puo capitare di dover risolvere un sistema lineare lasciando libere qualche variabile. Osservare che nel metodo di Gauss-Jordan spiegato all inizio di questo corso le variabili libere sono le ultime, cioe se x, x 2,, x n allora le ultime variabli, x n, x n sono quelle che si cerca di lasciare libere. Cosa succede se vogliamo lasciare libere le variabili x, x 2?. O piu in generale, se vogliamo che un insieme x i, x i2,, x il siano variabili libere. Nella pratica semplicemente si cambia l ordine, cioe si mettono in fondo alla matrice dei coefficienti le colonne delle x i, x i2,, x il e si procede con il metodo di Gauss-Jordan. { x + 2x Esempio 0.5. Vogliamo risolvere il sistema 2 + x 3 + 5x 4 = 3x + 4x 2 + 8x 3 + 3x 4 = 0 libere le varibili x, x 2. Dunque usiamo la seguente matrice del sistema: ( 5 2 ) }, lasciando Notare che la prima colonna corrisponde alla incognita x 3, la seconda alla x 4, la terza alla x e l ultima alla x 2. Adesso procediamo con Gauss-Jordan: ( ) ( ) ( ( Dunque il sistema e equivalente a: sistema con le variabili x, x 2 libere: x x 2 x 3 = x ) ( { x4 + 2x + 4x 2 = 3 x 3 + 3x + 2x 2 = 8 + x x ) 8 ) Ecco la soluzione del Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 6 Geometria

7 Invece nel seguente sistema x, x 2 non possono essere libere nella soluzione generale. Esempio 0.6. { x = 3x + 4x 2 + 8x 3 + 3x 4 = 0 Dopo questi esempi la domanda naturale e quando possiamo scegliere un gruppo di incognite x i, x i2,, x il come variabli libere? Ecco la risposta. Teorema 0.. Sia (A B) un sistema compatibile con n incognite x, x 2,, x n. Le incognite x i, x i2,, x il si possono scegliere come variabili libere se e soltanto se il rango di A e uguale al rango della matrice che risulta da A dopo aver cancellato le colonne delle variabili x i, x i2,, x il. Inoltre, questo e possibile se e soltanto se esiste un minore d ordine l non nullo nella matrice che risulta da A dopo aver cancellato le colonne delle variabili x i, x i2,, x il. La dimostrazione e un semplice corollario della teoria sviluppata fino ad ora. E interessante osservare che il teorema precedende e una versione lineare del Teorema della funzione implicita studiato nel corso di Analisi. Questo teorema permette di definire una funzione (vettoriale) usando un sistema di equazioni non necessariamente lineare. Il polinomio caratteristico Una matrice quadrata A ha associato un polinomio molto importante che si calcola usando il concetto di determinante. Questo polinomio si chiama polinomio caratteristico; eccolo qui: a x a 2 a n a 2 a 22 x a 2n χ A (x) = det(a xid) = a n a n2 a nn x Cioe si sottrae la x lungo la diagonale di A e si calcola il determinante. ( ) 2 Esempio 0.8. Ecco il polinomio caratteristico della matrice A = : 3 4 χ A (x) = x x = ( x)(4 x) 6 = x2 5x 2. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 Geometria

8 Notare che mettendo 0 al posto della x risulta det(a) dunque il termine costante del polinomio caratteristico e il determinante di A. Proposizione 0.9. Il polinomio caratteristico di una matrice n n ha grado n. Dimostrazione. E molto facile usando lo sviluppo ( di Laplace. ) a b Ecco il polinomio caratteristico della matrice A = : c d χ A (x) = a x c b d x = x2 (a + d)x + (ad bc) Notare che il polinomio caratteristico della matrice nulla n n e ( ) n x n e quello della matrice identica n n e ( x) n. Ecco un teorema importante. Teorema 0.0. Sia A una matrice e P una matrice invertibile. Allora il polinomio caratteristico di A e uguale al polinomio caratteristico di P AP. Dimostracione. La formula di Binet implica det(p (A xid)p ) = det(p )det(a xid)det(p ) = det(a xid) = χ A (x) ma det(p (A xid)p ) = det(p AP xid) = χ P AP (x) Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing2 8 Geometria