Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo

Transcript

1 Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0,

2 e 3 con i

3 Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una matrice quadrata di ordine n. A è detta invertibile se esiste una matrice A (detta inversa di A), quadrata di ordine n, A A = A A = I dove I è la matrice identica di ordine n, cioè I =

4 Matrici inverse di matrici quadrate e con i o La matrice inversa di A = ( 3 ) è A = Infatti si verifica ( che: ) AA = = e anche A A = I. ( 0 0 ( 3 ), ).

5 Matrici inverse di matrici quadrate e con i NOTA La matrice inversa non sempre esiste. ( ) 3 o La matrice A = non è invertibile. 0 0 ( ) a b Infatti se esistesse una matrice B = tale che c d AB = I, cioè I = ( 0 0 ) ( 3a c 3b d = AB = 0 0 ), da cui 0 =, ma questo è impossibile. Notiamo che det A = 0.

6 Matrici inverse di matrici quadrate e con i Theorem () Una matrice quadrata A, di ordine n (cioè n n) è invertibile se se solo se det A 0. Dim Notiamo che ogni matrice con deteminante nullo non è invertibile. Infatti: se C è invertibile e C è la sua inversa si ha CC = I e quindi det ( CC ) = det I =. D altra parte, per il Teorema di Binet si ha: det ( CC ) = det C det C e quindi det C det C =, quindi, in particolare, il di ogni matrice invertibile C è diverso da zero.

7 Matrici inverse di matrici quadrate e con i Se invece una matrice ha non nullo allora ha rango uguale a n e quindi gli n sistemi Ax = I...Ax = I n, con I,..., I n le colonne di I, ammettono, per Rouchè-Capelli tutti una e una sola soluzione e tali n soluzioni sono esattamente le colonne della matrice inversa.infatti se le colonne della matrice B sono B,...B n, allora AB = I equivale a AB = I,..., AB n = I n

8 e con i NOTA Il teorema precedente mostra in particolare che per trovare l inversa di una matrice quadrata A (se esiste) basta risolvere gli n sistemi con A la matrice dei coefficienti e i termini noti dati dalle colonne di I:le n soluzioni sono esattamente le colonne. Un metodo per il calcolo si basa sulla risoluzione simultanea con il metodo di Gauss di tali n sistemi. Per applicarlo si procede così:

9 e con i Si affianca alla matrice A che si vuole invertire la matrice identica dello stesso ordine, ottenendo in questo modo una matrice B di tipo (n, n). Si opera sulla matrice B con trasformazioni elementari fino ad ottenere una matrice B le cui prime n colonne siano la matrice identica. Le n colonne a destra della matrice B sono la matrice inversa A.

10 o e con i o Calcoliamo l inversa della matrice A = B = R 3 + R R 3 3 R R R 3 R 5 R 3 0.

11 o e con i R R 3 R 5 R 3 R R R 5 R 3

12 o e con i R 5 R 3 Quindi la matrice inversa è A = 5 (Controllare) 3 4 3

13 Altro metodo di calcolo e con i Il teorema seguente fornisce una formula per calcolare l inversa di una matrice quadrata invertibile. Theorem Sia A = ( a ij ) una matrice quadrata di ordine n. La matrice A è invertibile se e solo se det A 0. In tal caso gli elementi b ij della matrice inversa A sono dati da b ij = det A ( )i+j det A ji. NOTA Quindi l inversa è data dalla trasposta della matrice dei moltiplicata per det A

14 Caso e con i ( ) a b Se A = con det A = ad bc 0, allora c d ( ) A d b = ad bc c a ( d c Infatti la matrice dei è b a ).

15 e con i Calcolare, se possibile, la matrice inversa delle seguenti matrici( ) ( ) i) A = allora det A = 5 e A 3 = ii) A = det A = 0 quindi non esiste l inversa 7 8 9

16 e con i iii) A = 0. det A = = 5 0. Posso quindi calcolare A. Scrivo la matrice dei coefficienti D = 3 quindi A = det A t D =