Geometria BIAR Esercizi 2

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1 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a + kc Soluzione: i vettori cercati sono rispettivamente (, 0, 0) (0, k, 0) (, 0, k). Esercizio. Sia k R, si consideri la generica matrice quadrata di ordine tre: A d e f. (a) Si trovi una matrice E tale che E A kd ke kf d e f (b) Si trovi una matrice E tale che E A (c) Si trovi una matrice E tale che E A d e f g + ka h + kb i + kc Nota: Questo esercizio dovrebbe convincervi che le operazioni elementari dell algoritmo di Gauss possono essere effettuate mediante la moltiplicazione per matrici opportunamente scelte. Avendo un po di pratica con il prodotto righe per colonna, e pensando all esercizio precedente, per trovare queste matrici non è necessario risolvere il sistema. Soluzione: Le matrici sono rispettivamente a) k 0 b) c) k 0 Esercizio. Per ognuna delle seguenti matrici determinare, quando esiste, la sua inversa: A, A, A. a Soluzione: La matrice A non è invertibile, A 6 6 A 0 - a

2 Esercizio 4. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice cos θ sin θ R θ, θ [0, π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos θ ) + sin θ θ [0, π]. Quindi la matrice è sempre invertibile con inversa R cos θ sin θ θ. Usando le identità sin( θ) sin θ e cos( θ) cos θ si vede sin θ cos θ R θ R θ. Esercizio 5. x + y + z È dato il sistema di tre equazioni in tre incognite S : x + y + 6z. x + 6y + z 5 a) Usare il teorema di Cramer per concludere che S ammette un unica soluzione. b) Trovare la soluzione. Soluzione: Il determinante della matrice dei coefficienti è, quindi il sistema è Crameriano. soluzione è data da L unica Esercizio 6. kx + z Determinare per quali valori di k R il sistema di tre equazioni in tre incognite ky + z x + y + kz ammette un unica soluzione. Soluzione: Il determinante della matrice dei coeffcienti è k k. Quindi il sistema ammette una soluzione unica per k 0 e k ± Esercizio 7. x + y + z Si consideri il sistema lineare S : x + y + 4z 5x + 8y + 9z 5 (a) Si verifichi che il sistema è Crameriano. (b) Si applichi l algoritmo di Gauss alla matrice a blocchi fino ad arrivare ad avere la matrice identità nel blocco a sinistra come visto in classe, e si verifichi che il vettore nel blocco destro così ottenuto è la soluzione di S

3 Soluzione: a) Il determinante della matrice dei coefficienti è /. b) Con le operazioni elementari R R R, R R 5R, R R R, R R otteniamo la matrice Conle ulteriori operazioni R R R, R R R, R R R arriviamo alla matrice a blocchi (I,. Sostituendo si vede che il vettore è (l unica) soluzione. Esercizio 8. Si usi l algoritmo di Gauss sulla matrice a blocchi come visto in classe per trovare l inversa (se esiste) della matrice di ordine tre a sinistra. Soluzione: Una (possible) successione di operazioni elementari dà come risultato Esercizio 9. È data la matrice A. Risolvere le seguenti equazioni matriciali nell incognita X determinando in ciascun caso l insieme delle soluzioni. (a) AX. (b) AX X (c) AX X. (d) AX X +. (e) AX X + 0 Soluzione: a) La matrice inversa è A 4. Quindi l unica soluzione è A ( x x b) Poiché I possiamo scrivere l equazione come (A I y y) )X ( 0 )X 0 dunque le soluzioni sono tutti i vettori della forma X t/ t x + y x + y ( 4 4 ( 0 0), ossia 0 0 ) x, y

4 0 c) Procedendo come prima (X I X), otteniamo l equazione X 0, dove 0 è il vettore nullo. La matrice nell equazione precedente è invertibile, dunque l unica soluzione è X 0 d) Usando b), dobbiamo risolvere il sistema ( t)/. t { x + y x + y. Le soluzioni sono tutti i vettori del tipo e) Ragionando come prima, vediamo che in questo caso il sistema è incompatibile, quindi l equazione matriciale non ammette soluzioni. Esercizio 0. a a Calcolare il determinante della matrice b b, esprimendo il risultato come prodotto di tre c c binomi. Per quali valori di a, b, c la matrice è invertibile? Soluzione: Con le operazioni R R R, R R R, R R (c a)/(b a)r otteniamo una matrice triangolare superiore con elementi della diagonale, b a, c a (c a)(b a ) b a. Poichè (b a ) (a + b)(b a) l ultimo elemento della diagonale è c a (c a)(b + a) (c b)(c a); quindi il determinante è (b a)(c b)(c a) e la matrice è invertibile se e solo se a, b, c sono distinti. In effetti per dividere per (b a) bisogna osservare che se b a (o se due qualsiasi dei coefficienti sono uguali) allora due righe sono uguali e il determinante è nullo. Esercizio. a) Trovare una matrice quadrata, non nulla, di ordine, tale che A O. b) Dimostrare che, se A O, allora det A 0. c) Trovare una matrice A di ordine, diversa da O e da I, tale che A A. d) Se A A, quali valori può assumere det A? Soluzione: 0 a) Ad esempio 0 0 o anche. b) Per la formula di Binet 0 det A (det A)(det A) c) Ad esempio , oppure d) Qui la formula di Binet implica che il determinante di A soddisfi x x Esercizio. Siano A, B matrici quadrate invertibili. Si dimostri che AB è invertibile e si scriva l inversa. Soluzione: Poichè esistono le matrici A e B possiamo considerare il prodotto B A. moltiplicando ABB A AIA AA I. Analogamente moltiplicando a sinistra. Si noti che a causa della non commutatività del prodotto l inversa non è A B.

5 Esercizio. Sia A Mat(n) e b b. R n un vettore colonna. Denotiamo con A(i) la matrice ottenuta b n sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore b. (a) Mostrare che det(a(i)) ( ) i+ b det(a i ) ( ) n+i b n det(a ni ) (b) Usare la parte precedente per mostrare che se j i si ha. ( ) i+ a j det(a i ) ( ) n+i a nj det(a ni ) 0 Soluzione: a) Sviluppando il determinante lungo la colonna i, abbiamo la formula det(a(i)) ( ) i+ b det(a(i) i ) ( ) n+i b n det(a(i) ni ) dove le matrici A(i) ki k,..., n sono ottenute da A(i) cancellando la riga k e la colonna i. colonna i di A(i) è l unica diversa dalle colonne della matrice A, quindi A(i) ki A ki. Ma la b) Utilizzando la parte precedente, stiamo calcolando il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la colonna i di A con un altra colonna j di A. Siccome j i, nella matrice così ottenuta abbiamo colonne uguali (la colonna j si ripete due volte), quindi il determinante è nullo. Esercizio 4. Perchè l algoritmo usato nell esercizio 8 per trovare l inversa di una matrice funziona? (Si pensi alla nota dell esercizio ). Soluzione: Per la nota dell esercizio, ogni operazione elementare dell algoritmo può essere effettuata moltiplicando (a sinistra) per una matrice appropriata. Se una matrice A si riduce alla matrice identità dopo k operazioni elementari, significa che esistono k matrici E,..., E k tali che E k E k E A I, dunque A E k E k E (attenzione, l ordine è importante visto che il prodotto di matrici non è commutativo). Quindi l algoritmo equivale a fare le moltiplicazioni (A I) (E A E I) (E A E )... (A A A )