Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A =

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1 Esercitazione di Calcolo Numerico 22 Aprile 29. Determinare la fattorizzazione LU della matrice a A = 3a 2 a 2a a a 2 ed utilizzarla per calcolare il det(a). 2. Calcolare il determinante della matrice A = mediante la fattorizzazione P A = LU. 3. Risolvere i quattro sistemi lineari del secondo esercizio della Esercitazione 5 dell otto Aprile con la fattorizzazione P A = LU.. Determinare la fattorizzazione P A = LU della matrice 2 A = 2 ed usarla per calcolare det(a) e A. 5. Calcolare nel modo computazionalmente più conveniente l inversa della matrice A di dimensione i cui elementi sono definiti da { i = oppure j = a ij = a i j + a ij i j >. Spiegare i motivi della scelta dell algoritmo. 6. Determinare la fattorizzazione P A = LU della matrice dell esercizio uno ed utilizzarla per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (3 2a + 2) T. Specificare per quali valori del parametro reale a il sistema è risolubile.

2 Soluzioni Esercizio Per calcolare la fattorizzazione LU della matrice A è necessario che det(a) : a 3a 2 a 2a a a 2 = a 2 a 2a a 2 3a 2a a 2 + 3a 2 a a a = a[2(2 a) 2a 2 ] (6a + 2a 2 ) + [3a 2 + a(2 a)] = 2a 2 (a + ). Pertanto ha senso calcolare la fattorizzazione LU della matrice A per tutti gli a reali diversi da e. Per fattorizzare la matrice data si applica prima l algoritmo di Gauss: 3 a 3a 2 a 2a a a 2 = a (a + ) 2a 3 a + 3 a (a + ) 2a 3 a + 3 a (a + ) 2a 3 2a a 2 a 3 2a 3 a ; a (a + ) 2a a 3 Quindi si ha (si veda Esercizio 5 della Esercitazione dell otto Aprile): a L = 3 U = (a + ) 2a 3. 2a. = IL determinante della matrice A è dato dal prodotto degli elementi diagonali di U (si veda Esercizio 5 della Esercitazione dell otto Aprile): det(a) = 2a 2 (a + ) ed è in accordo con quanto trovato sopra. 2

3 Esercizio 2 E possibile mostrare (paragrafo.3.3 del testo) che l algoritmo di Gauss con pivoting di colonna può essere rappresentato nella forma P A = LU dove P è la matrice permutazione ed è data dal prodotto da destra verso sinistra dei vari scambi effettuati durante l algoritmo. Per i dettagli si veda il testo paragrafo.3.3 Matrici elementari di Gauss. Nel caso della fattorizzazione A = LU non si effettua alcuna permutazione e sappiamo dall algoritmo di Gauss che il generico passo di eliminazione k- esimo è ottenuto moltiplicando la matrice A (k) per una particolare matrice elementare della forma M k = I m k e T k dove m k = ( m k+ k m k+2 k... m n k ) T sono i moltiplicatori. Per esempio con n = 5 e k = 2 si ha: M 2 = ( ) = m 2 m 5 2 m 3 2 m 2 m 5 2 Facendo agire la matrice M 2 su A (2) si ha: m 3 2 m 2 m 5 2 a () a () 2 a () 3 a () a () 5 a (2) 22 a (2) 23 a (2) 2 a (2) 25 a (2) 32 m 3 2 a (2) 22 a (3) 33 a (3) 3 a (3) 35 a (2) 2 m 2 a (2) 22 a (3) 3 a (3) a (3) 5 a (2) 52 m 5 2 a (2) 22 a (3) 53 a (3) 5 a (3) 55 m 3 2 m 2 m 5 2 a () a () 2 a () 3 a () a () 5 a (2) 22 a (2) 23 a (2) 2 a (2) 25 a (2) 32 a (2) 33 a (2) 3 a (2) 35 a (2) 2 a (2) 3 a (2) a (2) 5 a (2) 52 a (2) 53 a (2) 5 a (2) 55 3 = = a () a () 2 a () 3 a () a () 5 a (2) 22 a (2) 23 a (2) 2 a (2) 25 a (3) 33 a (3) 3 a (3) 35 a (3) 3 a (3) a (3) 5 a (3) 53 a (3) 5 a (3) 55.

4 perché m ik = a (k) basta fare: ik /a(k) kk. Pertanto per ottenere la matrice trinagolare superiore M n M n 2... M 2 M A = U da cui si ottiene A = LU con L = (M n M n 2... M 2 M ). Nel caso più generale di Gauss con pivoting si ha: da cui P A = LU con M n P n M n 2 P n 2... M 2 P 2 M P A = U () L = P (M n P n M n 2 P n 2... M 2 P 2 M P ) (2) matrice triangolare inferiore e P = P n P n 2... P 2 P. (per i dettagli si veda il libro di testo). Quindi per risolvere questo esercizio occorre fare la fattorizzazione della matrice A usando Gauss+pivoting di colonna e tenere conto degli scambi fra righe effettuati. Si ha: non devo fare alcun scambio perché 2 = 2: /( 2) = / ( ) 7 ( )6 8 ( /2) ( /2) = Si vede facilmente che L = (M n M n 2... M 2 M ) è triangolare inferiore. ;

5 devo scambiare la seconda riga con la terza e procedere con l algoritmo: / ( /2)( ) ( /2)( ) ( ) 2 ( ) = /2 /2 3 la matrice è già triangolarizzata infatti anche procedendo con l algoritmo si ha: /2 / /2 /2 3 = /2 /2 3 E stato fatto uno scambio fra la seconda e terza riga quindi la matrice di permutazione P è data da: P = P 2 = mentre seguendo la regola relativa alla fattorizzazione LU le matrici L e U dovrebbero essere date da: 2 6 L = /2 U = 6 /2 /2 / ;

6 ma così facendo si ha che P A LU. Per fare i conti esatti e trovare una nuova regola pratica per individuare in fretta le matrici L e U nella fattorizzazione P A = LU occorre fare uso delle Eqs. () e (2). A questo scopo è utile usare le proprietà uno e due del paragrafo.3.3 Matrici elementari di Gauss del libro di testo:. M k = I + m k e T k 2. M k M k+r = I + m ke T k + m k+re T k+r. Quindi usando la 2 si ha: dove M = Quindi si ha 2 = L = P 3 P 2 P (M 3 P 3 M 2 P 2 M P ) = P 2 (M 3 M 2 P 2 M ) /2 /2 M 2 = /2 L = P 2 M P 2 M /2 /2 2 = M 3 = /2 /2 /2. che è identica alla matrice L che avremmo avuto se non ci fosse stato il pivoting a meno di uno scambio fra la prima seconda e terza riga nei moltiplicatori della prima colonna (sono i moltiplicatori che si ottengono al primo stadio dell algoritmo). Si devono scambiare i moltiplicatori della seconda e terza riga perchè P 2 scambia tra loro seconda e terza riga. Perciò come regola 2 Si noti che P 2 = P 2. 6

7 pratica nella fattorizzazione P A = LU la presenza di una matrice di permutazione P k allo stadio k-esimo dell algoritmo (che scambia la riga i-esima con la riga j-esima) conduce allo scambio del moltiplicatore i-esimo e j-esimo relativi allo stadio k -esimo dell algoritmo. In pratica è come se la matrice di permutazione P k agisse indirettamente sui moltiplicatori dello stadio k con k = 2 3 n (n dimensione della matrice di partenza). Pertanto se la matrice di permutazione è quella relativa al primo stadio dell algoritmo (P ) allora non ci sarà alcun cambiamento nell ordine dei moltiplicatori. Per trovare la matrice U facendo uso della () si ha: /2 U = M 3 P 3 M 2 P 2 M P A = M 2 P 2 M A = /2 = /2 / che è la matrice A (n) dell ultimo stadio dell algoritmo di Gauss con pivoting di colonna (esattamente come accade nella fattorizzazione LU senza pivoting). Per calcolare il determinante della matrice A prendo il determinante della equazione matriciale P A = LU: det(p A) = det(lu) det(p ) det(a) = det(l) det(u) = det(u) = j u jj. La matrice P non è altro che la matrice indentità le cui righe sono state scambiate #(P ) volte e pertanto det(p ) = ( ) #(P ) visto che il determinate di una matrice cambia segno se vengono scambiate due sue righe (o colonne). Si ha allora ( ) #(P ) det(a) = u jj j da cui (moltiplicando per ( ) #(P ) ambo i membri) si ha det(a) = ( ) #(P ) j u jj. 7

8 Di conseguenza per la matrice data dall asercizio si ottiene: det(a) = ( )( 2)( 6)( )(3) = 8. 2 Esercizio 3 Si sa (si veda il libro di testo paragrafi.3.2 e.3.3) che il metodo di Gauss con pivoting di colonna equivale alla fattorizzazione P A = LU. Pertanto per risolvere un sistema lineare Ax = b con la fattorizzazione P A = LU come prima cosa occorre applicare Gauss più pivoting di colonna per trovare le matrici P L e U (occorre cioè fattorizzare la matrice A del sistema) e poi si ha: Ax = b P Ax = P b LUx = P b { Ly = P b Ux = y occorre perciò risolvere due sistemi triangolari. I sistemi lineari da risolvere sono quelli del secondo esercizio della scorsa esercitazione: x 2x 2 + x 3 = 3 5x + x 2 + 2x 3 = 29 3x x 2 + x 3 = x + x 2 + 2x 3 + 3x = 3x x 2 x 3 2x = 2x + 3x 2 x 3 x = 6 x + 2x 2 + 3x 3 x = x + 2x 2 + 3x 3 x = 2x x 2 2x 3 3x = 8 3x + 2x 2 x 3 + 2x = 2x 3x 2 + 2x 3 + x = 8 x + x 2 + x 3 + x = x 2 + 3x = 5 2x + 5x = x + 2x 2 + 3x 3 x = e quindi occorre sfruttare la fattorizzazione P A = LU fatta (in parte) nella esercitazione precedente. Primo Sistema Dall algoritmo di Gauss con pivoting di colonna si vede subito che la matrice P è data da: P = P = 8

9 perché nel corso dell algoritmo ho scambiato la prima con la seconda riga durante il primo stadio mentre le matrici L e U sono date da: 5 2 L = /5 U = /5 8/5 3/5 8/ 3/ dove nella matrice L non faccio alcun scambio visto che la matrice di permutazione è P. Per risolvere il sistema lineare occorre risolvere la coppia di sistemi triangolari: { Ly = P b. Ux = y Il triangolare inferiore è: /5 3/5 8/ y y 2 y y = 29 y 2 = 3 29/5 = 26/5 y 3 = 3/5(29) 8/(26/5) = 283/. Il sistema triangolare superiore è: 5 2 /5 8/5 3/ x x 2 x /5 283/ x 3 = 283/3 x 2 = 5/[26/5 8/5(283/3)] = 8/3 x = /5[29 8/3 2(283/3)] = 5/3 che è in accordo con la soluzione ottenuta nella scorsa esercitazione. 9

10 Secondo Sistema Dalla precedente esercitazione si ha: P = P 2 P = perché nel corso dell algoritmo sono state scambiate la prima e la terza riga al primo stadio e la seconda e la quarta riga al secondo stadio. Le matrici L e U sono date da: L = 2/3 /3 /3 2/3 7/3 2/3 U = /3 8/3 /3 5/3 62/3 22/3 dove nella matrice L ho dovuto scambiare l 2 con l per via di P 2 (che scambia la seconda riga con la quarta riga). Si noti che l 2 = l = 2/3 e quindi in questo caso la matrice L è la stessa che si otterrebbe con la fattorizzazione LU senza pivoting. Il sistema triangolare inferiore da risolvere è: 2/3 /3 /3 2/3 7/3 2/3 y y 2 y 3 y y = y 2 = 8 (2/3) = 32/3 y 3 = (/3)() ( /3)( 32/3) = 7/3 y = 8 (2/3) (7/3)( 32/3) ( 2/3)(7/3) = /3 e il triangolare superiore diventa: /3 8/3 /3 5/3 62/3 22/3 x x 2 x 3 x 32/3 7/3 /3

11 con soluzione x = 2 x 3 = 3/5[7/3 ( 62/3)( 2)] = x 2 = 3/3[ 32/3 (8/3)( ) ( /3)( 2)] = 2 x = /3[ 2(2) ( )( ) 2( 2)] = in accordo con la soluzione trovata nella precedente esercitazione. Terzo Sistema Dalla precedente esercitazione si ha: P = P 3 P 2 P = Se si fosse trattatto di una fattorizzazione LU senza pivoting di colonna la matrice L sarebbe stata: L = /3 2/3 / /3 7/ 9/3 ma per la presenza di P 2 devo scambiare l 2 con l 3 e per via di P 3 devo scambiare l 32 con l 2 : L = 2/3 /3 7/. /3 / 9/3. La matrice U è: U = 3 2 /3 /3 /3 39/ 6/ 5/3.

12 Pertanto il sistema triangolare inferiore è: y 2/3 y 2 /3 7/ y 3 /3 / 9/3 y 6 y = y 2 = 6 2/3( ) = /3 y 3 = (/3)( ) (7/)( /3) = 6/ y = (/3)( ) (/)( /3) (9/3)( 6/) = 5/3 e il triangolare superiore diventa: 3 2 /3 /3 /3 39/ 6/ 5/3 x x 2 x 3 x /3 6/ 5/3 con soluzione x = x 3 = /39[ 6/ ( 6/)()] = x 2 = 3/[ /3 ( /3)() (/3)()] = x = /3[ ( )( ) ( )() ( 2)()] = in accordo con la soluzione trovata nella precedente esercitazione. Quarto Sistema Dalla precedente esercitazione si ha: P = P 3 P = Se si fosse trattatto di una fattorizzazione LU senza pivoting di colonna la matrice L sarebbe stata: L = /2 / /2 /2 /3 2 6.

13 ma per la presenza di P 3 devo scambiare l 32 con l 2 mentre la presenza di P non conduce ad alcun scambio: L = /2 /2 /2 / /3 La matrice U è: U = /2. Pertanto il sistema triangolare inferiore è: y y 2 /2 /2 y 3 /2 / /3 y 5 5 y = y 2 = 5 y 3 = (/2)() (/2)(5) = 7/2 y = (/2)() (/)(5) (/3)( 7/2) = 25/2 e il triangolare superiore diventa: /2 x x 2 x 3 x 5 7/2 25/2 con soluzione x = 25/7 x 3 = /3[ 7/2 ( 5)(25/7)] = 67/ x 2 = /[5 (3)(25/7)] = /7 x = /2[ (5)(25/7)] = 97/ in accordo con la soluzione trovata nella precedente esercitazione. 3

14 Esercizio Per fare questo esercizio occorre applicare l algoritmo di Gauss con pivoting di colonna alla matrice A. Prima controlliamo se la matrice è non singolare (condizione richiesta per poter applicare l algoritmo): det(a) = ( 8 8) = 6 dove è stata usata la regola di Laplace rispetto alla seconda riga. Possiamo ora procedere con l algoritmo visto che la matrice A è invertibile: 2 2 ( 2) 2 2 ( 2) = 2 2 faccio lo scambio fra la seconda e terza riga (pivoting di colonna) e procedo con l algoritmo: 2 2 = 2/ = /2 2 (/2)() Pertanto P = P 2 = 2 L = ;. /2 U = 2 dove per via della matrice P 2 in L ho scambiato l 2 e l 3 ma essendo entrambi uguali ad uno si ha che L è la stessa matrice che si ottiene considerando la sola fattorizzazione LU senza pivoting. Il determinante della matrice A è dato da det(a) = ( ) #P u u 22 u 33 = ( )()()( ) = 6

15 come ci aspettavamo. Per calcolare l inversa devo risolvere tre coppie di sistemi triangolari (si veda l esercizio cinque della Esercitazione dell otto Aprile): { Lyi = P e i i = 2 3. Ux i = y i Prima coppia. { Ly = P e Ux = y il sistema triangolare inferiore è: y y 2 /2 y 3 y = y 2 = y 3 = (/2)( ) = /2. Il triangolare superiore diventa: 2 x x 2 x 3 /2 x 3 = /8 x 2 = /[ (/8)] = / x = ( 2)( /) ()(/8) = che rappresenta la prima colonna della matrice A. Seconda coppia. { Ly2 = P e 2 Ux 2 = y 2 5

16 il sistema triangolare inferiore è: y2 y2 2 /2 y2 3 y 2 = y 2 2 = y 3 2 = Il triangolare superiore diventa: 2 x 2 x 2 2 x 3 2. x 3 2 = / x 2 2 = x 2 = ( /) = che rappresenta la seconda colonna della matrice A. Terza coppia. { Ly3 = P e 3 Ux 3 = y 3 il sistema triangolare inferiore è: y3 y3 2 /2 y3 3 y 3 = y 2 3 = y 3 3 = /2. 6

17 Il triangolare superiore diventa: 2 x 3 x 2 3 x 3 3 /2 x 3 3 = /8 x 2 3 = / x 3 = ( 2)(/) (/8) = che rappresenta la terza colonna della matrice A. Pertanto la matrice inversa è: A = / / /8 / /8 Esercizio 5 La matrice A ha le seguenti entrate: A = L algoritmo computazionalmente più conveniente (fra quelli visti) per calcolare A è la fattorizzazione LU in quanto il calcolo della inversa con la matrice cofattore possiede una complessità computazionale superiore ad n! mentre il calcolo dell inversa con l algoritmo di Gauss ha una complessità computazionale che va come O(n 3 ) (si veda il paragrafo.3.2 del testo per dettagli). Quindi occorre fattorizzare la matrice A con l algoritmo di Gauss senza pivoting e poi risolvere quattro coppie di sistemi triangolari per calcolare l inversa. Si ha:

18 Pertanto L = = = = U = ; ; dove A = LU. Adesso per calcolare l inversa occorre risolvere quattro coppie di sistemi triangolari: { Lyi = e i Ux i = y i i =

19 Prima coppia. { Ly = e Ux = y il sistema triangolare inferiore è: y y 2 y 3 y y = y 2 = y 3 = y = Il triangolare superiore diventa: x x 2 x 3 x. x = x 3 = 3( ) = x 2 = 2() 3( ) = 6 x = ( ) ( 6) = che rappresenta la prima colonna della matrice A. Seconda coppia. { Ly2 = e 2 Ux 2 = y 2 9

20 il sistema triangolare inferiore è: y 2 y 2 2 y 3 2 y 2 y 2 = y 2 2 = y 3 2 = 2 y 2 = 3() 3( 2) = 3. Il triangolare superiore diventa: x 2 x 2 2 x 3 2 x x 2 = 3 x 3 2 = 2 3(3) = x 2 2 = 2( ) 3(3) = x 2 = 3 + = 6 che rappresenta la seconda colonna della matrice A. Terza coppia. { Ly3 = e 3 Ux 3 = y 3 il sistema triangolare inferiore è: y 3 y 2 3 y 3 3 y 3

21 y 3 = y 2 3 = y 3 3 = y 3 = 3 Il triangolare superiore diventa: x 3 x 2 3 x 3 3 x 3. 3 x 3 = 3 x 3 3 = 3( 3) = x 2 3 = 2() 3( 3) = x 3 = 3 + = che rappresenta la terza colonna della matrice A. Quarta coppia. { Ly = e Ux = y il sistema triangolare inferiore è: y y 2 y 3 y y = y 2 = y 3 = y =. 2

22 Il triangolare superiore diventa: x x 2 x 3 x x = x 3 = 3 x 2 = 2( 3) 3() = 3 x = = che rappresenta la quarta colonna della matrice A. Pertanto la matrice inversa è: A = Esercizio 6 Dall esercizio uno già sappiamo che il sistema lineare Ax = b con A matrice quadrata ammette una e una sola soluzione (problema ben posto) quando il determinate della matrice A è diverso da zero e questo accade a R \ { }. Nell esercizio uno abbiamo fatto la fattorizzazione LU della matrice A. Adesso dobbiamo fare quella P A = LU. Si ha: a 3a 2 a 2a a a 2. occorre scambiare la prima e la seconda riga tra loro (pivoting di colonna): 3a 2 a 2a 3a 2 a 2a /3 a (2 a)/3 2a/3 /3 a a 2 a + (2 a)/ a/3 22

23 = 3a 2 a 2a ( + a)/3 (3 2a)/3 2(a + )/3 (6 + 2a)/3 scambio quindi la seconda con la terza riga e procedo con l algoritmo: 3a 2 a 2a 3a 2 a 2a 2(a + )/3 (6 + 2a)/3 2(a + )/3 (6 + 2a)/3 /2 ( + a)/3 (3 2a)/3 (6 a 6 2a)/6 Pertanto si ha: L = = P = P 2 P = /3 /3 /2 3a 2 a 2a 2(a + )/3 (6 + 2a)/3 a U = ;. 3a 2 a 2a 2(a + )/3 (6 + 2a)/3 a dove P A = LU. Per risolvere il sistema lineare Ax = b con b = (3 2a + 2) T si devono risolvere due sistemi triangolari: { Ly = P b. Ux = y Il sistema triangolare inferiore è: y /3 y 2 /3 /2 y 3 3 2a + 2 2a y = y 2 = 2a /3 = 2a + /3 y 3 = 3 /3 a 5/3 = a. 23

24 Mentre il sistema triangolare superiore è: 3a 2 a 2a x 2(a + )/3 (6 + 2a)/3 x 2 a x 3 2a + /3 a (6a + )/3 a x 3 = x 2 = 3/[2(a + )][(6a + )/3 (6 + 2a)/3] = 2 x = /3a[ (2 a)2 2a] = che è la soluzione del sistema lineare di partenza. 2