Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se

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1 Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme delle matrici reali quadrate a R. Se distinguiamo la misura delle matrici, allora per ogni n intero positivo otteniamo una funzione det n : M n (R) R, restringendo il determinante alle matrici n n. Per semplificare la notazione omettiamo l indice n, che nei casi concreti sarà chiaro dal contesto, e scriviamo solo det. Le proprietà elencate qui sotto rendono subito chiara l importanza del determinante. Proprietà fondamentali del determinante. Sia A una matrice n n. A ha rango n se e solo se det A 0. Equivalentemente, le righe di A sono linearmente indipendenti se e solo se det A 0. Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se det A 0. Equivalentemente, A è invertibile se e solo se det A 0. Un applicazione diretta di queste proprietà è la seguente: Supponiamo che v 1,..., v n siano n vettori in R n. Allora {v 1,..., v n } è una base di R n se e solo se det (v 1 v n ) 0. Un altra applicazione importante del determinante sarà la formula per il calcolo dell inversa di una matrice invertibile che abbiamo preannunciato nelle lezioni precedenti. La funzione determinante viene definita attraverso le tre proprietà che stiamo per descrivere. Possiamo vedere det A come una funzione delle righe della matrice 1

2 2 A. Questo vuol dire vedere det A come una funzione di n variabili, ciascuna in R n (visto come insieme di vettori riga): det A = det (A 1,..., A n ) (dove A 1,..., A n sono le righe di A). Tutto quello che diciamo vale ugualmente se sostituiamo ovunque righe (o riga) con colonne (o colonna), perché vale il fatto seguente, di cui non daremo una dimostrazione. Proposizione 1. Per ogni matrice A, det A = det t A. Proprietà che definiscono il determinante. (1) det è una funzione multilineare delle righe di A; (2) det è una funzione alternante delle righe di A; (3) det I n = 1 (dove I n è la matrice identità n n). Spieghiamo il significato delle prime due proprietà. (1) Per ogni i compreso tra 1 e n, se fissiamo le righe diverse dalla i-esima e facciamo variare solo la riga A i, otteniamo una funzione da R n a R. multilinearità vuol dire che ognuna di queste funzioni è lineare, cioè: det (... A i + A i... ) = det (... A i... ) + det (... A i... ) La proprietà di per ogni A i e A i in Rn e det (... λa i... ) = λ det (... A i... ), per ogni A i in R n e λ R, dove tutto quello che compare al posto dei puntini resta fisso a ogni passaggio. (2) La proprietà di alternanza vuol dire questo: se due righe della matrice A sono uguali, allora il determinante di A è nullo, cioè, se esistono i, j {1,..., n} tali che i j e A i = A j, allora det (A 1,..., A n ) = 0. Notazione. Indicheremo talvolta det A con A. Se A è data esplicitamente come tabella (a ij ), scriveremo semplicemente a ij, omettendo le parentesi tonde.

3 3 Esempi. 1. Consideriamo la matrice La sua prima riga è uguale a (1 0 0) + 2 (0 1 0) + 3 (0 0 1), quindi utilizzando la linearità rispetto alla prima riga abbiamo che = Sia A = , B = , C = A e B hanno le prime due righe uguali, mentre la terza riga di B è uguale a 3 per la terza riga di A, quindi det B = 3det A. Invece C = 2A, ovvero ogni riga di C è uguale alla anologa riga di A mltiplicata per 2. Dalla proprietà di omogeneità, applicata a ciascuna riga, si ottiene quindi detc = 2 3 det A. 3. Sia A = Allora per la proprietà di alternanza det A = Le tre proprietà scritte sopra definiscono il determinante nel senso chiarito dal seguente Teorema. Teorema 1. Esiste un unica funzione da M n (R) in R che soddisfa le proprietà (1) (2) e (3) scritte sopra. Quest unica funzione è il determinante. Anche di questo teorema non daremo una dimostrazione completa. Elenchiamo alcune proprietà che sono conseguenze dirette delle proprietà (1), (2) e (3).

4 4 (4) Sia A una matrice n n e sia A la matrice ottenuta da A sostituendo la riga A i con A i + λa j, dove i j, 1 i, j n, e λ R. Allora det A = det A. Dimostriamo come questa proprietà segua da (1) e (2). Possiamo supporre i < j senza perdita di generalità. Allora: det A = det (... A i + λa j... A j... ) = det (... A i... A j... ) + det (... λa j... A j... ) = det A + λ det (... A j... A j... ) = det A (la seconda e terza uguaglianza seguono dalla linearità rispetto all i-esimo argomento, la quarta segue dall alternanza.) (5) Sia A una matrice n n e sia A la matrice ottenuta da A scambiando A i con A j, dove i j e 1 i, j n. Allora det A = det A. Per dimostrare questa proprietà, consideriamo la matrice ottenuta da A sostituendo sia A i, sia A j con A i + A j. Questa ha determinante nullo per l alternanza e otteniamo: 0 = det (... A i + A j... A i + A j... ) = (a) det (... A i... A i + A j... ) + det (... A j... A i + A j... ) = (b) det (... A i... A i... )+det (... A i... A j... )+ +det (... A j... A i... ) + det (... A j... A j... ) = (c) det A + det A, quindi det A = det A. (Per le uguaglianze (a) e (b) abbiamo usato la linearità; per la (c) abbiamo usato l alternanza, ottenendo che il primo e il quarto determinante sono nulli, e la definizione di A.)

5 Dalla proprietà (4) e dalla multilinearità otteniamo invece facilmente il risultato seguente. 5 Proposizione 2. Se una riga di A è combinazione delle altre (in particolare se A ha una riga nulla), allora det A = 0. Dimostrazione. Supponiamo che, per un certo i (1 i n), A i sia combinazione delle altre righe di A: A i = λ j A j. Sottraendo alla i-esima riga λ j A j per ogni j i j i, trasformiamo A in una matrice A che ha la i-esima riga nulla e le altre righe uguali a quelle di A. Per la proprietà (4) det A = det A. Ma, per la proprietà di omogeneità rispetto alla i-esima riga, dal fatto che la i-esima riga di A è nulla, segue che det A = 0, quindi che det A = 0. A questo punto diamo una formula generale per il calcolo del determinante. Sviluppi di Laplace. Precisiamo le notazioni. Sia A = (a ij ), 1 i, j n. Per ogni coppia (i, j) indichiamo inoltre con A ij la matrice (n 1) (n 1) ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna. Infine, per brevità, per ogni matrice B denotiamo det B con B. Parliamo di sviluppi di Laplace, al plurale, perché in realtà abbiamo 2n formule equivalenti, una per ogni riga e una per ogni colonna. Le formule sono di tipo ricorsivo: Se A è una matrice 1 1, allora A è uguale all unico elemento di A. Se A è una matrice n n con n > 1, uno sviluppo di Laplace riduce il calcolo di A al calcolo di n determinanti (n 1) (n 1). Ricorsivamente, ogni determinante è ridotto al calcolo di determinanti 1 1, che sono noti. Sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima riga. n A = ( 1) i+j a ij A ij. j=1 Nella formula i è fisso; al variare di j gli a ij percorrono la i-esima riga; i segni ( 1) i+j, al variare di j, sono + e alternati: si parte con + se i è dispari, con se i è pari.

6 6 Sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima colonna. A = n ( 1) i+j a ij A ij. i=1 Qui è j che è fisso; al variare di i gli a ij percorrono la j-esima colonna; la regola dei segni è analoga al caso precedente. Esempi. 5. Calcolo di un determinante 2 2. Scriviamo cosa è il determinante di una generica matrice 2 2. Utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga. (Ovviamente utilizzando gli altri sviluppi possibili dobbiamo ottenere lo stesso risultato.) a c b d = ( 1)1+1 ad + ( 1) 1+2 bc = ad bc. Quindi il determinante di una matrice 2 2 è la differenza dei prodotti incrociati. 6. Per il calcolo seguente utilizziamo ancora lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga = ( 1) ( 1) ( 1) = 2(3 4) 3(3 2) + 4(2 1) = = 3 7. Per il calcolo seguente utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda colonna: questa scelta è la più conveniente perché la seconda colonna ha solo due elementi non nulli (gli elementi nulli della colonna danno un contributo nullo alla sommatoria) = ( 1) ( 1) = [il primo dei due determinanti 3 3 scritti sopra è nullo per la Proposizione 3, perché la seconda riga e la terza sono proporzionali] ( = = 2 ( 1) ( 1) ) 1 2 =

7 7 = 2(5(1 2) + 0) = 10 [per il determinante 3 3 abbiamo usato lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna.] Il calcolo del determinante è particolarmente semplice in alcui casi speciali. Ricordiamo che la diagonale (principale) di una matrice quadrata n n è costituita per definizione dai termini di posto (i, i), per i = 1,..., n. Definizione. Una matrice n n, D = (d ij ), si dice diagonale se tutti gli elementi che non stanno sulla diagonale principale sono nulli, cioè se d ij = 0 per tutti gli i e j in {1,..., n} tali che i j. (I termini diagonali possono essere nulli o non nulli.) Definizione. Una matrice n n, T = (t ij ), si dice triangolare superiore se tutti i suoi elementi posti sotto la diagonale principale sono nulli (cioè se t ij = 0 per tutti gli i e j tali che 1 j < i n). T si dice strettamente triangolare superiore se è triangolare superiore e in più anche i termini diagonali sono tutti nulli (cioè t ij = 0 per tutti gli i e j tali che 1 j i n). Analogamente, T si dice triangolare inferiore se tutti i termini posti sopra la diagonale principale sono nulli e strettamente triangolare inferiore se in più anche la diagonale è nulla. Dalla multilinearità del determinante otteniamo subito che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei termini diagonali, infatti, utilizzando l omogeneità rispetto a ciascuna riga, otteniamo subito che d = d 1 d n = d.. 1 d n d n In realtà anche il determinante di una matrice triangolare è il prodotto dei termini diagonali. Mostriamolo ad esempio per una matrice triangolare superiore. Per n = 1 il risultato è ovvio; dimostriamolo per n > 1, per induzione, supponendolo

8 8 vero per n 1. Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo: t 11 t 1n t t 2n = t = t 11 t 22 t nn t nn 0 0 t nn Dalle proprietà (4) e (5) otteniamo direttamente che la riduzione a scala di una matrice mediante l eliminazione di Gauss cambia al più il segno del determinante, precisamente, se teniamo conto degli scambi di riga fatti, possiamo ridurre il calcolo di qualunque determinante al calcolo per una matrice a scala. Ora osserviamo che una matrice quadrata a scala non è altro che una matrice triangolare superiore. Quindi otteniamo il risultato seguente. Proposizione 3. Se la matrice T è ottenuta dalla matrice A mediante eliminazione di Gauss, allora det A = det T (qui le barre laterali indicano il valore assoluto). Si ha det A = det T se il numero totale di scambi di righe fatti durante l algoritmo è pari; mentre det A = det T se il numero di scambi di righe è dispari. Esempio 8. (a) = = = 1 (b) = = = 6 Dal fatto che il determinante di una matrice triangolare è il prodotto dei termini diagonali otteniamo che qesto è non nullo se e solo se tutti i suoi termini diagonali della matrice triangolare sono diversi da 0. Questo ci permette di provare molto facilmente quelle che abbiamo chiamato le proprietà fondamentali del determinante. Per questo è sufficiente provareil risultato seguente.

9 9 Teorema 2. Sia A una matrice n n. Allora det A 0 se e solo se rk A = n. Chiaramente da questo enunciato seguono direttamente anche tutti gli altri risultati enunciati tra le proprietà fondamentali, nella prima pagina. Dimostrazione. A può essere ridotta ad una matrice a scala T mediante eliminazione di Gauss. T è triangolare e ha rango n se e solo se ha tutti i termini diagonali non nulli (deve avere n pivot), quindi se e solo se det T 0. Poiché rk A = rk T e det A = det T, otteniamo la tesi. Nel pratica, per fare i calcoli a mano, spesso conviene semplificare la matrice iniziale, senza cambiare il determinante, con le operazioni della proprietà (4), e poi usare degli sviluppi di Laplace. Esempio 9. Per il calcolo seguente (è lo stesso determinante dell esempio 7) sottraiamo alla terza riga la quarta moltiplicata per 2, e poi usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga: = = ( 1) = [nella matrice 3 3 sottraiamo alla seconda colonna la prima moltiplicata per 2, quindi usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga] = = 2( 1)3+2 ( 1)( ) = 10

10 10 Formula per l inversa di una matrice. Diamo finalmente la formula per calcolare l inversa di una matrice A con det A 0. Conserviamo le notazioni introdotte per gli sviluppi di Laplace e definiamo A come la matrice che ha come elemento di posizione (i, j) ( 1) i+j A ij e Allora A = t A. AA = (deta)i n, quindi, se det A 0, A 1 = 1 det A A. Infatti, dalle formule di Laplace, si vede facilmente che l elemento di posizione (i, i) di AA è il determinante di A sviluppato rispetto alla i-esima riga, mentre, per i j, l elemento di posizione (i, j) di AA è il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la riga A j con la riga A i, quindi è nullo. Esempi. 10. ( Inversa ) di una matrice 2 2. Consideriamo una ( generica ) matrice 2 2, a b d c A =. Allora dalle definizioni otteniamo A c d = e b a ( ) A d b =. c a quindi, se det A 0, ( A 1 d/ A b/ A = c/ A a/ A ( dove A = ad bc. Ad esempio, se A = quindi A è invertibile e ), ), allora det A = = 3, A 1 = 1 ( ) ( ) = /3 1/3 11. Calcoliamo l inversa della matrice A = Con lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga otteniamo det A = 1 (4 2) = 2, quindi A è invertibile. Nelle notazioni precedenti abbiamo

11 11 A 11 = = 4, A 12 = = 0, A 13 = = 1, A 21 = 1 4 = 2, A 22 = 1 4 = 2, A 23 = = 0, A 31 = 1 0 = 2, A 32 = 0 0 = 0, A 33 = = 1. Aggiungendo i segni e trasponendo otteniamo: A = e, dividendo per det A, A 1 = /2 0 1/2

12 12 Applicazione: sistemi lineari di n equazioni in n incognite. Consideriamo un sistema lineare di n equazioni in n incognite Mx = b. La matrice dei coefficienti M è una matrice n n. Dalla teoria dei sistemi lineari sappiamo che il sistema è risolubile se e solo se rk M = rk (M b) e inoltre che, in questo caso, la soluzione è unica se e solo se il rango coincide con il numero delle incognite. Questa seconda condizione equivale a rk M = n e quest ultima implica necessariamente che anche rk (M b) = n. Infatti rk (M b) rk M = n, ma si ha anche rk (M b) n, perché il rango non può superare il numero delle righe. Otteniamo quindi il risultato seguente. Proposizione 4. Il sistema Mx = b ha soluzione unica se e solo se det M 0. Inoltre, in questo caso l unica soluzione del sistema è uguale al vettore M 1 b. Se det M = 0 allora il sistema ha nessuna o infinite soluzioni. In particolare, il sistema omogeneo Mx = 0 ha soluzioni diverse da 0 se e solo se det M = 0. Dimostrazione. La prima affermazione segue direttamente dalla discussione precedente e dalla Proposizione 4. Per provare la seconda affermazione basta osservare che se det M 0 allora M ha inversa e quindi moltiplicando l equazione Mx = b per M 1 si ottiene x = M 1 b. Infine, se det M = 0 allora rk M < n e quindi il sistema omogeneo Mx = 0 ha infinite soluzioni, in particolare ha soluzioni non nulle. Quindi anche Mx = b, se è risolubile, ha infinite soluzioni (ovviamente in questo caso, se b 0, Mx = b può non essere risolubile).

13 Il teorema di Binet. Il teorema che segue, noto come teorema di Binet, asserisce che il determinante del prodotto di due matrici quadrate è il prodotto dei determinanti delle due matrici. Teorema. Siano A e B due matrici n n. Allora 13 det (AB) = det A det B. Omettiamo la dimostrazione. È chiaro che l enunciato si generalizza al prodotto di un numero finito qualunque di matrici. L applicazione più importante del teorema è il corollario seguente. Corollario. Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora det (A 1 ) = 1 det A. Dimostrazione. Per il teorema precedente abbiamo che det (A 1 ) det A = det (A 1 A) = det (I) = 1, che equivale alla tesi.