Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli

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1 Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da quanti parametri tali soluzioni dipendono. 1 Sistemi Lineari Richiamiamo la terminologia sui sistemi lineari gia introdotta nelle lezioni precedenti. ove Consideriamo il sistema lineare di m equazioni in n incognite: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m In forma compatta tale sistema si scrive: Ax = b, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn è detta matrice incompleta del sistema, o anche matrice dei coefficienti, mentre x 1 x 2 x =. x n b 1 b 2 e b =., sono detti rispettivamente il vettore delle incognite e il vettore dei termini noti. La matrice completa (A b) associata al sistema è b m 1

2 a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m Ingenerale, datauna matrice M, indicheremo conm j il vettore costituito dalla sua j-esima colonna. Nel caso di A abbiamo quindi: A j = a 1j a 2j. a mj. Definizione 1.1. Il rango di una matrice M M m n è la dimensione dello spazio generato dai vettori colonna di M, cioè: rk (M) = dimspan(m 1,...,M n ). Osserviamo che il rango di una matrice A e uguale ad altre quantita che conosciamo bene. Il rango di A e la dimensione dell immagine dell applicazione lineare f : R n R m, x Ax. Infatti sappiamo bene che l immagine e generata proprio dai vettori che formano le colonne di A, che a loro volta sono proprio le immagini dei vettori della base canonica in R n, cioe f(e 1 ) = M 1,..., f(e n ) = M n. Il rango di A e anche il numero di righe non nulle che otteniamo applicando l algoritmo di Gauss alla matrice trasposta di A, cioe alla matrice che ha per righe le colonne di A. Infatti tale numero corrisponde proprio alla dimensione dello spazio delle colonne di A, cioe il rango di A per il punto precedente. Teorema 1.2. (Teorema di Rouché-Capelli, prima parte.) Il sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. 2

3 Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che il sistema A x = b ammette soluzioneseesoloseb = x 1 A 1 +x 2 A x n A n,cioèseesolosebèunacombinazionelinearedia 1,A 2,...,A n,cioèseesoloseb Span{A 1,A 2,...,A n }. Questo equivale a dire che Span{A 1,A 2,...,A n ) = Span{A 1,A 2,...,A n,b} e poichè Span{A 1,A 2,...,A n } Span{A 1,A 2,..., A n,b}, questo accade se e solo se dimspan{a 1,A 2,...,A n } = dimspan{a 1,A 2,...,A n,b}. MadimSpan{A 1,A 2,...,A n }èperdefinizioneilrangodellamatricecompleta, mentre dimspan{a 1,A 2,...,A n,b} è il rango della matrice incompleta. Questo conclude la dimostrazione. Osservazione. È più facile comprendere la teoria che sta alla base del teorema di Rouché-Capelli se si pensa alle applicazioni lineari. Consideriamo ad esempio il sistema x+2z = 3 2x+y +z = 0 (1) 3x+y +3z = 3 La matrice completa associata al sistema è: (A b) = Consideriamo ora l applicazione lineare L A : R 3 R 3 associata alla matrice incompleta del sistema: A = e ci chiediamo se il vettore (3,0,3) appartiene a Im (L A ). Questo equivale a cercare un vettore (x,y,x) tale che L A (x,y,z) = (3,0,3), cioè dobbiamo cercare un vettore (x,y,z) tale che A(x,y,z) = (3,0,3), cioè tale che x+2z 2x+y +z 3x+y +3z = cioè dobbiamo risolvere il sistema (1). (Si noti che abbiamo in qualche modo trasformato il problema di risolvere un sistema lineare in un problema riguardante l immagine di una applicazione lineare, e questo si può fare sempre, in tutta generalità.) ,

4 Quindi il sistema (1) ha soluzioni se e solo se (3,0,3) Im (L A ). Poichè Im (L A ) è lo span delle colonne di A, questo succede se e solo se Span 2, 1, 1 = Span 2, 1, 1, e questo succede se e solo se quei due Span hanno la stessa dimensione. Ma la dimensione del primo Span è proprio il rango di A, cioè della matrice incompleta, e la dimensione del secondo Span è proprio il rango di A b, cioè della matrice completa. Definizione 1.3. Sia Ax = b un sistema lineare. Ax = 0 è detto il sistema omogeneo associato al sistema Ax = b. Teorema 1.4. (Teorema di struttura per sistemi lineari.) Sia v 0 una soluzione particolare del sistema lineare Ax = b. Allora tutte e sole le soluzioni di Ax = b sono della forma v = v 0 +w, ove w è una soluzione del sistema omogeneo associato Ax = 0. Dimostrazione. Consideriamo l applicazione linearel A : R n R m associata alla matrice A e osserviamo che v è una soluzione del sistema lineare Ax = b se e solo se L A (v) = b, e w è una soluzione del sistema lineare associato Ax = 0 se e solo se L A (w) = 0. Quindi per ipotesi L A (v 0 ) = b. Sia ora v una soluzione di Ax = b. Allora L A (v) = b e si ha che v = v 0 +(v v 0 ), ove w = v v 0 è una soluzione del sistema omogeneo associato, infatti L A (v v 0 ) = L A (v) L A (v 0 ) = b b = 0. Viceversa, se w è una soluzione del sistema omogeneo associato (e quindi per ipotesi L A (w) = 0), allora v = v 0 +w èuna soluzione del sistema Ax = b, infatti L A (v) = L A (v 0 + w) = L A (v 0 ) + L A (w) = b+0 = b, come volevasi dimostrare. Osservazione. Nel caso del sistema (1), troviamo le soluzioni. La matrice completa ridotta a scala diventa: Si vede facilmente che le soluzioni dipendono da 3 2 = 1 parametro, e sono {( 2s+3,3s 6,s) s R}. 4

5 Troviamo ora le soluzione del sistema omogeneo associato. La matrice incompleta è A = 2 1 1, che ridotta a scala diventa: Si vede facilmente che le soluzioni dipendono da 3 2 = 1 parametro, e sono {( 2s,3s,s) s R}. Quindi si ha che {( 2s+3,3s 6,s) s R} = {( 2s,3s,s) s R}+(3, 6,0) e (3, 6,0) è una soluzione particolare del sistema (1), quella ottenuta per s = 0 (per convincersene basta sostituire). Teorema 1.5. Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo in n incognite e sia r = rk (A). Allora lo spazio vettoriale Z delle soluzioni del sistema ha dimensione n r. In particolare se n = r si ha che Z = {0}, cioè il sistema ha solo la soluzione nulla. Dimostrazione. Sia L A : R n R m l applicazione lineare associata alla matrice A. Si ha che rk (A) = dimim (L A ) e Z = ker(l A ). Per il teorema della dimensione si ha che dimz = dimker(l A ) = dimr n dimim (L A ) = n r. Se n = r si ha che dimker(l A ) = 0, quindi Z = {0}. Teorema 1.6. (Teorema di Rouché-Capelli.)Il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammette soluzioni se e solo se rk (A) = rk (A b). Inoltre, se rk (A) = rk (A b) = r, allora le soluzioni dipendono da n r parametri. Dimostrazione. La prima parte dell enunciato è il teorema 1.2, che abbiamo già dimostrato. Possiamo quindi supporre che il sistema abbia soluzioni. Per il teorema 1.4 le soluzioni del sistema lineare Ax = b sono tante quante quelle del sistema omogeneo associato Ax = 0; e per il teorema precedente queste soluzioni dipendono da n rk (A) parametri. 5

6 Riassumendo: A. Un sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite pu? essere: - Risolubile (ci? accade se e solo se rk (A) = rk (A b)). - Non risolubile (ci? accade se e solo se rk (A) < rk (A b)). B. Se il sistema è risolubile e r = rk (A) = rk (A b) il sistema ha n r incognite libere. In particolare: - Se n = r c è una sola soluzione; - se n > r ci sono infinite soluzioni, che dipendono da n r parametri indipendenti. 2 Tecniche di calcolo Per risolvere un sistema lineare omogeneo Ax = b si considera la matrice completa (A b) e la si riduce ad una matrice a scala (A b ). Il sistema lineare ad esso associato è equivalente al sistema Ax = b, perché le operazioni elementari sulle righe non cambiano l insieme delle soluzioni. Sia r il numero di righe non nulle di A. Osserviamo che r è il rango per righe di A, cioè è la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe di A, ed è anche il rango per righe di A, perché le operazioni elementari sulle righe non cambiano lo Span delle righe. Se anche (A b ) ha r righe non nulle allora il sistema è risolubile, altrimenti il sistema non ammette soluzioni (e quest ultima situazione in pratica si verifica perch? l ultima equazione del sistema associato alla matrice a scala (A b ) diventa del tipo 0 = b r +1, e b r +1 è un numero diverso da zero). Se il sistema è risolubile, allora si possono ricavare le r incognite corrispondenti ai pivot nonnulli di Ain funzionedelle rimanenti n r incognite, alle quali si possono assegnare valori a piacere. Osservazione 2.1. Si ha così che le soluzioni del sistema dipendono da n r parametri liberi, ove r èil rangoper righedi A. Poiché sappiamo anche cheil numero di parametri liberi sono n rk (A) (vedere l osservazione precedente) segue che r = r, cioè la dimensione dello spazio generato generato dalle righe di A è uguale alla dimensione dello spazio generato generato dalle colonne di A. 6

7 Esercizio 1: Si trovino le soluzioni del seguente sistema: x 1 x 2 +3x 3 +x 5 = 2 2x 1 +x 2 +8x 3 4x 4 +2x 5 = 3 x 1 +2x 2 +5x 3 3x 4 +4x 5 = 1 La matrice completa associata al sistema è: (A b) = , che ridotta a scala diventa: (A b ) = , mentre la matrice incompleta di (A b ) è: A = Entrambe le matrici hanno r = 3 righe non nulle, quindi il sistema è risolubile, e le soluzioni dipendono da n r = 5 3 = 2 parametri. I pivots non nulli della matrice sono quelli relativi a x 1,x 2 e x 4, quindi possiamo ricavare queste incognite in funzione delle rimanenti x 3 e x 5. Il sistema associato alla matrice a scala (A b ) è: x 1 x 2 +3x 3 +x 5 = 2 3x 2 +2x 3 4x 4 = 1 x 4 +3x 5 = 0 Posto x 3 = s, x 5 = t otteniamo: x 4 = 3t, x 2 = 2 3 s 4t 1 3, x 1 = 11 3 s 5t Lesoluzionisonoquindi {( 11 3 s 5t+ 5 3, 2 3 s 4t 1 3,s, 3t,t) s,t R }. Esercizio 2: Si trovino le soluzioni del seguente sistema: x 1 x 2 +x 3 = 2 2x 1 x 2 +3x 3 = 1 x 1 +2x 3 = 1 7

8 La matrice completa associata al sistema è: (A b) = , che ridotta a scala diventa: (A b ) = , mentre la matrice incompleta di (A b ) è: A = Ilsistema nonammettesoluzioni, perch? A har = 2righenonnulle, mentre (A b ) ha 3 righe non nulle. Infatti il sistema associato a (A b ) è x 1 x 2 +x 3 = 2 x 2 +x 3 = 5 0 = 4 che chiaramente non ammette soluzioni. Esercizi 1. Data l applicazione lineare T : R 4 R 3 definita da: T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (x 1 +k 2 x 2 +kx 3 +x 4,4x 1 3kx 2 +2x 3 +2x 4,kx 2 2kx 2 x 3 +x 4 ) stabilire per quali valori di k il vettore (1,2k 2,4k) appartiene a Im (T). 2. Data l applicazione lineare T : R 3 R 3 associata alla matrice: 3k 3 k +2 A = 1 k k,

9 stabilire per quali valori di k il vettore (k + 2,1,k + 1) appartiene a Im (T). Posto k = 1 trovare tutti i vettori (x,y,z) tali che T(x,y,z) = (k + 2,1,k+1). Posto k = 3 trovare tutti i vettori (x,y,z) tali che T(x,y,z) = (k + 2,1,k+1). 9