Sviluppi e derivate delle funzioni elementari

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1 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim f = lim fy e lim f1/ = lim fy ± y ± y 0 ± di dimostrazione immediata in ipotesi naturali. Precisamente, per ciascuna di esse, esiste finito o meno uno dei due membri se e solo se esiste l altro e in caso di esistenza vale l uguaglianza. Queste formule sono casi particolarmente semplici di un risultato generale di cambiamento di variabile nei limiti che non intendiamo introdurre. 1. Le funzioni circolari Iniziamo con un risultato facile, ma ben più preciso di quello dato tradizionalmente. Lemma 1.1. Valgono gli sviluppi sin = + O 3 e cos = O 4 per Dimostrazione. Per 0, π/3 abbiamo sin tan, sin 2 2 e cos 1 2. Deduciamo 0 sin tan sin = sin sin 1 cos = cos cos 2 sin /2 2 = 3 2 e dunque la prima delle 1.1 limitatamente al limite destro. Siccome sin è una funzione dispari, la stessa conclusione vale per il limite sinistro. La seconda segue immediatamente. Abbiamo infatti 1 cos = 2 sin = O3 = O 4 + O 6 = O 4 e basta riordinare. Proposizione 1.2. Valgono gli sviluppi del prim ordine sin = + o e cos = 1 + o per Inoltre le funzioni sin e cos sono differenziabili in R e valgono le formule sin 0 = cos 0 e cos 0 = sin 0 per ogni 0 R. 1.3

2 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 2 Dimostrazione. Gli sviluppi 1.2 seguono ovviamente dalle 1.1. Per dimostrare le 1.3, calcoliamo gli sviluppi delle due funzioni circolari per tendente al punto 0 generico. Abbiamo per h 0 sin 0 + h = sin 0 cos h + cos 0 sin h = sin oh + cos 0 h + oh = sin 0 + h cos 0 + oh da cui la differenziabilità di sin in 0 e la prima delle 1.3. Analogamente cos 0 + h = cos 0 cos h sin 0 sin h = cos oh sin 0 h + oh = cos 0 h sin 0 + oh da cui la differenziabilità di cos in 0 e la seconda formula. Osservazione 1.3. Si noti che la prima delle 1.2 fornisce sin = + o = 1 + o1 per 0 da cui lim 0 sin = 1. Questo è anche il significato della prima delle 1.3 con 0 = 0. Notiamo che, nelle impostazioni tradizionali, questa è la formula che si dimostra per prima e si usa parlare di limite notevole. Noi, con una dimostrazione di due sole righe, abbiamo ottenuto la prima delle 1.1, ben più precisa e significativa. Con una riga in più abbiamo poi dedotto la seconda delle 1.1, pure particolarmente significativa. Queste due formule sono sostanzialmente sviluppi di ordine superiore anziché del prim ordine: la forma dei rispettivi resti, infatti, suggerisce di interpretare le parti principali come polinomi di gradi 2 e 3 rispettivamente e di dichiarare le due formule sviluppi del secondo e del terzo ordine. Ciò in quanto una formula del tipo per h 0 f 0 + h = P h + oh n, in particolare f 0 + h = P h + Oh n+1, ove P è un polinomio di grado n, viene chiamata sviluppo di ordine n vicino a Il logaritmo Questo paragrafo riguarda lo sviluppo e la derivata del logaritmo. Lemma 2.1. Valgono le formule lim = e e lim = e. 2.1 Dimostrazione. Per dimostrare la prima facciamo un calcolo preliminare. Siano reale e n intero positivo tali che n n + 1. Allora 1/n + 1 1/ 1/n, da cui n n n+1. n + 1 n n

3 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 3 Vediamo ora che il primo e l ultimo membro convergono a e per n. Infatti lim n = n+1 lim = e 1 = e n n + 1 n + 1 n n + 1 lim n+1 = lim 1 + n n 1 n = e 1 = e. n n n A questo punto siamo pronti a dimostrare la prima delle 2.1, cioè che per ogni ε > 0 esiste > 0 tale che e ε e + ε per ogni. Fissiamo dunque ε > 0. Per quanto detto sopra esistono numeri naturali m e m tali che e ε n+1 e + ε e e ε n e + ε n n + 1 rispettivamente per ogni n m e per ogni n m. Prendiamo allora = ma{m, m } e supponiamo. Detta n la parte intera di, abbiamo n m, n m e n n + 1. Concludiamo che e ε n + 1 n n+1 e + ε n e la prima delle 2.1 è dimostrata. Deduciamo facilmente la seconda: lim = lim 1 1 y y 1 y y = lim = lim y + y y + y y + y 1 = lim y = lim y = e 1 = e. y + y 1 y + y 1 y 1 y Proposizione 2.2. Valgono lo sviluppo e la formula ln1 + = + o per 0 e ln 0 = 1 0 per ogni 0 > Dimostrazione. La combinazione delle 2.1 implica 1 + 1/ = e + o1 per 0 ± dunque per 0. Prendendo il logaritmo deduciamo 1 ln1 + = ln e + o1 per 0. D altra parte ln è continua in e e vale 1 in tal punto. Dunque ln e + o1 = 1 + o1 per 0. Combinando otteniamo la prima delle 2.2. Per 0 > 0 generico abbiamo ln 0 + h = ln 0 + ln 1 + h/ 0 = ln 0 + h 0 + oh per h 0 cioè seconda delle 2.2.

4 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 4 3. L esponenziale e le funzioni collegate Iniziamo dalla funzione esponenziale ep : e, R. Proposizione 3.1. Valgono lo sviluppo e la formula e = o per 0 e ep 0 = e 0 per ogni 0 R. 3.1 Dimostrazione. Possiamo dare varie dimostrazioni. Anche se è possibile dimostrare direttamente la seconda delle 3.1, vediamo come questa discenda immediatamente dalla prima. Se, infatti, quest ultima è già nota, nel caso di un punto 0 generico abbiamo e 0+h = e 0 e h = e h + oh = e 0 + e 0 h + oh per h 0 cioè la seconda delle 3.1. Alternativamente, visto già il logaritmo, basta dimostrare la differenziabilità dell esponenziale. La 3.1, infatti, segue poi dal teorema sulle funzioni composte: dall identità epln y = y per ogni y > 0 deduciamo ep ln y ln y = 1 per ogni y > 0, da cui ep 0 = 1 ln ep 0 = 1 = ep 0 per ogni 0 R. 1/ ep 0 Per quanto riguarda la differenziabilità della funzione esponenziale, la via più breve consiste nell applicazione diretta di qualche risultato generale sulle funzioni inverse e ne abbiamo almeno due. Il primo, classico, è il seguente: Siano I un intervallo, f : I R una funzione differenziabile con derivata mai nulla e I = fi. Allora I è un intervallo, f è iniettiva e f 1 : I I è differenziabile. 3.2 Il secondo, molto più generale e in ipotesi minime, è il seguente: Siano I, I R N intorni di 0, y 0 R N rispettivamente e f : I I biiettiva tale che y 0 = f 0. Si supponga che f sia differenziabile in 0, df 0 : R N R N sia un isomorfismo e f 1 sia continua in y 0. Allora f 1 è differenziabile in y Tali risultati sono entrambi applicabili. Diamo infine una dimostrazione diretta della prima delle 3.1 che, come abbiamo osservato, implica la seconda. Per lo sviluppo 2.2 del logaritmo abbiamo lim 0 ln1 + = lim 0 + o = 1 e ora deduciamo che ep 0 = 1. Fissato ε > 0 ad arbitrio, dobbiamo trovare δ > 0 tale che eh 1 1 ε per 0 < h δ. h

5 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 5 Fissiamo dunque ε > 0. Per quanto appena dimostrato troviamo σ > 0 tale che ln1 + 1 ε per 0 < σ. Siccome la funzione ep è continua in 0, esiste δ > 0 tale che e h 1 σ non appena h δ. Sia ora 0 < h δ e si definisca = e h 1. Allora 0 < σ, da cui eh 1 h e la prima delle 3.1 è dimostrata. 1 = ln1 + 1 ε Osservazione 3.2. Nella dimostrazione precedente abbiamo sostanzialmente dato una dimostrazione diretta della formula e h 1 lim h 0 h = lim 0 ln1 + che corrisponde al cambiamento di variabile = e h 1. La stessa idea è il nocciolo delle dimostrazioni usuali dell enunciato 3.2: anziché la differenziabilità, si dimostra l esistenza della derivata finita calcolando il limite del rapporto incrementale. In tal modo si dimostra direttamente anche la formula della derivata di f 1 f 1 y = 1 f f 1 y per ogni y I vale a dire, in due punti 0 e y 0 legati dalla relazione y 0 = f 0 le derivate di f e rispettivamente di f 1 sono reciproche fra loro. Ciò ha un chiaro significato geometrico: la simmetria rispetto alla prima bisettrice, che scambia i grafici delle due funzioni, scambia anche le tangenti e dunque le rispettive pendenze sono reciproche fra loro. Corollario 3.3. Valgono gli sviluppi del prim ordine sinh = + o e cosh = 1 + o per Inoltre le funzioni sinh e cosh sono differenziabili in R e valgono le formule sinh 0 = cosh 0 e cosh 0 = sinh 0 per ogni 0 R. 3.5 Dimostrazione. Basta scrivere le due funzioni iperboliche attraverso l esponenziale e applicare quanto dimostrato per quest ultima. A titolo esemplificativo abbiamo cosh = e + e 2 = o o 2 = 1 + o per 0. Corollario 3.4. Per ogni α reale vale lo sviluppo 1 + α = 1 + α + o per

6 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 6 Inoltre la funzione f α : α, > 0, è differenziabile e vale la formula f α 0 = α α 1 0 per ogni 0 > Dimostrazione. Lo sviluppo 3.6 coincide con la 3.7 con 0 = 1. Ora la 3.7 nel caso generale si ottiene osservando che α = e α ln per ogni > 0 e applicando il Teorema di derivazione delle funzioni composte: f 0 = e α ln 0 α 0 = α 0 α 0 = α α 1 0. Osservazione 3.5. In vari casi particolari la funzione f α ha prolungamenti naturali, cioè definiti dalla stessa formula, a domini più ampi, prolungamenti che continuiamo a denotare con f α con abuso di notazioni. In tali casi la formula di derivazione vale in ipotesi più generali su 0. Così, se α è un intero, nella definizione del valore f α possiamo supporre 0 anziché > 0 e la 3.7 vale per ogni 0 0. Infatti 0 + h α = α h/0 α = α h/0 + oh = α 0 + α α 1 0 h + oh per h 0 e ciò per ogni 0 0. Se poi α è intero > 1, il tutto si estende al caso 0 = 0, dato che f α0 è nulla. Analogamente, se α è reale > 1 non intero, possiamo definire il valore f α per 0 e la 3.7 vale anche in 0 per lo stesso motivo. Al contrario, se 0 < α < 1, possiamo ancora supporre 0 nella definizione del valore f α, ma la formula di derivazione vale solo per 0 > 0. Si noti però che essa perde sì di significato se 0 = 0 in quanto α 1 < 0, ma che, nello stesso tempo, f α0 = +.