Coseno, seno, e pi greco

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1 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 1 Coseno, seno, e pi greco In queste note daremo una presentazione analitica e autocontenuta della definizione e delle proprietà fondamentali del seno, del coseno e di π. Cominciamo con un risultato preinare Lemma 1 Sia 0 < t < n + 1 con 1 n N 0. Allora In particolare, Dimostrazione r n t < tn 0 < r n t := n + 1 n < k=n 1 n 1! t k k! < tn n + 1 n + 1 t. 1 1 n 1, 0 < t 1, n 1 r n t < tn, 0 < t n + 1, n 0. 3 k=n t k k! = tn < tn = tn 1 + t n t n + n t 3 n + 3n + n t n t n t 3 n t k t n = n + 1 n + 1 n + 1 t. Le e 3 sono conseguenza immediata di 1. Si osservi che da 3 segue anche imediatamente che r n t r n t t n, n, t 1. 4 Definizione Per ogni x R poniamo cos x := 1 k xk k! = 1 x + x4 4 x x sen x := 1 k x k+1 k + 1! = x x3 6 + x5 10 x x N 0 = {0, 1,, 3,...}.

2 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre Osservazione 3 i Le due serie in 5 convergono assolutamente per ogni x R criterio del rapporto o direttamente dal Lemma 1 e { cos 0 = 1 sen 0 = 0 { cos x = cos x sen x = sen x. 6 ii Le formule 5 permettono di calcolare con precisione arbitraria il valore del seno e coseno in qualunque punto x. Ad esempio, cos = 4 1 k k k! + r = r, r := 1 k k k!, 7 e da 3 segue che r < k=10 k k! < 11 10! = , e quindi < < cos < < Il comportamento del seno e coseno vicino a x = 0 è il seguente: Lemma 4 Per ogni x 1 si ha sen x x x 3 3, k=5 x cos x 1 + x4 1 ; 9 sen x 4 7 x, 1 cos x 3 1 x ; 10 sen x 1 x x 3, 1 cos x x 1 x, x Dimostrazione Dalla definizione di seno e coseno e dalla 3 segue che, per x 1, sen x x = x cos x 1 + = 1 k x k+1 k + 1! k=1 k=1 x k x 3 k! 6 = x 3 3 k=3 k= k=4 x k k! k! 1 k xk x k k! k= x4 4! = x4 1. x k+1 k + 1! Da 9 segue che sen x = sen x x + x sen x x + x x x x 1 cos x 1 cos x x + x x x = 1 x. Si osservi che max { cos x, sen x } r 0 x.

3 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 3 Infine 11 segue immediatamente da 9 dividendo per x. Da 11 seguono immediatamente i seguenti iti notevoli 3 Corollario 5 x 0 x 0 sen x = 1, x 1 1 cos x x = Teorema 6 Formula di addizione per il coseno cosx + y = cos x cos y sen x sen y, x, y R. 14 Dimostrazione Dalla formula per il binomio di Newton, cosx + y = k x + yk 1 k! = 1 k = 1 k k j=0 0 j k = x j y k j j! k j! 1 k k! k j=0 k x j y k j j x j y k j j! k j!. 15 Ora, poniamo 4 P := 1 k = 1 k 0 j k j pari k h=0 x j y k j j! k j! x h y k h h! k h! 16 D := 1 k 0 j k j dispari x j j! y k j k j! = k 1 1 k x h+1 y k h 1 h + 1! k h 1! k 1 h=0 = 1 n+1 n 0 = 1 n n 0 n h=0 n h=0 x h+1 y n h+1 h + 1! n h + 1! x h+1 y n h+1 h + 1! n h + 1!, 3 Si osservi che se a n 0 allora esiste N tale che a n < 1 per ogni n N. 4 Si noti che nella definizione di D il termine con k = 0 non appare e pertanto la somma su k in D parte da k = 1. Inoltre, le j dispari tra 0 e k sono date da j = h + 1 con 0 h k 1.

4 4 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre e si noti che max{ P, D } k j=0 x j j! y k j = cosh x + y, k j! e dunque, che le serie che definiscono P e D convergono assolutamente. In particolare, segue che cosx + y = P + D. Per il Corollario del Complemento Serie Doppie si veda anche l Esempio 3, possiamo scambiare l ordine delle somme, ottenendo P := h 0 k h 1 k xh = 1 h h 0 k h y k h h! k h! k h xh 1 xh y k h h! k h! y j = 1 h 1 j h! j! h 0 j 0 = 1 h xh 1 j yj h! j! h 0 = cos x cos y, e in maniera del tutto analoga si vede che D = sen x sen y ossia la tesi. j 0 Osservazione 7 Prendendo y = x in 14 e ricordando 6 si ha che cos x + sen x := cos x + sen x = 1, 17 da cui cos x 1, sen x 1, x R. 18 Prendendo x = y in 14 otteniamo cos x = cos x sen x. 19 Proposizione 8 Permanenza del segno per il coseno Sia x 0 tale che cos x 0 > 0 oppure cos x 0 < 0. Allora esiste δ > 0 tale cos x > 0 rispettivamente, cos x < 0 per ogni x [x 0 δ, x 0 + δ]. Dimostrazione Consideriamo il caso cos x 0 > 0 il caso negativo si tratta in maniera del tutto analoga e viene lasciato per esercizio. Sia 0 < δ := cos x 0 / e si osservi che x [x 0 δ, x 0 +δ] se e solo se x = x 0 + y con y δ. Dunque se x = x 0 + y con y δ, da 14, 18 e 10

5 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 5 segue che cos x = cosx 0 + y = cos x 0 cos y sen x 0 sen y = cos x 0 cos x 0 1 cos y + sen x 0 sen y cos x 0 1 cos y + sen y 7 cos x 0 1 y y cos x y cos x δ > cos x 0 δ = 0. Teorema 9 Esiste β 0, tale che cos β = 0 e cos x > 0 per ogni x [0, β. Dimostrazione Sia P := {b > 0 : cos x > 0 per ogni 0 x b}. Poiché cos 0 = 1, dal Teorema 8 segue che esiste δ > 0 tale che cos x > 0 per ogni x δ e quindi δ P mostrando che P. Dalla definizione di P segue che se y > 0 e cos y < 0, allora y è un maggiorante per P : infatti, se y non fosse un maggiorante, esisterebbe b P tale che b > y, ma questo, per definizione di P, implicherebbe che cos y > 0. In particolare, da 8 segue che è un maggiorante per P. Sia β = sup P. Se fosse cos β > 0, dal Teorema 8 seguirebbe che cos x > 0 per x [β δ, β + δ] con un opportuno δ > 0; quindi, poiché β δ < β, che è l estremo superiore di P, esisterebbe b P tale che β δ < b, ma questo implicherebbe che cos x > 0 per ogni 0 y β + δ e quindi β + δ P, contraddicendo il fatto che β è un maggiorante. Se fosse cos β < 0, dal Teorema 8 seguirebbe che cos x < 0 per x [β δ, β + δ] con un opportuno δ > 0: ma questo significherebbe che β δ < β è un maggiorante contraddicendo il fatto che β è l estremo superiore di P. Dunque cos β = 0. Sia, infine, 0 < y < β. Allora, poiché β è l estremo superiore di P esiste b P tale che y < b < β, e dunque definizione di P cos y > 0. Definizione 10 Pi greco π := β dove β è il numero nel Teorema 9. Proposizione 11 cos π = 0, sen π = 1, cos π = 1, sen π = 0, cos 3 π = 0, sen 3 π = 1, cos π = 1, sen π = 0. Dimostrazione Dalla definizione di π e dal Teorema 9 segue che cos π = 0; dunque da 17 segue che sen π = 1. D altra parte, da 11 segue che se 0 < x 1, sen x x ossia sen x x 3, e quindi, in particolare, sen x > 0 se 0 < x 1. Da 14 e dalla definizione di π segue che, per ogni 0 x < π, cos π x = sen π sen x; quindi se 0 < x < min{1, π }, sen x > 0 e cos π x > 0, il che implica sen π = 1. Da 19 segue che cos π = cos π sen π = 1 e quindi, per 17, sen π = 0. Ancora da 19 segue che cos π = cos π sen π = 1 e quindi da 17 sen π = 0. Infine, cos 3 π = cosπ π = cos π cos π + sen π sen π = 0, e 1 = cos π = cos 3 π π = cos 3 π cos π + sen 3 π sen π = sen 3 π. Da 14 e dalla Proposizione 11 segue immediatamente che cosx π = sen x 0

6 6 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre e anche scrivendo cos x = cos x π + π che Quindi, sen x π = cos x. 1 sen x + y 0 = cos x π + y = cos x π π cos y sen x sen y 1 = sen x cos y + cos x sen y, ossia Teorema 1 Formula di addizione per il seno sen x + y = sen x cos y + cos x sen y, x, y R. Dalle formule di addizione Teoremi 6 e 1 seguono immediatamente esercizio molte altre relazioni tra cui: sen x = sen x cos x, 3 cosx + π = cos x, sen x + π = sen x, 4 cosx + π = cos x, sen x + π = sen x, 5 sen 1 cos x x =, cos 1 + cos x x =, 6 sen x + sen y = sen x + y x y cos, 7 cos x + cos y = cos x + y x y cos, 8 sen x sen y = 1 cosx y cosx + y, 9 cos x cos y = 1 cosx y + cosx + y, 30 sen x cos y = 1 sen x + y + sen x y, 31 cos x sen y = 1 sinx + y sen x y. 3 Teorema 13 Continuità del seno e del coseno Per ogni x 0 R x x 0 cos x = cos x 0, x x 0 sen x = sen x 0. Dimostrazione Il caso x 0 = 0 segue immediatamente da 10. Nel caso generale poniamo y := x x 0 così che y 0 quando x x 0. Allora, cos x = cosx 0 + y = cos x 0 cos y sen x 0 sen y cos x 0 e analogamente sen x = sen x 0 + y = sen x 0 cos y + cos x 0 sen y sen x 0. Teorema 14 Derivata del seno e del coseno Per ogni x R sen x = cos x, cos x = sen x.

7 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 7 Dimostrazione Da e dal Corollario 5 segue sen x sen x + h sen x = = sen x cos h 1 cos x cosx + h cos x = = cos x cos h 1 + cos x sen h = cos x ; h sen x sen h = sen x. h Grafici di seno e coseno Poiché sen x = cos x > 0 in [0, π/ segue che la funzione sen x, che in 0 vale 0, è strettamente crescente su 0, π/ ed in π/ vale 1 si ricordino i valori speciali nella 10 del Complemento 5 dedotti come conseguenza del Teorema 4. Inoltre sen x = sen x < 0 in 0, π/ e quindi il seno è concavo in 0, π/; π/ è un massimo assoluto stretto; infine la tangente al grafico del seno in x = 0 ha coefficiente angolare 1 cioè sen x x=0 = 1. Questo determina completamente il grafico di sen x in 0, π/. Osservando che dalle formule di addizione ii segue che π π sen + x = cos x = sen x 33 si vede che la retta {x = π/} è un asse di simmetria del grafico del seno cioé il grafico del seno su π/, π non è altro che l immagine simmetrica del seno tra 0, π/. Dalla disparità del seno sen x = sen x, possiamo ricostruire il grafico del seno anche tra π, 0 e quindi dappertutto essendo il seno periodico di periodo π. Sempre da 33 segue che il grafico del coseno è semplicemente il grafico del seno traslato di π/ verso sinistra.