1 Primitive e integrali indefiniti

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1 Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 2 CALCOLO INTEGRALE Primitive e integrali indefiniti. Definizione di primitiva e di integrale indefinito Data una funzione f definita in un insieme A, si puó considerare la sua derivata I, f, che è una nuova funzione definita in un sottoinsieme A di I. Se si conosce f, si conosce anche la funzione f, che è univocamente determinata da f. Si puó considerare il seguente Problema inverso: data una funzione f definita in un insieme A, esiste una funzione g definita in A, tale che g () = f(), A? In caso affermativo, si puó determinare g(), conoscendo f()? È immediato osservare che, se esiste, g() soddisfa la seguente equazione y = f(), A. L equazione precedente è il piú semplice esempio di equazione differenziale nell incognita y. Se g() è una soluzione di questa equazione, si dice che g è una primitiva di f in A. Dunque, primitiva di un funzione f in un insieme A è una funzione g derivabile in A tale che g () = f(), A. Problema. Quante primitive puó avere una funzione? È facile verificare che Se g è una primitiva di f in un insieme A, allora, per ogni K R, la funzione g + K è ancora una primitiva di f. Perció se una funzione f ha una primitiva g, ne ha infinite, ottenute aggiungendo a g una costante arbitraria K. È immediato osservare che il grafico di tutte queste primitive è ottenuto dal grafico di g mediante una traslazione verticale. Questo significa che, se l equazione differenziale y = f() ha una soluzione g in A, allora ha infinite soluzioni g() + K. Per determinarne una, è sufficiente assegnare una condizione iniziale y( 0 ) = y 0 (con 0 A), cioè imporre che la curva y = g() + K passi per il punto P 0 = ( 0, y 0 ). Per ogni P 0 = ( 0, y 0 ) esiste un unico valore di K per cui è verificata la condizione iniziale. Problema 2. Una funzione puó avere due primitive che non differiscono per una costante? La risposta a questa domanda è fornita, nel caso particolare in cui A sia un intervallo, dal Corollario 3 del Teorema di Lagrange. Infatti da tale corollario segue immediatamente

2 Analisi Matematica 2 2 Teorema. Se g e g 2 sono primitive di una funzione f su un intervallo I, allora esiste una costante reale K tale che g 2 () = g () + K, I. Dimostrazione Basta osservare che le due funzioni g e g 2 hanno uguale derivata in I. Osservazione. Se A non è un intervallo, cioè è non connesso, allora puó accadere che due primitive di una stessa funzione su A non differiscano per una costante. Infatti in tale situazione una funzione puó avere derivata nulla, senza essere costante. In conclusione: se una funzione f ha una primitiva g in un intervallo, allora ha infinite primitive che differiscono da g per una costante additiva arbitraria. se un equazione differenziale y = f() ammette una soluzione y = g() in un intervallo, allora ha infinite soluzioni, che differiscono dalla soluzione precedente per una costante additiva arbitraria e, per ogni condizione iniziale y( 0 ) = y 0, esiste una unica soluzione che la soddisfa. Problemi aperti:. Quali funzioni ammettono primitive? 2. Come si determinano le primitive, quando esistono? Per quanto riguarda il problema, osserviamo che se f è una funzione per cui si sanno calcolare le primitive, allora la loro esistenza è assicurata. Il problema si presenta allora nel caso in cui non si sanno calcolare le primitive. Esempi.. Se f() = e, è immediato osservare che le funzioni g() = e + K sono le primitive della funzione f(). 2. Se f() =, è immediato osservare che, sia in (, 0) che in (0, + ), le funzioni g() = ln + K sono le primitive di f(). 3. Se f() = e 2, non si sanno calcolare in modo esplicito le primitive; allora ci si chiede se esistono oppure no. Vedremo che in effetti le primitive esistono, ma non si possono esprimere esplicitamente in termini delle funzioni elementari. Proveremo (come conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale) che ogni funzione continua ammette primitive. Per quanto riguarda il problema 2, è interessante osservare che, se la funzione che consideriamo è una derivata, allora le sue primitive sono la funzione stessa e tutte le sue traslate verticali. Pertanto la tabella che elenca la derivata delle funzioni elementari (nella colonna a sinistra sono elencate le funzioni elementari e nella colonna a destra sono elencate le derivate corrispondenti) fornisce una tabella di primitive (nella colonna a sinistra si trovano - a meno di una costante - le primitive delle funzioni della colonna a destra).

3 Analisi Matematica 2 3 La famiglia delle primitive di una funzione f() si indica abitualmente f() d e si chiama integrale indefinito della funzione f. La ragione del simbolo e del nome usati per indicare le primitive sta (come vedremo) nel legame tra le primitive e l integrale definito. Nelle notazioni fissate, è immediato osservare che l operazione di derivazione e l operazione di integrazione indefinita sono legate dalle seguenti relazioni: Per ogni funzione f derivabile, f () d = f() + K. Per ogni funzione che ammette primitive, ( ) d f() d = f(). d.2 Integrali indefiniti elementari In questa sezione diamo un elenco di integrali elementari, che si deduce dalla tabella delle derivate delle funzioni elementari, letta in senso inverso (cioè da destra a sinistra. Nella tabella che segue, f() è una funzione e g() è una sua primitiva. Pertanto per scrivere l integrale indefinito, come insieme di tutte le primitive (su un intervallo) occorre aggiungere sempre alla funzione g() una costante arbitraria K. f() =, g() = ; f() = α, α, f() =, g() = α+ α + ; g() = ln ; f() = sin, g() = cos ; f() = cos, g() = sin ; f() = cos 2 = + tan2, g() = tan ; f() = sin 2, g() = cot ; f() = e, g() = e ; f() = a, a > 0, a, g() = a ln a ; f() =, + 2 g() = arctan ; f() =, 2 g() = arcsin ; f() = sinh, g() = cosh ; f() = cosh, g() = sinh ; f() = cosh 2, g() = tanh ; f() = sinh 2, g() = coth.

4 Analisi Matematica Linearitá dell integrale indefinito È noto che la derivazione è un operazione lineare, nel senso che (αf + βg) () = αf () + βg (), per α, β reali e f, g derivabili. Come conseguenza si prova che anche l operazione di integrazione indefinita è lineare, nel senso che (αf() + βg()) d = α f() d + β g() d. Dimostrazione. Se F () e G() sono primitive di f() e di g() rispettivamente, allora F () = f(), G () = g(), e quindi (αf + βg) () = αf () + βg () = αf() + βg(); ció significa che (αf + βg)() è una primitiva di αf() + βg(), da cui segue la tesi, per definizione di integrale indefinito..4 Integrazione per parti Ricordiamo la regola di derivazione del prodotto: (fg) () = f () g() + f() g (), se f e g sono funzioni derivabili. Da tale formula segue che f () g() = (fg) () f() g (). Se le funzioni a primo e secondo membro sono uguali, hanno anche uguale integrale indefinito, cioè f () g() d = ((fg) () f() g ()) d. Utilizzando la lineritá dell integrale e l identitá (fg) () d = f()g() + K, si ottiene la seguente formula, nota come formula di integrazione per parti f () g() d = f()g() f() g () d. (La costante K non compare esplicitamente perchè è inglobata in quella dell integrale!) Il metodo di integrazione per parti si usa quando la funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni, di cui una si qualifica come la derivata di una funzione nota. Naturalmente il metodo è utile solo nel caso in cui l integrale a secondo membro è piú facile da calcolare ( o almeno non piú difficile) di quello a primo membro. Esempi. I seguenti integrali si calcolano per parti:. e d, 2. sin d, 3. cos d, 4. e cos d, n e d, n = 2, 3... ; n sin d, n = 2, 3... ; n cos d, n = 2, 3... ; e sin d.

5 Analisi Matematica 2 5 Se ad esempio si considera l integrale e d, si pone f () = e, g() =, da cui segue f() = e, g () = ; pertanto si ha e d = e + K. Se si considera l integrale e sin d, si pone (ma la scelta è in questo caso indifferente!) f () = e, g() = sin, da cui segue f() = e, g () = cos ; pertanto si ha e sin d = e cos e cos d; se applica nuovamente il metodo per parti all integrale a secondo membro, ponendo ancora f () = e, g() = cos, da cui segue f() = e, g () = sin, si ottiene e sin d = e cos e sin e sin d, da cui si ricava che 2 e sin d = e cos e sin + K e quindi e sin d = e cos e sin 2 + K..5 Integrazione per sostituzione Ricordiamo la regola di derivazione di una funzione composta: d dt G(φ(t)) = G (φ(t)) φ (t). Sia f() una funzione (continua) e poniamo = φ(t), con φ(t) derivabile (con derivata continua). Se G() è una primitiva di f() : G () = f(), e consideriamo la funzione composta G(φ(t)), dalla formula di derivazione delle funzioni composte segue che d dt G(φ(t)) = G (φ(t)) φ (t) = f(φ(t)) φ (t). Questo significa che la funzione composta G(φ(t)) è una primitiva della funzione a secondo membro f(φ(t)) φ (t). Viceversa, se G(φ(t)) è una primitiva di f(φ(t)) φ (t), allora G() è una primitiva di f(). Dunque, se si tiene conto della definizione di integrale indefinito, si ha la formula seguente ( ) f(φ(t)) φ (t) dt = f() d che è nota come formula di integrazione per sostituzione. La formula precedente puó essere usata in due modi: da sinistra a destra;, =φ(t)

6 Analisi Matematica 2 6 da destra a sinistra. Precisamente se si deve calcolare un integrale che si presenta nella forma f(φ(t)) φ (t) dt, allora si pone = φ(t), e quindi d = φ (t) dt, si calcola l integrale f() d cosí ottenuto (si suppone facile da calcolare); dopo aver effettuato il calcolo, si sostituisce con φ(t). La funzione cosí ottenuta (a meno della costante) fornisce l integrare desiderato. Se invece si deve calcolare un integrale f() d, ma non lo si sa fare direttamente, si puó cercare una opportuna funzione φ(t) con cui sostituire e sostituire d con φ (t) dt; calcolare l integrale f(φ(t)) φ (t) dt, cosí ottenuto (si suppone facile da calcolare); dopo aver effettuato il calcolo, si deve esprimere la funzione ottenuta nella variabile ; per fare ció occorre sostituire t con la funzione inversa (che deve esistere!) φ (). La funzione cosí ottenuta (a meno della costante) fornisce l integrale desiderato. Esempi.. cos sin 3 d = y 3 dy, se y = sin e quindi dy = cos d = y, se y = 2 + e quindi dy = 2 d. 3. d = t+ ( ) 3 t 3 4. Per calcolare sin + dt, se si pone = t + e quindi d = dt. d, si opera la sostituzione t = tan(/2). Poiché dt = +tan2 (/2) 2 d, si ha d = 2 dt; inoltre sin = 2t +t 2 sin + d = 2 2t t t 2 dt. t 2 + ; allora si ha 5. Per calcolare 2 d, si opera la sostituzione = sin t, con t [ π/2, π/2]. Poiché d = cos t dt e 2 = cos t, l integrale diventa + cos(4t) 2 d = cos 2 t dt = dt Per calcolare e +e d, si opera la sostituzione t = e, cioè = ln t. Poiché d = t dt, l integrale diventa e d = + e t t 2 + t dt.

7 Analisi Matematica Integrazione delle funzioni razionali Una funzione razionale è il rapporto tra due polinomi, di grado n, e Q(), di grado m : Q(). In questa sezione elaboriamo un metodo per calcolare l integrale indefinito di una tale funzione. Per prima cosa osserviamo che se n m, si puó dividere per Q() e scrivere = P 0 () Q() + R(), essendo R() un polinomio di grado k < m. In tal caso Q() = P 0() + R() Q(), e quindi con k < m. Q() d = R() P 0 () d + Q() d, È dunque sufficiente determinare un metodo per calcolare l integrale di una funzione razionale per cui il numeratore ha grado n inferiore al grado m del denominatore Q(). Possiamo inoltre supporre che il coefficiente del termine di grado massimo di Q() sia a 0 =. Analizziamo alcuni casi particolari e mostriamo che il caso generale puó essere sempre ricondotto a questi casi particolari.. Il grado del denominatore è m =. In tal caso Q() = a c e a c 2. Il grado del denominatore è m = 2. d = a ln c + K. In tal caso Q() = 2 + c + d. Distinguiamo tre casi (a) 2 + c + d = ( α )( α 2 ). In questo caso esistono A e A 2 tali che 2 + c + d = A α + A 2 α 2 (A e A 2 si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i 2 + c + d d = A A 2 d + d = A α α 2 = A ln α + A 2 ln α 2 + K. α d + A 2 α 2 d

8 Analisi Matematica 2 8 (b) 2 + c + d = ( α) 2. In questo caso esistono A e A 2 tali che 2 + c + d = A α + A 2 ( α) 2 (A e A 2 si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i 2 + c + d d = A α d + (c) 2 + c + d non ha radici reali. Se 2 + c + d = 2 +, allora e quindi A 2 ( α) 2 d = A = A ln α A 2 α + K. 2 + = a b 2 +, 2 + d = a Se 2 + c + d = 2 + h 2, allora 2 + d + b α d + A d = a 2 ln(2 + ) + b arctan + K. 2 + h 2 = h 2 ( h )2 +. Se si pone t = h, cioè = ht, e quindi d = h dt, ci si riduce al caso precedente. Nel caso generale, si puó scrivere 2 + c + d = ( + γ) 2 + h 2 e quindi 2 + c + d = h 2 ( +γ h )2 +. Se si pone t = +γ h, cioè = ht γ, e quindi d = h dt, ci si riduce nuovamente al primo caso particolare. 3. Il grado del denominatore è m = 3. Distinguiamo quattro casi. (a) Q() = ( α )( α 2 )( α 3 ). In questo caso esistono A, A 2 e A 3 tali che Q() = A α + A 2 α 2 + A 3 α 3 (A, A 2 e A 3 si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i Q() d = A A 2 A 3 d + d + d α α 2 α 3 = A d + A 2 d + A 3 α α 2 = A ln α + A 2 ln α 2 + A 3 ln α 3 + K. α 3 d ( α) 2 d

9 Analisi Matematica 2 9 (b) Q() = ( α )( α 2 ) 2 In questo caso esistono A, A 2 e A 3 tali che Q() = A + A 2 A 3 + α α 2 ( α 2 ) 2 (A, A 2 e A 3 si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i Q() d = (c) Q() = ( α) 3 = A A d + α α d + A 2 A 2 d + α 2 A 3 ( α 2 ) 2 d α 2 d + A 3 = A ln α + A 2 ln α 2 A 3 α 2 + K. In questo caso esistono A, A 2 e A 3 tali che Q() = A α + A 2 ( α) 2 + A 3 ( α) 3 ( α 2 ) 2 d (A, A 2 e A 3 si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i Q() d = = A A α d + α d + A 2 A 2 ( α) 2 d + A 3 ( α) 3 d α d + A 3 = A ln α + A 2 ln α 2 A 3 α 2 + K. (d) Q() = ( α)( 2 + c + d) In questo caso esistono A, B e C tali che Q() = A α + B + C 2 + c + d ( α 2 ) 2 d (A, B e C si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i Q() d = A α d + e i due integrali si calcolano come visto in precedenza. B + C 2 + c + d d 4. Se ii grado del denominatore è m > 3, si procede in modo analogo. Osserviamo esplicitamente che si puó presentare il caso in cui Q() ha tra i suoi fattori ( 2 + c + d) m, m 2. Se, ad esempio, Q() = ( α) ( 2 + c + d) 2, allora esistono A, B, C, B 2, C 2 per cui si puó scrivere Q() d = A α d + B + C 2 + c + d d + B 2 + C 2 ( 2 + c + d) 2 d

10 Analisi Matematica 2 0 (A, B, C, B 2, C 2 si determinano calcolando la somma a secondo membro e uguagliando i I primi due integrali si calcolano come nei casi precedenti; invece il calcolo del terzo integrale richiede qualche considerazione. Un cambiamento di variabile consente di ridurci al calcolo di u (u 2 + a 2 ) 2 du, (u 2 + a 2 ) 2 du. Osserviamo che,mentre il primo integrale si calcola in modo elementare, mediante il metodo per sostituzione, per il secondo occorre ricordare la seguente formula, valida per ogni m 2 : (u 2 + a 2 ) m du = 2a 2 (m ) u 2m 3 (u 2 + a 2 + ) m 2a 2 (m ) (u 2 + a 2 du. ) m Questa formula, se applicata piú volte consente di ridurre il calcolo al caso in cui m =. [La formula precedente si ottiene integrando per parti (u 2 +a 2 ) m du.].7 Integrazione delle funzioni trigonometriche In questa sezione trattiamo l integrazione indefinita di funzioni trigonometriche, cioè di funzioni di sin e cos.. Integrali del tipo f(sin ) cos d; si pone u = sin, du = cos d; f(cos ) sin d; si pone u = cos, du = sin d; 2. Integrali del tipo (sin ) n (cos ) m d, con almeno uno degli esponenti dispari. In tal caso, sfruttando la relazione sin 2 + cos 2 =, si puó riscrivere la funzione integranda nella forma f(sin ) cos o f(cos ) sin. 3. Integrali del tipo (sin ) n (cos ) m d, con entrambi gli esponenti pari. In tal caso si usano le formule di bisezione per abbassare il grado delle potenze, ottenendo integrali del tipo precedente, oppure elementari. 4. Integrali del tipo cos(α) sin(β) d, cos(α) cos(β) d, sin(α) sin(β) d; si usano le formule di prostaferesi che riconducono alla somma di integrali elementari. 5. Integrali di funzioni razionali di sin e cos. Un integrale di questo tipo puó sempre essere ricondotto all integrale di una funzione razionale mediante l uso delle formule {cos = t2 t 2 +, sin = 2t t 2 +, se t = tan 2.

11 Analisi Matematica 2.8 Integrazione delle funzioni irrazionali In questa sezione elenchiamo alcuni metodi di integrazione per funzioni irrazionali.. La funzione integranda è una funzione razionale di, a 2 2. Si pone = a sin t, t [ π/2, π/2], e d = a cos t dt e si ottiene una funzione razionale di sin t e cos t. 2. La funzione integranda è una funzione razionale di, a Si pone = a sinh t, e d = a cosh t dt e si ottiene una funzione razionale di sinh t e cosh t. Se si tiene conto poi della definizione di seno e coseno iperbolico, la sostituzione u = e t, cioè t = ln u, dt = du/u, si otterrá una funzione razionale di u. Per ritornare alla variabile sará necessario usare le funzioni iperboliche inverse. 3. La funzione integranda è una funzione razionale di, 2 a 2. Si pone = a cosh t, e d = a sinh t dt e si ottiene una funzione razionale di sinh t e cosh t. Se si tiene conto poi della definizione di seno e coseno iperbolico, la sostituzione u = e t, cioè t = ln u, dt = du/u, si otterrá una funzione razionale di u. Anche ora, per ritornare alla variabile sará necessario usare le funzioni iperboliche inverse. 4. La funzione integranda è una funzione razionale di, n /m,..., n k/m k. Si pone = t n, se n = m.c.m.{m,, m k }. In tal caso d = n t n e si ottiene una funzione razionale di t..9 Integrali indefiniti non calcolabili esplicitamente Osserviamo esplicitamente che ci sono integrali indefiniti di funzioni apparentemente semplici che peró non sono calcolabili elementarmente (cioè non sono esprimibili in termini di funzioni elementari). Alcuni esempi di questi integrali sono i seguenti. e a2 sin d, d, sin( 2 ) d, e d, cos d; cos( 2 ) d. ln d;