Primitive e Integrali Indefiniti

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1 Capitolo 0 Primitive e Integrali Indefiniti In questo capitolo ci proponiamo di esporre la teoria delle funzioni primitive per funzioni reali di una variabile reale e di dare cenni ai metodi utilizzati per la loro determinazione. Questo argomento fa parte del Calcolo Differenziale, ma trova le sue maggiori applicazioni nel calcolo degli integrali definiti. 0. Definizioneeprimeproprietà Definizione 0. Siano I un intervallo e f : I R unafunzione. Diciamocheunafunzione F : I R è primitiva della funzione f nell intervallo I se F è derivabile in I esiha Esempio F 0 (x) =f (x) per ogni x I. F (x) =sinx èprimitivadif (x) =cosx in I = R. F (x) =log x èprimitivadif (x) = in I =(, 0) e in I =(0, + ). x Osservazioni Ovviamente, non ogni funzione è la primitiva di un altra. Infatti, ogni funzione non derivabile non può essere una primitiva di alcuna funzione. Tutte le funzioni continue in I ammettono certamente primitiva in I. Questo segue dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (vedi Cap. ) Esistono funzioni che non ammettono primitiva. Ad esempio, la funzione f (x) = sgn (x) non ammette primitiva in alcun intervallo aperto contenente l origine. (Questo segue dal fatto che le derivate godono della proprietà di Darboux.) La primitiva, se esiste, non è unica. Infatti, se la funzione F èprimitivadif in I, allora tutte le funzioni G (x) =F (x)+c (c R) sonoprimitivedif in I. Inoltre tutte le primitive hanno questa forma come afferma la seguente Proposizione 0. Sia I R un intervallo. Se le funzioni F e G sono primitive di f in I allora esiste una costante c R tale che G (x) =F (x)+c per ogni x I.

2 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI Dim. Sia H = G F. Per ogni x I si ha H 0 (x) =G 0 (x) F 0 (x) =f (x) f (x) =0. Per un Corollario del Teorema di Lagrange segue quindi che la funzione H ècostanteini. N Nella Proposizione precedente l ipotesi che I sia un intervallo èessenziale,comemostrailseguente esempio. Sia E =(, 0) (0, + ) e la funzione f (x) = x. La funzione F (x) =log x è una primitiva di f in E. Lo sono anche le funzioni ½ log( x)+a se x<0 G (x) = log x + b se x>0 per ogni a, b R (anche distinti!). Definizione 0.3 Si chiama integrale indefinito di f in I l insieme delle sue primitive e viene denotato con il simbolo f(x). Quindi, se F è una primitiva di f in I si ha f(x) = {G : I R tali che esiste c R tale che G (x) =F (x)+c per ogni x I}. Per comodità di scrittura useremo la seguente forma f(x) = F (x)+c. 0. Calcolo di primitive I metodi per il calcolo degli integrali indefiniti sono conseguenze immediate di alcune proprietà delle derivate. Proposizione 0.4 (Linearità) Siano f e g due funzioni che ammettono primitiva in I. Allora, per ogni a, b R si ha [af (x)+bg (x)] = a f (x) + b g(x). Esempio x +3x + x x x+3 = + x x x = 3 x x +6 x x + c.

3 0.. CALCOLO DI PRIMITIVE 3 Dalla regola di derivazione di un prodotto si ha il seguente Teorema 0.5 (Integrazione per parti) Siano f e g due funzioni di classe C in I. Allora f (x) g 0 (x) = f (x) g (x) f 0 (x) g (x). Dim. Per ogni x I si ha quindi d [f (x) g (x)] = f 0 (x) g (x)+f (x) g 0 (x), [f f (x) g 0 (x) = (x) g (x)] 0 f 0 (x) g (x) = f (x) g (x) f 0 (x) g (x). N Esempio 3 log x= x log x x x = x log x x + c in (0, + ). Dalla regola di derivazione delle funzioni composte si ha il seguente Teorema 0.6 (Integrazione per sostituzione) Siano I e J intervalli e le funzioni f,ϕ tali che ϕ : J I e f : I R. Supponiamo che R f (t) dt = F (t) +c in I echeϕ sia derivabile in J con derivata continua. Allora f (ϕ (x)) ϕ 0 (x) = F (ϕ (x)) + c in J. Dim. Per ogni x J si ha d F (ϕ (x)) = F 0 (ϕ (x)) ϕ 0 (x) =f (ϕ (x)) ϕ 0 (x). N Esempio 4 Esempio 5 x x +7 = x +7 (x) = log x +7 + c. log x = x log x + c.

4 4 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI Per utilizzare al meglio questa tecnica è opportuno rileggere il teorema precedente anche in modo diverso. La formula f (ϕ (x)) ϕ 0 (x) = F (ϕ (x)) + c si può anche scrivere come f (t) dt = t=ϕ(x) f (ϕ (x)) ϕ 0 (x). Quindi, dovendo calcolare R f (t) dt, si opera la sostituzione t = ϕ (x) (dacuidt = ϕ 0 (x) ) eci si riconduce a determinare R f (ϕ (x)) ϕ 0 (x). Esempio 6 Per calcolare R arctan xin I =(0, + ) sipone x = t, ossia x = t, e quindi =tdte, integrando per parti, si ha quindi t arctan tdt= t arctan t = t arctan t t + arctan t + c. t t t + dt = + t arctan t t + Ricordando che x = t, si ottiene arctan x= x arctan x x +arctan x + c. dt Esempio 7 Per calcolare R x cos x +3 si pone x +3=t, e quindi x= dt e quindi ci si riconduce acalcolare cos tdt. Integrando per parti si ottiene cos tdt=sintcos t + sin tdt. Dalla relazione sin t = cos t si ottiene cos tdt=sintcos t + t + cos tdt da cui si ricava cos tdt= (sin t cos t + t)+c e quindi x cos x +3 = 4 sin x +3 cos x x + c.

5 0.3. CENNI ALL INTEGRAIONE DELLE FUNIONI RAIONALI Cenni all integrazione delle funzioni razionali Vogliamo accennare al metodo per determinare le primitive di funzioni della forma f (x) = A (x) B (x) con A e B polinomi. Possiamo considerare solo il caso in cui deg A (x) < deg B (x). Infatti se fosse deg A (x) deg B (x) allora esisterebbero (unici!) due polinomi (quoziente e resto) Q (x) er (x) condegr (x) < deg B (x) taliche A (x) =Q (x) B (x)+r (x). Ossia f (x) = A (x) R (x) = Q (x)+ B (x) B (x). Ilpolinomioacoefficienti reali B (x) può essere scomposto in modo unico in fattori nel seguente modo B (x) =α (x b ) n (x b l ) n l x + c x + d m x + c k x + d k mk dove α R, b i èradicerealedib (x) dimolteplicità n i per ogni i =,...l e il polinomio a coefficienti reali x + c i x + d i è irriducubile in R (cioè c i 4d i < 0) per ogni i =,...k. Inoltre, nelle ipotesi precedenti, la funzione f (x) può essere scritta in modo unico nella forma f (x) = α + + α n x b (x b ) n + α + + α ln l x b (x b l ) n + l + C x + D x + + C m x + D m + c x + d (x + c x + d ) m + + C km k x + D kmk (x + c k x + d k ) m. k La funzione iniziale è stata quindi scritta come somma di addendi della forma α (x b) n α,b R, n N, n edellaforma γx + δ (x + cx + d) m γ, δ,c,d R, m N, m con il polinomio x + cx + d irriducibile in R. L integrazione della funzione f è quindi ricondotta a quella dei singoli addendi. Facilmente, si ottiene α (x b) n = α n (x b) n se n α log x b se n =.

6 6 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI Per quanto riguarda gli addendi della seconda forma osserviamo inizialmente che Facilmente si ha γx + δ (x + cx + d) m = γ x + c (x + cx + d) m = x + c (x + cx + d) m + x + cx + d m m δ cγ (x + cx + d) m. se m log x + cx + d se m = Restano quindi solo da determinare le primitive degli addendi della forma (x + cx + d) m con c, d R e x + cx + d polinomio irriducibile in R. Per questo si può utilizzare il seguente Lemma 0.7 Per ogni numero naturale m sia I m = (x +) m. Allora eperognim si ha I = arctan x + c I m = x x + m (m ) + m 3 (m ) I m. Osserviamo ora che, nelle ipotesi fatte, si ha ³ x + cx + d = x + c µ + d c 4 µ = d c 4 + q d c 4 ³ x + c e quindi con la sostituzione t = q d c 4 ³ x + c l integrazione di (x + cx + d) m si riconduce a quella di (t +) m.

7 0.3. CENNI ALL INTEGRAIONE DELLE FUNIONI RAIONALI 7 Esempio 8 Calcolare le primitive di Si cercano tre costanti in modo che f (x) = x x x (x +). x x x (x +) = A x + Bx + C x +. Applicando il principio di identità dei polinomi si trova che A = C = eb = ossia e quindi x x x (x +) = x + x x + x + x x x (x +) = log x +log x + arctan x + c. Esempio 9 Calcolare x x + x (x ). Scrivendo x x + x (x ) = A x + B x + C (x ) si ottiene A = B =ec =. In conclusione x µ x + x (x ) = x + x + (x ) =log x (x ) x + c. Esempio 0 Calcolare 3x +x + x 3. Scrivendo 3x +x + x 3 si ottiene A =eb = C =. D altra parte = A x + Bx + C x + x + x + x + x + = x + x + x + + x + x +

8 8 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI quindi 3x +x + x 3 = x + x + x + x + + x + x + =log x + log x + x + + x + x +. Per calcolare l ultimo integrale osserviamo che x + x += µ x = 3 4 Posto t = 3 x +, e quindi = 3 dt, si ottiene e quindi x + x + = ( + 3 µ x + ) µ arctan x + + c 3 3 3x +x + x 3 =log x + log x + x arctan x c.