Calcolo di integrali definiti utilizzando integrali dipendenti da parametri

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1 Calcolo di integrali definiti utilizzando integrali dipendenti da parametri Mosè Giordano 6 novembre Introduzione I seguenti esercizi mostrano alcuni esempi di applicazioni degli integrali dipendenti da parametri per il calcolo di integrali generalizzati. Riportiamo qui per convenienza le ipotesi di applicabilità della regola di derivazione sotto il segno di integrale per questo tipo di integrali vedi De Marco [, pagina 47]: Teorema. Sia E spazio metrizzabile, I intervallo di R i cui estremi eventualmente infiniti sono, β R; sia f : E I Y Y spazio di Banach funzione continua. Supponiamo che per ogni E l integrale generalizzato F β esista in Y. Allora f, t dt i. se per p E esistono un intorno U di p in E e una γ : I [, + [ sommabile su I tale che sia f, t Y γt per ogni U e ogni t I, allora F è continua in p; ii. sia u un vettore di X tale che u f, t esista e sia continua in E I E ora è aperto nello spazio normato X. Se per un p E esistono un intorno U di p in E e una γ : I [, + [ sommabile su I tale che sia u f, t Y γt per ogni U e per ogni t I, allora si ha u F β u f, t dt e quindi, per i, u F è anche continua in U. In questi appunti supporremo sempre soddisfatte le ipotesi del teorema.

2 Esempi Esempio. Calcolare sin d. Svolgimento. La funzione 3 Sit t sin d 4 è detta seno integrale, quando t + si ha l integrale di Dirichlet. L integranda sin / è una funzione non elementarmente integrabile, però possiamo valutare l integrale definito considerando la funzione f : [, + [ R definita da f sin e d. 5 Applichiamo la formula di derivazione sotto il segno di integrale: I f sin + e d e sin d lim t + [e sin ] t e cos d lim t + [e cos ] t + I, da cui, con, Risulta: e sin d e cos d e sin d sin e d I + I I f +. 7 lim ft ft d t + t + lim arctan t + arctan t t + arctan t π 8, >. Poiché lim t + ft l integranda è la funzione identicamente nulla, risulta 6 f π arctan, >. 9

3 .6.4 sin d e Osserviamo che f è prolungabile per continuità da destra in : f lim + f sin d π. Per > risulta π/ arctan arctan/ e dunque f arctan/, se > e f π/. Esempio. Calcolare e + d. Svolgimento. Consideriamo la funzione f : R R definita da f e + d e calcoliamo f usando la formula di derivazione sotto il segno di integrale: f e + d e + d. 3 Effettuiamo la sostituzione y /, cosicché dy / d, + +, + y + : f e + d Si tratta allora di risolvere il seguente problema di Cauchy: f f π f 3 y e y + y dy f. 4 5

4 d e poiché è noto che e d π/. Separando le variabili troviamo: df f f f d log f + c f c e, c, R. 6 Determiniamo c imponendo la condizione iniziale: π/ c, per cui f π e. Abbiamo così trovato che: 7 f Esempio 3. Calcolare e + d π e. 8 log d. Svolgimento. Consideriamo la funzione f : R R definita da 9 f log d e calcoliamo f usando la formula di derivazione sotto il segno di integrale: f d log [ + d + ] +. 4

5 log d Dobbiamo allora risolvere il seguente problema di Cauchy: f + f perché f d / log d. Risulta: d f df log + + c, c R, > 3 + e imponendo la condizione iniziale otteniamo: + c c. Pertanto f log +, > 4 e in particolare f log Esempio 4. Calcolare π/ d log. 5 d. 6 tan Svolgimento. Consideriamo la funzione f : R R definita da f π/ arctan tan tan d 7 5

6 e calcoliamo f usando la regola di derivazione sotto il segno di integrale: π/ f arctan tan π/ tan d tan tan + tan d 8 π/ + tan d. Effettuiamo la sostituzione t tan, quindi d dt/+t, + t +, π/ t + : f dt + t + t. 9 Scomponiamo la frazione con il metodo dei fratti semplici: + t + t At + B + t + Ct + D + t A + C t 3 + B + D t + A + Ct + B + D + t + t dove A, B, C e D sono costanti reali da determinare applicando il principio di identità dei polinomi. Dobbiamo dunque risolvere il sistema A + C B + D 3 A + C B + D da cui si trova A Allora B C D f π t + t + t + t dt dt lim [ arctant arctan t]t t + π +. Dobbiamo risolvere pertanto il seguente problema di Cauchy: f π + f

7 3 arctan tan tan π/ d perché f π/ d arctan tan / tan π/ f df π d. Abbiamo: d + f π log + + c, c R, >. 35 Imponendo la condizione iniziale otteniamo: π log/ + c c, da cui: f π log +, > 36 e in particolare f π/ Esempio 5. Calcolare tan d π log. 37 log + + d. 38 Svolgimento. Consideriamo la funzione f : R R definita da f log + + d. 39 Calcoliamo f usando la regola di derivazione sotto il segno di integrale: f log + + d d

8 Scomponiamo la frazione con il metodo dei fratti semplici: + + A + B + + C + D + A + C 3 + B + D + A + C + B + D + + dove A, B, C e D sono costanti reali da determinare applicando il principio di identità dei polinomi. Dobbiamo dunque risolvere il sistema A + C B + D 4 A + C B + D da cui si ottiene A B. 43 C D 4 Allora f lim t + π π + d [ arctan arctan ] t π d π +. Dunque si tratta di risolvere il seguente problema di Cauchy: f π + f poiché dlog + / +. Risulta: π d f df π log + + c, c R, > Imponendo la condizione iniziale troviamo: π log + c c. Allora f π log +, > 47 e in particolare f log + + d π log. 48 8

9 6 5 log + d Esempio 6. Calcolare cos d. 49 Svolgimento. Consideriamo la funzione f : ], + [ R definita da f cos e d. 5 Calcoliamo f usando la formula di derivazione sotto il segno di integrale: f e cos d e cos d e cos d e cos d π. e d e cos d 5 Per calcolare e cos d consideriamo la funzione g : R R definita da gβ e cosβ d. 5 L integrale presente nel secondo membro della 5 è detto integrale di Laplace ed è la trasformata di Fourier della gaussiana. Dalla regola di derivazione sotto il segno 9

10 di integrale abbiamo: g β β e β gβ. cosβ d e sinβ d lim t + [e sinβ] t t e sinβ d e β cosβ d Per determinare gβ dobbiamo allora risolvere il seguente problema di Cauchy: g β g > 54 π g avendo nuovamente sfruttato il valore dell integrale d e π/. Abbiamo: g β g dg g log g β dβ β + c g c e β /4, c, β R, >. Imponiamo la condizione iniziale: π/ c, per cui: π gβ e β cosβ d 4, >, β R. 56 Dunque f g Osserviamo che pertanto e π π e cos lim e 58 + lim f + lim + e possiamo così calcolare lim fy f lim y + y + cos e d 59 fy f df π e 4 d. 6

11 e cosβ d β Effettuiamo la sostituzione t /4, quindi d dt/t 3, + t /, + t + : / lim fy f y + / π [ π t e t + t π πte t t 3 dt / π t e t t dt e 4 ] t/ t + lim t + / π e 4 π erf e t t dt t e t dt t e t / t e t dt π e 4 π erf, 6 in cui erft t e d 6 π è la funzione degli errori per la quale si ha lim t + erft. Allora f πe 4 + π erf, > 63 e la funzione può essere prolungata per continuità in da destra con questo

12 3 cos d e valore: f cos d lim πe 4 + π erf + π. 64 Riferimenti bibliografici [] Giuseppe De Marco. Analisi due. Volume. Padova: Decibel e Zanichelli, 993 citato a pagina.