Integrali inde niti. F 2 (x) = x5 3x 2

Transcript

1 Integrali inde niti Abbiamo sinora studiato come ottenere la funzione derivata di una data funzione. Vogliamo ora chiederci, data una funzione f, come ottenerne una funzione, che derivata dia f. Esempio Data la funzione f(x) = x 3x + 9, dobbiamo cercare tre funzioni:la prima funzione deve dare x, la seconda 3x e la terza 9. Per ottenere x dobbiamo considerare x 5 ma dobbiamo anche dividerlo per 5, cioè dobbiamo considerare x5 3x ; per 3x otteniamo, mentre per 9, 5 abbiamo 9x. Ora, mettendo tutto questo insieme si ottiene la seguente funzione, F (x) = x5 3x + 9x. 5 La funzione F si chiama primitiva di f. Anche le funzioni: F (x) = x5 3x + 9x + 3 o 5 F (x) = x5 3x + 9x sono primitive di f; quindi, la primitiva di f, se esiste, non è unica. Infatti, se la funzione F è primitiva di f in un intervallo I, allora tutte le funzioni G(x) = F (x) + c(c R) sono primitive di f in I. Inoltre tutte le primitive hanno questa forma come a erma la seguente: Proposizione Sia f : I! R. Se le funzioni F e G : I! R sono primitive di f allora esiste una costante (c R) tale che G(x) = F (x) + c per ogni x I. Dimostrazione. Sia H(x) = G(x) F (x) per ogni x I. Allora H 0( x) = G 0 (x) F 0 (x) = f(x) f(x) = 0. Per un Corollario al Teorema di Lagrange essendo H una funzione continua a derivata nulla nell intervallo I è costante in I. Quindi c = H(x) = G(x) F (x) e G(x) = F (x) + c: Ora siamo in grado di dare la seguente: De nizione: Data una funzione f, l insieme delle primitive di f si chiama integrale inde nito e si indica, f(x) = F (x) + c

2 In questa de nizione R è il simbolo integrante, f èla funzione integranda, x la variabile di integrazione e c la costante di integrazione e F una qualsiasi primitiva di f. Proprietà dell integrale inde nito Dalle proprietà delle derivate di funzioni si ottengono le seguenti proprietà: se k è un numero reale R kf(x)dx = k R f(x)dx R f(x) g(x)dx = R f(x)dx R g(x))dx In altre parole, l integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lieare dei singoli integrali. Diamo ora la lista degli integrali delle funzioni elementari R x n dx = xn+ + c n+ Questa formula, non vale quando n = 0 a denominatore., infatti in tal caso si avrebbe R kdx = kx + c dove k; c sono costanti R sinxdx = cos x + c R cosxdx = sin x + c R a x dx = ax ln a + c R e x dx = e x + c R dx = ln jxj + c x R cos x dx = R ( + tan x)dx = tan x + c R +x dx = arctan x + c R p x dx = arcsin x + c

3 Esempi. R (5t 3 0t 6 + )dt = 5 t 0 5 t 5 + t + c = 5 t + t 5 + t + c = t 5 (5t 9 + 6t 6 + 8) + c. R (x 8 + x 8 )dx = 9 x9 7 x 7 + c = 63x 7 (7x 6 3. R (3 p x x 5 6 p )dx = R (3x x x 5 6 p )dx = 3 x 7 8x 9 8x + x c. R dy = y + c 9) + c x 7 7 x + x +c = 3 5. R (w + 3p w)( w )dw = R (w w 3p w + 3p w w 3 )dw = R (w w w 3 w 3 )dw = w w + 3w 3 3 w c 0 6. R x 0 x +5x x 3 dx = R (x 7 x + 5 x )dx = x8 x + 5 ln jxj + c 7. R (3e x + 5 cos x 0 cos x )dx = 3ex + 5 sin x 8. R ( sin y + 9 )dy = 3 arctan y y + y 0 tan x + c 6 cos y + 9 ln jyj + c 9. R ( 7 6 cos cos )d = R ( 7 cos 6)d = 7 tan 6 + c 0. R sin t cos t dt Ci sono diversi modi per fare questo integrale e la maggior parte di questi medodi richiedono tecniche che esporremo in seguito. Tuttavia, vi è un modo semplice per calcolare questo integrale. Dobbiamo solo ricordare la formula di duplicazione del seno: sin t = sin t cos t R Sostituendo t con t si ha: sin t = sin t cos t ; quindi: sin t cos t dt = R sin tdt = cos t + c. Come osservato in precedenza vi è un altro metodo per fare questo integrante. In realtà ci sono due metodi alternativi, come vedremo in seguito, ma la formula di sempli cazione nel precedente problema è un bel "trucco" da ricordare. Essa può essere utilizzata per sempli care notevolmente alcuni problemi. Consideriamo ora altri problemi: determinare le funzioni tali che 3

4 (a) f 0 (x) = x sin x + 7e x ; f(0) = 5 (b) f"(x) = 5 p x + 5x 3 + 6; f() = 5 :; f 0 () = Per risolvere il problema (a) dobbiamo trovare una primitiva di f 0 che valga 5 in. Le primitive di f 0 sono: R (x sin x + 7e x )dx = x 9x cos x + 7e x + c Dunque dobbiamo trovare un valore di c per cui: 5 = f(0) = cos 0 + 7e 0 + c; quindi 5 = c, che signi ca c = 0 Dunque f(x) = x 9x cos x + 7e x + 0 Per risolvere il problema (b) dobbiamo trovare una primitiva di f" che valga R in p, (5 x + 5x 3 + 6)dx = 5 x x + 6x + c = 5 x + 0x 3 + 6x + c f 0 () = c = c + 69 =, quindi c = 6. Ora dobbiamo trovare una funzione la cui derivata sia 5 x +0x 3 +6x 6 5 e che valga in. Quindi R ( 5 x + 0x x )dx = x5 + +x 5 + 3x 6x + d = 5 Chiediamo che la funzione in valga. 6 f() = d = 5, quindi d= 7 La funzione richiesta è f(x) = x 5 + x5 + 3x 6x + 7 La retta tangente al gra co di f y + 5 = (x ) nel punto di ascissa ha equazione:

5 Integrali per sostituzione Sinora abbiamo calcolato integali elementari: cioè integrali che si possono ottenere dal formulario o applicando la formula della derivata della somma e dalla moltiplicazione una costante; non siamo però in grado di calcolare integrali del tipo: 8x p 6x 3 + 5dx; oppure ( w ) cos(w ln w)dx Per risolvere questi integrali abbiamo bisogno della regola di sostituzione, cioè dobbiamo usare la regola di derivazioni di funzioni composte. In entrambe i casi proposti la funzione integranda è del tipo: f(g(x)) : g 0 (x) o f(g(w)) : g 0 (w): Allora basterà trovare una primitiva di f, poniamo F e avremo f(g(x)) : g 0 (x) dx = F (g(x)) + c In pratica porremo u = g(x) essendo du = g 0 (x)dx, si potrà scrivere: f(g(x)) : g 0 (x) dx = f(u)du = F (u) + c dove u = g(x) Risolvere un integrale per sostituzione signi ca eliminare ogni x che esiste nella funzione da integrare e scrivere l integrale completamente in termini della nuova incognita utilizzando sia la de nizione della nuova incognita sia il suo di erenziale. Calcoliamo 8x p 6x 3 + 5dx ponendo u = 6x3 + 5, sotto questa condizione du = 8x dx e 8x p 6x 3 + 5dx = u du = u 5 + c = 5 5 (6x3 + 5) 5 + c Calcoliamo ( ) cos(w ln w)dx w 5

6 ponendo u = w ln w; du = ( )dw abbiamo w ( ) cos(w ln w)dx = cos(u)du = sin u + c = sin(w ln w) + c w Come al solito siamo in grado di controllare i nostri risultati derivando le soluzioni trovate. Attenzione: quando si usa la regola di sostituzione, non dimenticare di "tornare a sostituire" la variabile iniziale e ottenere l integrante con la variabile originale. Esempi. 3(8y )e y y dy Ponendo u = y y si ha du = (8y )dy e 3(8y )e y y dy = 3e u du = 3e u + c = 3e y y + c. x (3 0x 3 ) dx Ponendo u = 3 0x 3 si ha du = 30x dx (x dx = du x (3 0x 3 ) dx = u du = :( )u5 + c = (3 50 0x3 ) 5 + c 30 ) 3. p x x dx Ponendo u = x si ha du = 8xdx (xdx = du ) 8 p x x dx = u du = :u + c = ( 8 x ) + c. cos(3z) sin 0 (3z)dz Ponendo u = sin(3z) si ha du = 3 cos(3z)dz e cos(3z) sin 0 (3z)dz = u 0 du = 3 3 :u + c = 33 sin (3z) + c 6

7 5. cos p x p x dx 6. Ponendo u = x si ha du = x dx e du = p x dx quindi cos p x p x dx = cos(u)du = : sin(u) + c = sin( p x) + c sin( t ) cos( t )dt Ponendo u = sin( t ) si ha du = cos( t )dt e sin( t ) cos( t )dt = udu = u + c = sin ( t ) + c = sin t + c = cos t + c = cos(t) + c = cos(t) + c0 7

8 Integrali per parti Mentre la formula di integrazione per sostituzione è conseguenza dal teorema di derivazione di funzioni composte, la formula d integrazione per parti segue dalla formula della derivata del prodotto di due funzioni, ( fg) 0 = f 0 g + fg 0, cioè: fg 0 = (fg) 0 (f 0 g) Quindi, dovendo cercare le primitive di un prodotto di due funzioni di cui una sia derivalbile (fattor nito) e dell altra si conosca una primitiva (fattor di erenziale), possiamo trasformare la ricerca di queste primitive in una ricerca diversa, a volte più semplice: f(x)g 0 (x)dx = f(x)g(x) f 0 (x)g(x) dx Esempi. xlnxdx Si tratta di un prodotto di funzioni: della funzione logaritmo si conosce la derivata (=x), ma non una primitiva e quindi si sceglierà come fattor nito, della funzione x si conoscono le primitive e quindi sarà scelto come fattor di erenziale. Quindi ponendo f(x) = logx(fattor nito); g(x) = x (fattor di erenziale), si ha : xlnxdx = (lnx) x ( x ) x x x x dx = (lnx) dx = (lnx) +c x. xe x dx Conviene scegliere f(x) = e x come fattore di erenziale e g(x) = x come fattore nito. Dunque si ha: xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c 8

9 3. ln(x)dx Scriviamo ln(x)dx = : ln(x)dx. Scegliamo f(x) = come fattore di erenziale e g(x) = ln(x) come fattore nito. Dunque si ha: ln(x)dx = xln(x) x dx = xln(x) x + c x x sin xdx Scegliendo f(x) = sin x come fattore di erenziale e g(x) = x come fattore nito, si ha: x sin xdx = x( cos x) ( cos x)dx = x cos x + sin x + c x cos(x)dx Scegliendo f(x) = cos(x) come fattore di erenziale e g(x) = x come fattore nito, si ha: x cos(x)dx = x sin(x) x sin(x) dx = x sin(x) x sin(x)dx Integrando ancora per parti si ha: x cos(x)dx = x sin(x) cos(x) (x( ) x cos(x) sin(x) + c : cos(x) dx) = x sin(x) + e x cos xdx = e x sin x e x sin xdx = e x sin x (e x ( cos x) e x sin x + e x cos x e x cos xdx In conclusione e x cos xdx = e x sin x + e x cos x + c e e x cos xdx = ex sin x+e x cos x x sin x+cos x + c = e + c sin( t ) cos( t )dt = R sin t cos t sin t dt Quindi sin( t ) cos( t )dt = sin t +c e sin( t ) cos( t )dt = sin t +c e x ( cos x)dx) = 9