Prima prova in Itinere Ist. Mat. 1, Prima parte, Tema PIPPO COGNOME: NOME: MATR.: 1) 7; C: x sin(x) dx è A: π ; B:2 ; C: 0 ; D: π/2; E: N.A.

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1 Prima prova in Itinere Ist. Mat., Prima parte, Tema PIPPO 4 aprile 7 COGNOME: NOME: MATR.: ) Una primitiva di x 5 e x3 è A: e x3 (x 3 ); B: e x3 (x 5 ) 7; C: ex3 (x 3 + ) D: ex3 (x 3 ) + 7; E: N.A. ) Il valore dell integrale π x sin(x) dx è A: π ; B: ; C: ; D: π/; E: N.A. 3) L integrale indefinito 5x + x + 4x + 5 dx è A: 5 ln(x + x + 5) + c; B: 5 ln(x + 4x + 5) + c; C: ln(x + 4x + 5) + c; E: N.A. ; D: 5 ln(x + 4x + 5) + c. 4 4) Il volume del solido di rotazione int. all asse x del sottografico di x3, x [, 3] è A: 8 5 π; B: π; C: π ; D: 8 3 π; E: N.A ) Il limite per t + della soluzione di u = u t 3 tale che u() = vale A: + ; B: ; C: N.A. D: ; E:. 6) La funzione x + 3, definita per x [, 4] è A: crescente; B: N.A.; C: integrabile; D: discontinua ; E: derivabile. 7) L equazione differenziale u = sin(x)u + x A: ha un unica soluzione definita su R; B: non ha soluzioni; C: N.A.; D: ammette soluzioni non definite su tutto R ; E: ammette infinite soluzioni. 8) La derivata di F (x) = x cos(t ) dt è A: N.A.; B: cos(x ); C: sin(x ) D: cos(x ); E: cos( x) RISPOSTE D A B D D C E D

2 Prima prova in Itinere Ist. Mat., Prima parte, Tema PAPERINO 4 aprile 7 COGNOME: NOME: MATR.: ) Il valore dell integrale π x sin(x + π/) dx è A: π ; B: ; C: ; D: π/; E: N.A. ) L integrale indefinito 5 x + 4x + 5 dx è A: 5 ln(x + 4x + 5) + c; B: 5 ln(x + 4x + 5) + c; C: 5 arctan(x + ) + c; E: N.A. ; D: 5 arctan(x + ) + c. 3) Una primitiva di 4x 5 e x3 è A: 3 ex3 (x 3 ) + 5; B: 4e x3 (x 5 ) ; C: 3 ex3 (x 3 + ) D: 4e x3 (x 3 ); E: N.A. 4) Il volume del solido di rotazione int. all asse x del sottografico di A: 3 π; B: π; C: 7 7 π ; D: 3 π; E: N.A. 5 3 x, x [, ] è 5) Il limite per t + della soluzione di u = u t 4 tale che u() = vale: A: ; B: ; C: N.A. D: 3 ; E:. 6) La funzione x +, definita per x [ 3, ] è A: crescente; B: N.A.; C: integrabile; D: positiva ; E: derivabile. 7) L equazione differenziale u = sin(x )u 3 x con condizione iniziale u() = A: ha un unica soluzione definita su R; B: non ha soluzioni; C: N.A.; D: ammette soluzioni non definite su tutto R ; E: ammette infinite soluzioni. 8) La derivata di F (x) = x cos(t ) dt è A: N.A.; B: cos(4x ); C: sin(x ) D: cos(x ); E: cos(x) RISPOSTE B D A E D C A A

3 Prima prova in Itinere Ist. Mat., Prima parte, Tema TOPOLINO 4 aprile 7 COGNOME: NOME: MATR.: ) Il valore dell integrale π (x + ) cos(x) dx è A: ; B: ; C: ; D: π/; E: N.A. ) L integrale indefinito 3 x 4x + 5 dx è A: 3 ln(x 4x + 5) + c; B: ln(x 4x + 5) + c; C: 3 arctan(x ) + c; E: N.A. ; D: 3 ln(x ) + c. 4 3) Il volume del solido di rotazione int. all asse x del sottografico di x, x [, ] è A: 4 5 π; B: 4 4 π; C: π; D: 3π; E: N.A ) Il limite per t + della soluzione di u = u t 3 tale che u() = vale A: + ; B: ; C: N.A. D: ; E:. 3 5) Una primitiva di 3x 5 e x3 è A: 3e x3 (x 3 ); B: 3e x3 (x 5 ) + 9; C: 4 ex3 (x 3 + ) D: 4 ex3 (x 3 ) + ; E: N.A. 6) La funzione x, definita per x [, 3] è A: integrabile; B: N.A.; C: decrescente; D: discontinua ; E: derivabile. 7) L equazione differenziale u = x cos(x)u + e x, con condizione iniziale u() = 4 A: ha un unica soluzione definita su R; B: non ha soluzioni; C: N.A.; D: ammette soluzioni non definite su tutto R ; E: ammette infinite soluzioni. 8) La derivata di F (x) = x cos(t ) dt è A: N.A.; B: cos(x ); C: sin(x ) D: cos(4x ); E: cos(4x) RISPOSTE A E C B D A A D

4 Prima prova in Itinere Ist. Mat., Prima parte, Tema PLUTO 4 aprile 7 COGNOME: NOME: MATR.: ) Il valore dell integrale π (x + ) sin(x) dx è A: π ; B: ; C: ; D: π; E: N.A. ) L integrale indefinito 3x 6 x 4x + 5 dx è A: 3 ln(x x + 5) + c; B: ln(x 4x + 5) + c; C: 3 ln(x 4x + 5) + c; E: N.A. ; D: 3 ln(x 4x + 5) + c. 3) Il volume del solido di rotazione int. all asse x del sottografico di A: π; B: 5 5 π; C: π; D: 5 π; E: N.A. 5 x3, x [, ] è 4) Il limite per t + della soluzione di u = u t 3 tale che u() = vale A: + ; B: ; C: N.A. D: ; E:. 5) La funzione x, definita per x [, 3] è A: crescente; B: N.A.; C: derivabile; D: discontinua ; E: integrabile. 6) L equazione differenziale u = x cos(x)u 5x, con condizione iniziale u() = A: ha un unica soluzione definita su R; B: non ha soluzioni; C: N.A.; D: ammette soluzioni non definite su tutto R ; E: ammette infinite soluzioni. 7) Una primitiva di x 5 e x3 è A: e x3 (x 3 ); B: e x3 (x 5 ) 7; C: 6 ex3 (x 3 + ) D: 6 ex3 (x 3 ) + 5; E: N.A. 8) La derivata di F (x) = x cos(t ) dt è A: N.A.; B: cos(x ); C: sin(x ) D: cos(x ); E: cos(x) RISPOSTE E C D B E A D B

5 Compito di Istituzioni di Matematica Seconda parte, Tema A 4 aprile 7 COGNOME: NOME: MATR.: Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 3 x (sin x + ) dx e calcolare l area di grafico compresa tra la funzione f(x) = e x x + 3 e g(x) = cos 3 x per x compreso tra e 3. (sin x + ) Risoluzione. Usando l identità cos (x) = sin (x) e la sostituzione sin(x) = t si ottiene cos 3 x (sin x + ) dx sin(x)=t t = (t + ) dt, vale a dire, se F (t) è una primitiva di t (t + ), una primitiva di cos 3 x (sin x + ) si ottiene come F (sin(x)). Facendo la divisione tra t e (t + ) = t + 4t + 4 si ha t = (t + ) + 4t + 5 da cui t ( (t + ) dt = + 4t + 8 (t + ) 3 ) dt = t + 4 ln( t + ) + 3 (t + ) t + + c. Ne deriva cos 3 x (sin x + ) dx = sin(x) + 4 ln(sin(x) + ) + 3 sin(x) + + c. L area compresa tra i grafici delle funzioni fe g è uguale a f(x) 3 e g(x), si ha f(x) g(x) per ogni x [, 3] e si ottiene Area = Da quanto visto sopra e f(x) g(x) dx = g(x) dx = sin() sin(3) + 4 ln e x x dx = 3 e x (x ) dx 3 ( sin(3) + ) sin() + f(x) dx 3 3 f(x) g(x) dx. Dato che g(x) dx. sin() sin(3) + 3 (sin(3) + )(sin() + ) e x (x ) dx = e x ( x) 3 e x ( x) = (e e 3 ).

6 Esercizio. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. () () dove, in entrambi i casi, f(x) = Risoluzione. () La funzione f(x) = + f(x)dx f(x)dx ln( + x) x 5/ sin x. ln( + x) sin(x) è positiva e continua su (, ) ma non è limitata x 5/ per cui è necessario discutere se è integrabile in senso generalizzato su (, ). Si ha lim x + f(x) =, x / da cui, per il criterio del confronto visto a lezione, f(x)dx esiste finito se e solo se esiste finito x dx (infatti dal limite sopra = si deduce che esistono due costanti positive < c < c tali che c x / f(x) c x / ). Dato che x è integrabile in senso generalizzato su (, ) anche f lo è. () La funzione f(x) = x 5/ ln( + x) sin(x) è continua ma non è positiva sull intervallo illimitato (, + ). Si può intanto vedere se f è integrabile in senso generalizzato su (, + ) utilizzando anche stavolta il criterio del confronto. Si ha f(x) ln( + x) lim lim =, x + x x + x / da cui si deduce che esiste una costante positiva < c tale che f(x) cx. Dato che è integrabile in senso generalizzato su (, + ) anche f lo è e, usando il criterio di x assoluta integrabilità visto a lezione, si ha che anche f è integrabile in senso generalizzato su (, + ).

7 Esercizio 3. Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy u (t) u(t) = e t sin t, u() = α. e dimostrare che esiste un numero reale α con questa proprietà: () per α < α la soluzione tende a quando t + ; () per α = α la soluzione ha limite finito quando t + ; (3) per α > α la soluzione tende a + quando t +. Risoluzione. Le soluzioni dell equazione differenziale sopra sono date da u(t) = e t v(t) dove v è l integrale indefinito v(t) = e 3t sin(t) dt. Si calcola integrando per parti e 3t sin(t) dt = e 3t (3 sin(t) + cos(t)) + c, da cui Imponendo u() = α si ha Poiché si deduce e α =. u(t) = e t ( e 3t (3 sin(t) + cos(t)) + c ). u(t) = (α e t (3 sin(t) + cos(t)) + + ) e t. lim t + e t lim u(t) = t + (3 sin(t) + cos(t)) =, + α > α = α <

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9 Compito di Istituzioni di Matematica Seconda parte, Tema B 4 aprile 7 COGNOME: NOME: MATR.: Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 3 x (cos x + 3) dx e calcolare l area di grafico compresa tra la funzione f(x) = e x x e g(x) = sin 3 x per x compreso tra 3 e. (cos x + 3) Risoluzione. Usando l identità cos (x) = sin (x) e la sostituzione cos(x) = t si ottiene sin 3 x (cos x + 3) dx cos(x)=t t = (t + 3) dt, vale a dire, se F (t) è una primitiva di t (t + 3), una primitiva di sin 3 x (cos x + 3) si ottiene come F (cos(x)). Facendo la divisione tra t e (t + 3) = t + 6t + 9 si ha t = (t + 3) 6t da cui Ne deriva t ( (t + 3) dt = 6t + 8 (t + 3) + 8 ) dt = t 6 ln( t + 3 ) 8 (t + 3) t c. sin 3 x (cos x + 3) dx = cos(x) 6 ln(cos(x) + 3) 8 cos(x) c. L area compresa tra i grafici delle funzioni fe g è uguale a che f(x) 3 e g(x), si ha f(x) g(x) per ogni x [ 3, ] e si ottiene Area = Da quanto visto sopra e f(x) g(x) dx = g(x) dx = cos() cos(3) + 6 ln e x x+ dx = e x (x ) dx 3 3 f(x) dx ( cos(3) + 3 ) cos() f(x) g(x) dx. Dato g(x) dx. cos() cos(3) + 8 (cos(3) + 3)(cos() + 3) e x (x ) dx = e x (x+) e x (x+) 3 = (e e 3 ).

10 Esercizio. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. () () dove, in entrambi i casi, f(x) = Risoluzione. () La funzione f(x) = + f(x)dx f(x)dx ln( + x) x 7/ sin x. ln( + x) sin(x) è positiva e continua su (, ) ma non è limitata x 7/ per cui è necessario discutere se è integrabile in senso generalizzato su (, ). Si ha lim x + f(x) =, x 3/ da cui, per il criterio del confronto visto a lezione, f(x)dx esiste finito se e solo se esiste finito x dx (infatti dal limite sopra = si deduce che esistono due costanti positive < c < c tali che c x 3/ f(x) c x 3/ ). Dato che x 3 generalizzato su (, ) neanche f lo è, vale a dire () La funzione f(x) = f(x)dx = +. non è integrabile in senso x 7/ ln( + x) sin(x) è continua ma non è positiva sull intervallo illimitato (, + ). Si può intanto vedere se f è integrabile in senso generalizzato su (, + ) utilizzando anche stavolta il criterio del confronto. Si ha f(x) ln( + x) lim lim =, x + x x + x 3/ da cui si deduce che esiste una costante positiva < c tale che f(x) cx. Dato che è integrabile in senso generalizzato su (, + ) anche f lo è e, usando il criterio di x assoluta integrabilità visto a lezione, si ha che anche f è integrabile in senso generalizzato su (, + ).

11 Esercizio 3. Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy u (t) + u(t) = e t cos t, u() = α. e dimostrare che esiste un numero reale α con questa proprietà: () per α < α la soluzione tende a quando t ; () per α = α la soluzione ha limite finito quando t ; (3) per α > α la soluzione tende a + quando t. Risoluzione. Le soluzioni dell equazione differenziale sopra sono date da u(t) = e t v(t) dove v è l integrale indefinito v(t) = e 3t cos(t) dt. Si calcola integrando per parti e 3t cos(t) dt = e3t (sin(t) + 3 cos(t)) + c, da cui ( e u(t) = e t 3t ) (sin(t) + 3 cos(t)) + c. Imponendo u() = α si ha Poiché si deduce e α = 3. u(t) = (α et (sin(t) + 3 cos(t)) + 3 ) e t. lim t e t (sin(t) + 3 cos(t)) =, lim u(t) = t + α > 3 α = 3 α < 3

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