Soluzioni del Foglio 6

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1 ANALISI Soluzioni del Foglio 6 1 novembre Esercizio. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: x + 1 x 2 + 1, ex (sin(x) + cos(x)), e x arcsin(x) 1 x 2, x arctan(x), ln(1 + e x2 ) x + 1 x Regola del quoziente: ( ) f f.g f.g g g 2 ( ) x + 1 (x2 + 1) (x + 1)(2x) x (x 2 + 1) 2 x x (x 2 + 1) 2 e x (sin(x) + cos(x)) Regola del prodotto: e x (f.g) f.g + f.g (e x (sin(x) + cos(x))) e x (sin(x) + cos(x)) + e x (cos(x) sin(x)) 2e x cos(x) Regola derivazione della funzione composta: ( (f[g(x)]) f [g(x)].g (x) e ) x e x 1 2 x arcsin(x) 1 x 2 Regola del quoziente: ( ) f f.g f.g g g 2 1 ( ) arcsin(x) 1 x 2

2 2 x arctan(x) Regola del prodotto: 1 1 x 2 (1 x2 ) + arcsin(x) (2x) (1 x 2 ) 2 (f.g) f.g + f.g (x arctan(x)) arctan(x) + x 1 + x 2 ln(1 + e x2 ) Regola derivazione della funzione composta: ( ) (f[g(x)]) f [g(x)].g 1 (x) ln(1 + e x2 ) (1 + e x2 ) 1 + e x e x2. e x2. 2x 6.2. Esercizio. Dire quale delle seguenti funzioni é derivabile in x 0 x sin(x), x (x 2 + 1), (x 2 + 1) x La presenza in tutte e tre le funzioni proposte della x, funzione non derivabile in x 0 non permette di affermare la derivabilitá delle tre funzioni assegnate in x 0: ma non permette neance di negarla. Per rispondere quindi dobbiamo controllare artigianalmente il rapporto incrementale f() f(0) per ciascuna. x sin(x) f() f(0) Tenuto presente ce sign() 1, sin() sign(). sin() lim sin() 0 0 ne segue ce la funzione x sin(x) é derivabile in x 0 e la derivata vale 0. x (x 2 + 1)

3 f() f(0) Tenuto conto ce (2 + 1) sign() 2 + sign() lim sign() 1 lim sign() si riconosce ce il primo addendo sign() 2 a limite 0, il secondo addendo sign() non a limite, quindi la funzione x (x 2 + 1) non é derivabile in x 0. (x 2 + 1) x f() f(0) (2 + 1) + Tenuto conto ce il primo addendo, converge, mentre il secondo é addirittura illimitato per 0 si riconosce ce la funzione (x 2 + 1) x non é derivabile in x Esercizio. Sia f(x) 9 x 2 Determinare l insieme di definizione di f, l insieme dei punti di continuitá, l insieme dei punti di derivabilitá. Determinare l equazione della tangente al grafico nei punti (1, f(1)) e ( 2, f( 2)). Trovata l equazione della retta tangente in un punto generico (x 0, f(x 0 )) dire per quali valori di x 0 la tangente é orizzontale e per quali é parallela ad una delle due bisettrici y x o y x. Trovare la posizione limite delle tangenti per x ± e dare un interpretazione del risultato. Il grafico della f é, vedi Figura 1, la semicirconferenza di centro l origine e raggio, superiore. La funzione f é definita per 9 x 2 0 quindi l insieme di definizione é l intervallo ciuso e limitato I [, ]. In tale intervallo f é continua. Tenuto conto ce la funzione t é derivabile per t > 0 si riconosce ce f é certamente derivabile nell intervallo aperto (, ): f (x) x 9 x 2

4 4 Figura 1. f(x) 9 x 2 Agli estremi di tale intervallo f non é derivabile: infatti, nell estremo sinistro, per > 0 si a f( + ) f( ) 9 ( + ) espressione divergente per 0 +. Conto analogo si ottiene nell estremo destro: si conclude pertanto ce l insieme di derivabilitá di f(x) 9 x 2 é l intervallo aperto (, ). L equazione della retta tangente diviene per x 0 1 y f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) y f(1) + f (1)(x 1) (x 1) Analogamente per x 0 2 si a y f( 2) + f ( 2)(x + 2) (x + 2)

5 Tenuto conto ce la derivata f (x 0 ) rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto (x 0, f(x 0 )) del grafico ne segue ce la tangente nel punto (x 0, f(x 0 )) é orizzontale f (x 0 ) 0 parallela alla y x f (x 0 ) 1 parallela alla y x f (x 0 ) 1 Si a quindi una tangente orizzontale in (0, f(0)), parallela alla y x in ( / 2, / 2), parallela alla y x in (/ 2, / 2) Piú il punto x 0 é vicino a o a piú la derivata f (x 0 ) diventa grande in modulo lim x 9 x 2 + x ± La posizione delle tangenti si avvicina alla verticale: tutti fenomeni geometricamente ben noti... la tangente nei punti di una circonferenza é ortogonale al raggio, il raggio ce termina nei due punti (, 0) e (, 0) é orizzontale Esercizio. Mostrare ce la funzione f(x) x+arctan(x)+1 é iniettiva. Calcolare il dominio dell inversa e la derivata dell inversa in y 1. Tenuto conto ce f e definita su tutto R e f(x) x + arctan(x) + 1 f (x) x 2 > 0 se ne deduce ce f(x) é strettamente crescente, quindi iniettiva. Tenuto conto ce lim f(x), lim x f(x) + x + se ne deduce, per il teorema dei valori intermedi ce l immagine di f é tutto R: la funzione inversa pertanto é definita in tutto R. Tenuto conto ce x 0 f (x 0 ) 0 se ne deduce ce l inversa g f 1 é derivabile in tutto R. tenuto conto ce 1 f(0), dalla regola di derivazione y 0 f(x 0 ) g (y 0 ) 1 f (x 0 ) segue g (1) 1 f (0) 1 4 5

6 6 Osservazione 6.1. Il risultato ottenuto g (1) 1 4 con la lettura arctan(x) x valida vicino all origine, ce implica risulta in accordo f(x) 4x + 1 L inversa di y 4x + 1 é appunto x (y 1)/4, retta di coefficiente angolare (y variabile indipendente) uguale a 1/ Esercizio. Usando il teorema di Lagrange dimostrare ce arctan(x) arctan(y) x y e x e y e max{x,y} x y sin 2 (x) sin 2 (y) 2 x y Applicando il teorema di Lagrange all intervallo di estremi x e y si a, per qualunque funzione continua e derivabile in tale intervallo, f(x) f(y) f (ξ) (x y) f(x) f(y) f (ξ) x y Riesce pertanto arctan(x) arctan(y) ξ 2 x y e x e y e ξ x y sin 2 (x) sin 2 (y) 2 sin(ξ) cos(ξ) x y Tenuto conto ce ξ appartiene all intervallo di estremi x ed y si a ξ 2 1, e ξ e max(x,y), 2 sin(ξ) cos(ξ) 2 e quindi si ottengono le maggiorazioni indicate.

7 6.6. Esercizio. Dimostrare ce α > 0 la funzione e α x2 é lipscitziana in R. Dire ce f é Lipscitziana in R vuol dire mostrare ce esiste una costante L > 0 tale ce x, y R : f(x) f(y) L x y Tenuto conto ce il teorema di Lagrange riconosce ce e α x2 e α 2 y2 ξ α e α ξ 2 x y l esercizio consiste nel provare ce il coefficiente 2 ξ α e α ξ2 é limitato. Infatti la funzione α t e α t2 é continua in R e infinitesima sia a ce a +, quindi a massimo e minimo, e quindi é limitata. Studiando la funzione (x) : αx e αx2 si puo riconoscere ce α α α t e α t2 2e 2e 7 da cui α L 2 2e 6.7. Esercizio. Assegnata f(x) x 2 + 5x + 1 e scelto x 0 1 determinare tale ce f(x 0 + ) f(x 0 ) 10 Esaminare se esiste un punto ξ appartenente all intervallo (x 0, x 0 + ), essendo il valore determinato precedentemente, in cui riesca f (ξ) 10 f(x 0 + ) f(x 0 ) da cui l incremento riciesto

8 8 Tenuto conto ce f (x) 6x + 5 si a 6x x 5 6 esattamente il centro dell intervallo [2/, 1]. Si noti ce il punto 2/ trovato é il punto ξ f(2/) f(1) 1/ f (ξ) garantito dal teorema di Lagrange 6.8. Esercizio. Determinare per quali valori di k R l equazione x(x 1)(x 2) k a 1, 2 o radici. Figura 2. x(x 1)(x 2) k

9 Per rispondere al quesito é opportuno riferirsi al grafico della f(x) x(x 1)(x 2), vedi Figura 2: tenuto presente ce f (x) 0 x 1 f (x) x 2 6x + 2 f (x) 0 1 x 1 + f (x) 0 x 1 + si riconosce ce f(x) é crescente x 1 f(x) é decrescente 1 x 1 + f(x) é crescente x 1 + Pertanto, tenuto conto ce ( ) ( f 1 2 ), f si anno per l equazione proposta x(x 1)(x 2) k le seguenti situazioni k < 2 1 radice k 2 2 radici 2 < k < 2 k 2 k > 2 radici 2 radici 1 radice 6.9. Esercizio. Dire per quali funzioni g derivabili la funzione f(x) g(x) x é derivabile in x 0. Riesce ovviamente f(0) 0, pertanto f() f(0) g() g() sign() 9

10 10 Tenuto presente ce lim 0 1, lim il rapporto incrementale della f converge se e solo riesce lim g() 0, 0 in altri termini se e solo lo se riesce g(0) Esercizio. Dire per quali funzioni g derivabili la funzione f(x) g(x) é derivabile anc essa. La funzione f(x) g(x) composta della funzione modulo. e della g é derivabile in tutti i punti x 0 nei quali riesca g(x 0 ) 0. Nei punti x 1 nei quali riesca g(x 1 ) 0 la derivabilitá puó mancare: se, ad esempio g(x) x riesce f(x) x non derivabile in x 1 0, se invece, sempre ad esempio g(x) x 2 riesce f(x) x 2 x 2 derivabilissima ovunque...! Consideriamo il rapporto incrementale in corrispondenza di un x 1 : tenuto conto ce g(x 1 + ) g (x 1 ) + R g(x 1 + ) g (x 1 ) + R sign() g (x 1 ) + R sign() g (x 1 ) + R Tenuto conto ce l espressione dentro il modulo tende a g (x 1 ) il rapporto incrementale di g(x), rapporto ce include ance il fattore non convergente sign() converge se e solo se g (x 1 ) 0