ANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA I appello 29/5/2018 1

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1 ANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA I appello 29/5/ Esercizio 1. Una classe di liceo è composta da 12 ragazze e 9 ragazzi. La professoressa di matematica interroga 3 persone tutti i martedì e non interroga mai le persone interrogate la settimana precedente. 1. Qual è la probabilità che il primo martedì dell anno scolastico sia interrogata almeno una ragazza? e che siano interrogate 2 ragazze e 1 ragazzo? 2. Qual è la probabilità che Anna sia interrogata il primo martedì? e qual è la probabilità che non sia interrogata il primo martedí ma sia invece interrogata il martedì successivo? 3. Detta X la v.a. che conta il numero di ragazzi interrogati il primo martedì, calcolare la media di X. Esercizio 2. Sia f(x) = 3 x 3 + 2x 3 2x 2 + x Determinare l insieme di definizione di f e l insieme dei punti in cui è continua. 2. Determinare l insieme dei punti in cui f è derivabile e calcolare la derivata in tali punti. 3. Dire se f è limitata inferiormente e/o superiormente e se ha massimo e/o minimo; dire se è iniettiva e se è surgettiva. Esercizio Determinare l ordine di infinitesimo per x 1 di 2 x cos(x 2 1) x 2 2x Calcolare: Esercizio 4. Calcolare: lim log (log(1 + x)) tg(x2 x). x 0 + ex + 9 dx. 1 Durata: 2 ore e 30 minuti. Scrivere subito sul foglio: nome, cognome e numero di matricola.

2 SOLUZIONI Esercizio Per calcolare la probabilità che sia chiamata almeno una ragazza, la cosa più semplice è calcolare la probabilità dell evento complementare, e cioè che siano chiamati 3 ragazzi. Chiamiamo 3M l evento la prima settimana vengono chiamati tre ragazzi. La probabilità che il primo ragazzo chiamato sia un maschio è 9/21, la probabilità che anche il secondo sia maschio è 8/20 e analogamente 7/19 per il terzo. Quindi P (3M) = = = 6 95 e la probabilità che sia chiamata almeno una ragazza è cioè molto probabile, quasi sicuro. 1 P (3M) = , Vediamo ora come calcolare la probabilità che siano chiamate 2 ragazze e 1 ragazzo. Chiamiamo questo evento 1M 2F. Chiamiamo gli studenti uno alla volta, abbiamo tre possibilità: che il primo sia un ragazzo e le altre due ragazze, che il ragazzo sia secondo, o che il ragazzo sia il terzo. Analizziamo la prima, M-F-F. In modo analogo a quanto fatto per calcolare P (3M), questo evento ha probabilità Ora però osserviamo che l ordine è del tutto ininfluente: anche le altre due possibilità (F-M-F e F-F-M) hanno la stesse probabilità (se non siete convinti che l ordine sia ininfluente, provate a fare il calcolo esplicito: i denominatori non cambiano, mentre i numeratori cambiano solo ordine ma rimangono gli stessi). In definitiva, P (1M2F ) = = = cioè abbastanza probabile, quasi una volta su due. Volendo, è anche possibile mostrare che questa combinazione (2 ragazze e 1 ragazzo) è la singola combinazione più probabile: un risultato perfettamente in linea con il fatto che la maggioranza della classe è composta da ragazze (e quindi ci aspettiamo più ragazze che ragazzi, cioè almeno 2), ma non è una maggioranza così netta (e quindi non ci aspettiamo 3 ragazze). 2

3 2. La probabilità che Anna sia interrogata il primo martedì è molto semplice: vengono interrogate 3 persone su 21, quindi 3 21 = 1 7. La probabilità che non sia interrogata il primo martedì ma sia interrogata il secondo è la stessa, 1/7. Ci sono diversi modi di mostrarlo, ne spieghiamo due. Il modo più semplice è osservare che, se viene interrogata il secondo martedì, è automatico che non è stata interrogata il primo: possiamo quindi ignorare l informazione che non sia stata interrogata il primo martedì. Di conseguenza, sappiamo solo che il secondo martedì vengono interrogate 3 persone su 21, e c è 1/7 di probabilità che Anna sia una di queste. Un altro modo è usare la probabilità condizionata: sia N P l evento Anna non viene interrogata il primo martedì e S l evento Anna viene interrogata il secondo martedì. Visto che sappiamo che le persone interrogate la prima settimana non sono interrogate la seconda, abbiamo S NP = S. La probabilità che non sia interrogata la prima settimana è chiaramente P (NP ) = 6/7. Se non viene interrogata la prima settimana, la seconda settimana rimangono 18 persone interrogabili, e quindi la probabilità che Anna venga interrogata è P (S NP ) = 3/18 = 1/6. condizionata, abbiamo Infine, applicando la definizione di probabilità P (S) = P (S NP ) = P (S NP ) P (NP ) = = Ci sono almeno due modi di calcolare la media di X, vediamoli entrambi. Chiamiamo gli studenti ad essere interrogati uno alla volta, diciamo che li chiamiamo al primo, al secondo e al terzo posto. Il primo modo di calcolare E[X] è osservare che X è uguale alla somma X = X 1 + X 2 + X 3 delle variabili aleatorie X 1, X 2, X 3, dove X i è la variabile aleatoria che conta il numero di ragazzi interrogati al posto i. Chiamando M i l evento viene interrogato un ragazzo al posto i e F i analogamente, troviamo che X i ha media Di conseguenza, E[X i ] = 1 P (M i ) + 0 P (F i ) = 9 21 = 3 7. E[X] = E[X 1 ] + E[X 2 ] + E[X 3 ] = =

4 Il secondo modo è più standard, ma richiede molti più conti. Calcoliamo la media di X dividendo in casi a seconda di quanti studenti interrogati sono ragazzi: E[X] = 3 P (3M) + 2 P (2M1F ) + 1 P (1M2F ) + 0 P (3F ) = 2 3 = P (2M1F ) Ci rimane quindi calcolare P (2M1F ). In modo analogo a quanto fatto nel punto 1, questa è Quindi: P (2M1F ) = = = Esercizio 2. E[X] = = 3 2 = = Perché f sia definita, è sufficiente che l argomento della radice quadrata sia non negativo. Attenzione: la radice cubica esiste sempre, quindi non dobbiamo imporre condizioni sul suo argomento. Tornando alla radice quadrata, vogliamo 2x 2 + x Il delta = < 0 è negativo, quindi visto che il coefficiente di x 2 è positivo abbiamo che 2x 2 + x + 7 > 0 è strettamente positivo per ogni x R. Questo ci dice che f(x) è definita per ogni x R. Per quanto riguarda la continuità, non c è problema: la radice quadrata, la radice cubica e i polinomi sono funzioni continue, quindi f è il risultato di somme, prodotti e composizioni di funzioni continue ed è continua lei stessa per ogni x R. 2. Per la derivabilità bisogna fare più attenzione: sia la radice quadrata che la radice cubica non sono derivabili in 0. Abbiamo già visto nel punto 1 che 2x 2 + x + 7 non si annulla mai, cerchiamo le radici di x 3 + 2x 3. È immediato osservare che 1 è radice, da cui la scomposizione x 3 + 2x 3 = (x 1)(x 2 + x + 3) e il delta di x 2 + x + 3 è negativo, quindi 1 è l unica radice. Sappiamo quindi che f è derivabile per tutti gli x diversi da 1. Osserviamo che, sapendo già che 4 =

5 2x2 + x + 7 è derivabile in 1, f è derivabile in 1 se e solo se 3 x 3 + 2x 3 è derivabile in 1. Calcoliamo quindi il suo rapporto incrementale: lim x 1 3 (x 1)(x2 + x + 3) x 1 = lim x 1 3 x2 + x x 1 2 = +. Visto che il limite del rapporto incrementale è +, f non è derivabile in 1. Calcoliamo la derivata per x 1: f (x) = 1 3 3x (x 3 + 2x 3) 1 2/3 2 4x + 1 (2x 2 + x + 7). 1/2 3. Calcoliamo il limite per x tendente a +. Possiamo supporre x > 0, e quindi 2x2 + x + 7 = x 2 + 1/x + 7/x 2 da cui ( lim f(x) = lim x /x2 3/x 3 ) 2 + 1/x + 7/x 2 = x + x + ( lim x 1 ) 2 = x + perché 1 2 < 0. Per x tendente a, sia 3 x 3 + 2x 3 tende, e lo stesso vale per x 2 + x + 7, da cui lim f(x) =. x Non è necessario perché non è una forma indeterminata, ma volendo si può anche calcolare il limite per x tendente a usando lo stesso metodo usato per x tendente a +. Bisogna però fare attenzione: questa volta x < 0, quindi abbiamo 2x2 + x + 7 = x 2 + 1/x + 7/x 2 da cui ( lim f(x) = lim x /x2 3/x 3 + ) 2 + 1/x + 7/x 2 = x x perché > 0. ( lim x 1 + ) 2 = x Visto che f(x) è continua su tutto R e i limiti per x tendente a ± sono entrambi, abbiamo automaticamente che: f è limitata superiormente 5

6 ma non inferiormente, ha massimo e non ha minimo, non è né iniettiva né surgettiva. Vediamo come si dimostrano queste cose. Il fatto che non sia limitata inferiormente è diretta conseguenza del fatto che i limiti sono. Vediamo che è limitata superiormente e che ha massimo. Per definizione di limite, il fatto che lim x ± = ci dice in particolare che esiste N > 0 tale che f(x) < f(0) per x (, N) (N, ). Restringiamo f all intervallo chuiso e limitato [ N, N]: il teorema di Weierstrass ci dice che esiste massimo M = f(x 0 ) di f su [ N, N]. In particolare, f(x 0 ) f(0) e f(x) f(0) M per x / [ N, N], quindi f(x) f(x 0 ) per ogni x R, cioè M = f(x 0 ) è il massimo di f. Visto che M = f(x 0 ) è il massimo, M + 1 non è nell immagine, e quindi f non è surgettiva. Graficamente, questo vuol dire che, essendo f limitata superiormente, se disegniamo una linea orizzontale abbastanza in alto questa non incontra il grafico di f. Inoltre, visto che f(x 0 ) = M, lim x + f(x) = e f è continua, il teorema del valore intermedio ci dice che esiste x 1 > x 0 con f(x 1 ) = M 1. Analogamente, visto che lim x f(x) =, troviamo x 2 < x 0 tale che f(x 2 ) = M 1. Ma allora x 2 < x 1 e f(x 2 ) = M 1 = f(x 1 ), quindi f non è iniettiva. Graficamente, questo vuol dire che se disegniamo una linea orizzontale sotto al valore massimo, questa incontra almeno due volte il grafico: una volta a sinistra e una volta a destra del punto x 0 dove f realizza il massimo. Esercizio Osserviamo che x 2 2x + 5 ha delta negativo, quindi x 2 2x + 5 > 0 per ogni x R e la funzione è definita, continua e derivabile su tutto R, perché somma, prodotto e composizione di funzioni derivabili ovunque. Chiamiamola f(x) : R R. In particolare, f è continua in 1, e abbiamo Calcoliamo ora la derivata f (x): lim f(x) = f(1) = 2 cos(0) 4 = 0 x 1 ln(2)2 x cos(x 2 1) 2 x sin(x 2 1) 2x 1 2 (x2 2x + 5) 1/2 (2x 2) che, calcolata in x = 1, ci dà f (1) = 2 ln(2) cos(0) 4 sin(0) 1 2 (4) 1/2 0 = 2 ln(2) 0 e quindi f(x) f(1) lim x 1 x 1 = 2 ln(2) 0. 6

7 2. Volendo, si può applicare de l Hopital fin dall inizio, ma il fatto che la funzione sia abbastanza complicata (compaiono due logaritmi e una tangente) suggerisce che sia meglio provare prima a semplificarla usando i limiti notevoli: usandoli, possiamo infatti semplificare facilmente la tangente. lim log(log(1+x)) tg(x2 x) = lim log(log(1+x)) x x2 x tg(x2 x) x 0 + x 0 + x x 2 x = lim log(log(1 + x)) x ( 1) 1 x 0 + Arrivati a questo punto, possiamo procedere in due modi: o con de l Hopital, o continuando con i limiti notevoli. Mostriamoli entrambi. Con de l Hopital abbiamo log(log(1 + x)) lim log(log(1 + x)) x = lim x 0 + x 0 + 1/x 1/(1 + x) log(1 + x) lim x 0 + 1/x 2 = = lim x 0 + x 2 (1 + x) log(1 + x) Abbiamo che 1 + x tende a 1, quindi prima di applicare di nuovo de l Hopital semplifichiamo usando il fatto che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti. lim x 2 x 0 + (1 + x) log(1 + x) = lim x 2 x 0 + log(1 + x) = lim x 0 + 2x 1/(1 + x) = 0 Vediamo ora come potevamo continuare a semplificare con i limiti notevoli. lim x 0 x 0 x log(log(1 + x)) x = lim log(log(1 + x)) log(1 + x) + + = lim log(log(1 + x)) log(1 + x) x 0 + log(1 + x) = Poniamo y = log(1 + x), per x 0 + anche y = log(1 + x) tende a 0 +, quindi log(y) lim log(log(1 + x)) log(1 + x) = lim log(y)y = lim x 0 + y 0 + y 0 + 1/y a cui possiamo applicare de l Hopital, e otteniamo lim y 0 + 1/y 1/y 2 = lim y 0 + y = 0 Esercizio 4. Poniamo y = e x + 9, quindi y 2 = e x + 9 e 2ydy = e x dx = (y 2 9)dx. Possiamo quindi riscrivere l integrale come ex 2y + 9 dx = y y 2 9 dy = y 2 9 dy =

8 Poniamo e risolviamo per A e B. A y 3 + B y + 3 = 18 y 2 9 A y 3 + B y + 3 = Ay + 3A + By 3B y 2 9 = 18 y 2 9, da cui A + B = 0 e 3A 3B = 18, cioè A = 3, B = 3. Tornando all integrale, abbiamo y 3 3 dy = 2y + 3 log( y 3 ) 3 log( y + 3 ) + c = y + 3 = 2 ( e x log( e x + 9 3) log( ) e x ) + c = = 2 ( ) ex e x log + c ex Osserviamo che, quando siamo tornati alla variabile x, i valori assoluti all interno dei logaritmi sono spariti: il motivo è che e x e e x sono maggiori di 0 per ogni x. 8