Analisi Matematica II 6 aprile sin[π(x 2 + y 2 /5)] x 2 + y2

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1 Analisi Matematica II 6 aprile 07 Cognome: Nome: Matricola:. (0 punti) Si consideri la seguente corrispondenza tra R ed R f(x, y) = Determinare l insieme di definizione A R di f e sin[π(x + y /5)] x + y /5 (A) Caratterizzare le proprietà topologiche di A, ossia se è o meno, aperto, chiuso, limitato, compatto, connesso. (B) Determinare se la funzione f è o meno continua su A. (C) Determinare l estensione per continuità di f ad A.. (A) La corrispondenza f è caratterizzata dalla composizione di funzioni (continue nel loro domini naturali) quali, polinomi, funzione seno, funzione razionale e funzione radice quadrata. Per avere f come funzione dobbiamo imporre che tale composizione abbia senso. Chiaramente polinomi e il seno sono sempre definiti e non danno problemi, ma la funzione razionale e la radice quadrata impongono restrizioni note, ossia, il denominatore della funzione razionale deve essere sempre non nullo, mentre il radicando deve essere sempre maggiore od uguale a zero. Tali restrizioni, nel nostro caso, danno luogo alle seguenti relazioni valide simultaneamente sin [ π (x + y 5 )] 0, x + y 5 0. Da queste restrizioni determiniamo che il luogo dei punti di R in cui f è definita è composto da coppie (x, y) che devono soddisfare le seguenti relazioni k x + y k +, k = 0,,,... 5 x + y 5 0. La seconda relazione impone che nella prima, letta per k = 0, si abbia a sinistra l inclusione larga, mentre le altre per k N rimangono inalterate, ossia 0 < x + y 5, k = 0, k x + y 5 k +, k N. L insieme A è quindi formato dall unione numerabile di corone ellittiche chiuse con i fuochi sull asse delle y per k N (la seconda relazione) e dalla regione ellittica 0 < x + y /5 che non include l origine (0, 0) (la prima relazione). La topologia di A è presto determinata: infatti l insieme non è né aperto né chiuso perchè la prima regione, 0 < x + y 5 non è certamente né aperta né chiusa. L insieme non è limitato, perchè

2 nessun disco di raggio finito lo include, e quindi non è certamente compatto. L insieme poi non è nemmeno connesso perchè è unione disgiunta di infinite componenti connesse. (B) La seconda domanda è anch essa semplice. La funzione f è certamente continua in A, perchè composizione di funzioni definite e continue in A, come abbiamo già visto in (A). (C) L insieme A ha un solo punto di accumulazione (al finito) che non appartiene ad A stesso, ossia l origine (0, 0), quindi A = A {(0, 0)}. La funzione f non è certamente definita in esso ma il limite lim f(x, y), (x,y) (0,0) esiste e vale sin t π. Infatti il limite è un caso particolare del limite notevole lim t 0 =, al quale t ci si può ricondurre cambiando variabile t = x + y /5 e per la quale è sufficiente considerare la restrizione 0 < t. Allora sin[π(x + y /5)] lim (x,y) (0,0) x + y /5 = lim t 0 t (0,] π sin(πt) πt = π. L estensione per continuità ad A è quindi la funzione { f(x, y), (x, y) A f(x, y) = π, (x, y) = (0, 0).

3 Analisi Matematica II 6 aprile 07 Cognome: Nome: Matricola:. (0 punti) (A) Determinare convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni f k (x) = k + x k. (B) Determinare l intervallo di convergenza della serie di potenze k=0 (x + 4) k k k +. La serie convergerà anche uniformemente? Ed in quale intervallo/intervalli? (A) Le funzioni componenti la successione sono tutte definite in R e sono tutte pari per la presenza del termine x, quindi è sufficiente studiare la convergenza per x 0. Per determinare la convergenza puntuale scriviamo f k (x) = e log(+xk ) /k = e k log(+xk ) e notiamo che possiamo discutere il limite k (utilizzando il fatto che la funzione esponenziale è continua in R ed il logaritmo continuo in (0, + ) e quindi studiare il solo comportamento della successione di funzioni ad esponente) suddividendo il problema in due regioni, x [0, ] e x >, poiché nella prima regione x k tende a limiti finiti, a zero se x < mentre il limite vale se x =, invece nella seconda regione x k tende all infinito. Quindi, se x [0, ] si ha che l esponente k log( + xk ) 0, k, quindi la funzione limite vale per x [0, ]. Nella seconda regione possiamo invece manipolare l esponente nel modo seguente k log( + xk ) = ( (x k log k + )) x ( k = ( ) )) k k log x ( k + x ( ( = ( ) )) k log x k + log + k x = k k log x + ( ) ) k ( k log + x

4 per cui il primo termine nel limite vale log x mentre il secondo è zero. In conclusione, f(x) = x per x >. Riassumendo, la successione f k tende puntualmente alla funzione {, x, f(x) = x, x >. Possiamo continuare a trattare le due regioni separatamente anche per la convergenza uniforme. Per x [0, ] si ha che la successione è crescente, infatti, eseguendo la derivata otteniamo f k(x) = k ( + xk ) /k kx k che è positiva se x > 0. Quindi, l estremo superiore è preso all estremo superiore dell intervallo, quindi sup f k (x) = f k () = k, x [0,] che tende a zero per k. Quindi la successione converge uniformemente in [, ] per il criterio di Weierstrass. Nella seconda regione invece, dobbiamo studiare sup x> k + x k x sup k + t k t, ponendo t = x. t> Eseguendo la derivata dell argomento (chiamiamolo g(t)) dell estremo superiore si ha (la prima derivata è stata già eseguita in precedenza) g (t) = k ( + tk ) /k kt k = tk ( + t k ) /k ( + t k ) /k. Imponendo la positività di questa relazione si ha che g (t) 0 t k ( + t k ) /k 0 t ( + t k ) /k t k + t k, e l ultima affermazione è certamente falsa, quindi g (t) < 0 per t > per cui la funzione argomento dell estremo superiore è strettamente decrescente e quindi l estremo superiore si ottiene all estremo inferiore di t > e si trova sup k + t k t = k, t> che ancora una volta tenderà a zero per k. Quindi si ha nuovamente convergenza uniforme anche per x > sempre per il criterio di Weierstrass, ossia la successione converge uniformemente in tutto R. (B) Ponendo t = x + 4 abbiamo k=0 t k k k +,

5 per cui il raggio di convergenza della serie è, tramite il criterio del confronto, R = lim k k+ k++ k k+ = lim k = lim k =, k k + k+ k + k + k + per cui R =, quindi la serie converge puntualmente per t (, ) ossia, rimettendo il cambiamento di variabili, converge per x ( 6, ). Nel punto x = la serie diventa k=0 k + che chiaramente diverge all infinito. Nel punto x = 6 la serie diventa ( ) k k + k=0 che però ora converge per il criterio di Leibniz delle serie a termine alterni. Ne consegue che la serie originaria converge nell intervallo semiaperto [ 6, ) ed uniformemente in tutti i compatti contenuti all interno di detto intervallo e tali compatti potranno avere come estremo il punto 6 perchè la serie converge anche in quel punto (Teorema di Abel).

6 Analisi Matematica II 6 aprile 07 Cognome: Nome: Matricola: 3. (0 punti) Si consideri la funzione periodica f di periodo π definita dalla periodicizzazione della funzione g(x) = { x sin x, x [0, π], x sin x, x ( π, 0). Si determini la serie di Fourier e si discutano le eventuali convergenze puntuale ed uniforme della stessa. Infine, si determini il valore della seguente serie numerica ( ) (p )/ p (4p ). p dispari La funzione f è certamente continua in R quindi appartiene a GC 0 (R/πZ, R) ( chiaramente si ha f pv(f)) e dunque la sua serie di Fourier converge puntualmente in R per il Teorema di Dirichlet. Studiamone la regolarità: la funzione è certamente derivabile nei punti interni a ciascun intervallo [0, π] e ( π, 0), i problemi potrebbero sorgere solo nei punti di giunzione della periodicizzazione ossia x = 0 e x = ±kπ con k N. Nell origine si ha facilmente che f (0) = f +(0) = 0, quindi la derivata esiste ed è nulla in zero. Per gli altri punti si ha invece f (kπ) = lim x (kπ) (sin x x cos x) = kπ, f +(kπ) = lim x (kπ) +( sin x + x cos x) = kπ, quindi le derivate destra e sinistra esistono nei punti x = kπ e sono diverse, mentre f ( kπ) = lim x ( kπ) (sin x x cos x) = kπ, f +( kπ) = lim x ( kπ) +( sin x + x cos x) = kπ, e nuovamente le derivate destre e sinistre esistono nei punti x = kπ e sono diverse. In conclusione la funzione f è derivabile a tratti e quindi appartiene a GC (R/πZ, R), ed essendo continua allora vale il Teorema di Weierstrass sulla convergenza uniforme in R della sua serie di Fourier. Passiamo ora al calcolo dei coefficienti di Fourier per f. La funzione f è dispari quindi c 0 (f) = 0 e a k (f) = 0 per k N. Dobbiamo calcolare i soli coefficienti b k (f) con k N. Procediamo al calcolo b k (f) = T T/ 0 x sin x sin(kx) dx = π 0 x sin x sin(kx) dx = π 0 x(cos(k )x cos(k +)x) dx,

7 dove, nel terzo integrale abbiamo fatto uso della formula di Werner per il prodotto dei seni. La formula fornisce i coefficienti per k, per k = dobbiamo calcolarla esplicitamente e si ha b (f) = x( cos(x)) dx = [ ] x x=π π 0 π [x sin(x)]x=π + sin(x) dx } π {{} π = π 0. }{{} =0 Procediamo al calcolo dei coefficienti per k, b k (f) = x(cos(k )x cos(k + )x) dx π 0 = [ ] x=π x sin(k )x sin(k )x dx [ ] x=π x sin(k + )x + π k π 0 k π k + π }{{}}{{} =0 =0 =0 0 sin(k + )x k + = d cos(k )x dx d cos(k + )x d(cos αx) dx, poiché sin αx dx = π 0 (k ) π 0 (k + ) α = ([ ] x=π [ ] x=π ) cos(k )x cos(k + )x π (k ) (k + ) = ( ) cos(k )π cos(k + )π π (k ) (k + ) = ( ) ( ) k+ ( )k+, notare che ( ) k+ = ( ) k ( ) = ( ) k π (k ) (k + ) = ( ( ) k+ ) ( ) π (k ). (k + ) È ora chiaro che, a causa del primo termine, i coefficienti di indice dispari, ossia per k = p +, hanno b p+ (f) = 0 (p N), mentre quelli con indici pari k = p sono diversi da zero e valgono b p (f) = ( ) π (p ) = 6 p (p + ) π (4p ). La serie di Fourier si scrive quindi (notando che la sua somma è proprio la funzione f come si deduce dalla validità del Teorema di Dirichlet stabilito prima) f(x) = π 6 p sin x π (4p ) sin(px). p= Per calcolare la somma della serie numerica, a parte la sommatoria sui p dispari, notiamo che contiene un termine in più rispetto alla somma di Fourier, ossia il segno ( ) (p )/. Ora, per ottenere questo termine l unico modo semplice è quello di porre x = π/4 col quale si ottiene che sin ( ) pπ = ( ) (p )/ per p dispari e poiché f(π/4) = π/8 dunque si ha 8 π = π 6 p (p π (4p ) sin π ) 4 p= = 4 π 6 ( ) (p )/ p ( pπ ) π (4p ), poiché sin = ( ) (p )/. p dispari dx

8 Riordinando i termini numerici si ottiene p dispari ( ) (p )/ p (4p ) = 8 π.