Analisi Matematica 1

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1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 1 Ingegneria Industriale a.a y f 1 g 0 x La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 1 per Ingegneria Industriale, Facoltà di Ingegneria, Università degli Studi di Lecce

2 1 11 dicembre 2007, traccia A Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = e cos2 x sin x. 2. Studiare il carattere della seguente serie ( 1) n sin 1 ( log ) n n n=1. 3. Studiare il seguente integrale definito e 1 log 2 x 1 x(log 2 x + 1) dx. 4. Rappresentare geometricamente le radici seste del numero complesso z = 64.

3 2 Soluzione del 4 dicembre 2007, traccia A 1. Suggerimento: La funzione è definita in tutto R ed è dispari e 2πperiodica e può essere di conseguenza studiata in [0π]. Non ammette asintoti, è sempre derivabile e f (x) = e cos2 x cos x (1 + 2 sin 2 x). Il suo grafico approssimativo è tracciato nella Figura 1. y Π Π x Figura 1: Grafico della funzione dell 11 dicembre 2007, traccia A. 2. Suggerimento: Conviene riconoscere l assoluta convergenza valutando l ordine di infinitesimo (= 3/2) del termine n-esimo. 3. Suggerimento: Ponendo t = log x si riconduce ad un integrale di una funzione razionale. 4. Suggerimento: Le radici seste sono disposte su una circonferenza con centro nell origine e raggio 6 64 = 2 e costituiscono i vertici di un esagono regolare; uno dei vertici ha argomento π/6 (in quanto π è l argomento principale di 64).

4 3 11 dicembre 2007, traccia B Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = e cos x cos x. 2. Studiare il carattere della seguente serie ( 1) n 3 1 cos 1 n 2. n=1 3. Studiare il seguente integrale definito π/2 π/3 sin x cos 2 x 1 dx. 4. Rappresentare geometricamente le radici terze del numero complesso z = 8i.

5 4 Soluzione del 4 dicembre 2007, traccia B 1. Suggerimento: La funzione è definita in tutto R ed è pari e 2πperiodica e può essere di conseguenza studiata in [0π]. Non ammette asintoti, è sempre derivabile e f (x) = e cos x sin x (cos x 1). Il suo grafico approssimativo è tracciato nella Figura 2. y Π Π x Figura 2: Grafico della funzione dell 11 dicembre 2007, traccia B. 2. Suggerimento: Conviene riconoscere l assoluta convergenza valutando l ordine di infinitesimo (= 4/3) del termine n-esimo. 3. Suggerimento: Ponendo t = cos x si riconduce ad un integrale di una funzione razionale. 4. Suggerimento: Le radici terze sono disposte su una circonferenza con centro nell origine e raggio 3 8 = 2 e costituiscono i vertici di un triangolo equilatero; uno dei vertici ha argomento π/2 (in quanto 3π/2 è un argomento di 8i).

6 5 11 dicembre 2007, traccia C Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = e sin x sin x. 2. Studiare il carattere della seguente serie ( ( 1) n n ) n 3 n=0. 3. Studiare il seguente integrale definito π/2 0 cos x sin 2 x sin x 6 dx. 4. Rappresentare geometricamente le radici terze del numero complesso z = 8.

7 6 Soluzione del 4 dicembre 2007, traccia C 1. Suggerimento: La funzione è definita in tutto R, non è simmetrica ma è 2π-periodica e può essere di conseguenza studiata in [ π, π]. Non ammette asintoti, è sempre derivabile e f (x) = e sin x cos x (1 sin x). Il suo grafico approssimativo è tracciato nella Figura 3. y Π Π x Figura 3: Grafico della funzione dell 11 dicembre 2007, traccia C. 2. Suggerimento: Conviene riconoscere l assoluta convergenza valutando l ordine di infinitesimo (= 3/2) del termine n-esimo. 3. Suggerimento: Ponendo t = sin x si riconduce ad un integrale di una funzione razionale. 4. Suggerimento: Le radici terze sono disposte su una circonferenza con centro nell origine e raggio 3 8 = 2 e costituiscono i vertici di un triangolo equilatero; uno dei vertici ha argomento π/3 (in quanto π è l argomento principale di 8).

8 7 11 dicembre 2007, traccia D Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = e sin2 x cos x. 2. Studiare il carattere della seguente serie ( ( 1) n e 1/(n+1) e 1/n). n=1 3. Studiare il seguente integrale definito π 0 3 cos x 3 cos x + 1 sin x dx. 4. Rappresentare geometricamente le radici quarte del numero complesso z = 16.

9 8 Soluzione del 4 dicembre 2007, traccia D 1. Suggerimento: La funzione è definita in tutto R ed è pari e 2πperiodica e può essere di conseguenza studiata in [0π]. Non ammette asintoti, è sempre derivabile e f (x) = e sin2 x sin x (1 + 2 cos 2 x). Il suo grafico approssimativo è tracciato nella Figura 4. y Π Π x Figura 4: Grafico della funzione dell 11 dicembre 2007, traccia D. 2. Suggerimento: Conviene riconoscere l assoluta convergenza calcolando la somma parziale n-esima della serie dei valori assoluti (che risulta essere telescopica). 3. Suggerimento: Ponendo t = 3 cos x + 1 si riconduce ad un integrale immediato. 4. Suggerimento: Le radici quarte sono disposte su una circonferenza con centro nell origine e raggio 4 16 = 2 e costituiscono i vertici di un quadrato; uno dei vertici ha argomento π/4 (in quanto π è l argomento principale di 16).

10 9 8 gennaio 2008, traccia A Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = sin x (log(2 sin x) 1). 2. Calcolare il seguente integrale indefinito (sin 3 x + cos 5 x ) dx. 3. Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione z + z = Re z + 5 i. 4. Determinare l ordine di infinitesimo della seguente funzione nel punto 0 f(x) = x 2 x 2 cos x + x 3.

11 10 Soluzione dell 8 gennaio 2008, traccia A 1. Per quanto riguarda l insieme di definizione, bisogna imporre la condizione 2 sin x > 0 e quindi f è definita in X f = k Z]2kπ, π + 2kπ[. L insieme di definizione non è simmetrico e quindi la funzione non può verificare tale proprietà. La funzione è inoltre periodica di periodo 2π e può essere studiata in X f ] π, π[=]0, π[. Per quanto riguarda il segno, il termine sin x è sempre strettamente positivo in ]0, π[, mentre log(2 sin x) 1 0 per sin x > e/2 che non può essere soddisfatta in quanto e/2 > 1; pertanto log(2 sin x) 1 < 0 ed f è sempre strettamente negativa. Non vi sono intersezioni con gli assi. Per quanto riguarda gli asintoti verticali, si osserva che nei punti 0 e π la funzione sin x è un infinitesimo di ordine 1, mentre la funzione log(2 sin x) 1 è un infinito di ordine arbitrariamente piccolo; quindi lim f(x) = 0, x 0 + lim f(x) = 0. x π Pertanto la funzione non è dotata di asintoti verticali ed essendo periodica non costante non ammette neanche asintoti orizzontali oppure obliqui. La funzione è derivabile infinite volte in tutto l insieme di definizione e si ha, per ogni x ]0, π[, f (x) = cos x (log(2 sin x) 1) + sin x cos x sin x = cos x log(2 sin x). Tenendo presente che cos x 0 in ]0, π/2] e che log(2 sin x) 0 per sin x 1/2 e quindi in [π/6, 5π/6], si ricava che f (x) 0 in [π/6, π/2] [5π/6, π[ e f (x) 0 in ]0, π/6] [π/2, 5π/6]. Quindi f è strettamente crescente in ciascuno degli intervalli [π/6, π/2] e [5π/6, π[ e strettamente decrescente in ]0, π/6] e [π/2, 5π/6]. I punti π/6 e 5π/6 sono di minimo relativo per f mentre il punto π/2 è di massimo relativo. In tali punti si ha ( π ) ( ) 5π f = f = 1 ( π ) 6 6 2, f = log 2 1 ; 2 quindi il minimo assoluto di f è 1/2 e viene assunto nei punti π/6 e 5π/6 mentre f non è dotata di massimo assoluto tenendo presente che log 2 1 < 0 mentre f tende a 0 in 0 e π (quindi sup f = 0). Per quanto riguarda la derivata seconda si ha, per ogni x ]0, π[ f (x) = sin x log(2 sin x) + cos2 x sin x ;

12 11 lo studio del segno della derivata seconda viene omesso in quanto non è di carattere elementare. Il grafico della funzione è rappresentato approssimativamente nella Figura 5. y Π Π x Figura 5: Grafico della funzione dell 8 gennaio 2008, traccia A. 2. Si ha (sin 3 x + cos 5 x ) dx = = (1 cos 2 x) sin x dx + = sin x, dx cos 2 sin x dx + 2 sin 2 x cos x dx + sin 3 x dx + cos 5 x dx (1 sin 2 x) 2 cos x dx cos x dx sin 4 x cos x dx = cos x cos3 x 3 + sin x 2 sin3 x 3 + sin5 x 5 + c, c R. 3. Posto z = x+iy, si ottiene l equazione x+iy + x 2 + y 2 = x+ 5 i, da cui, uguagliando le parti immaginarie si ricava subito y = 1 e conseguentemente, uguagliando le parti reali, x + x = x + 5, da cui x 2 = 4 e x = ±2. Vi sono quindi due soluzioni dell equazione assegnata date da z 1 = 2 i, z 2 = 2 i. 4. Si ha f(x) = x 2 (1 cos x) + x 3 e poiché x 2 e 1 cos x sono infinitesimi di ordine 2 in 0, il termine x 2 (1 cos x) è un infinitesimo di ordine 4. Quindi f(x) è somma di un infinitesimo di ordine 4 e di uno di ordine 3 (cioè x 3 ) ed è pertanto equivalente ad x 3. Si conclude che f è un infinitesimo di ordine 3 in 0.

13 12 8 gennaio 2008, traccia B Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = cos x (log(2 cos x) 1). 2. Calcolare il seguente integrale indefinito (sin 5 x + cos 3 x ) dx. 3. Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione z z 2 = 3 Im z + i. 4. Determinare l ordine di infinito della seguente funzione nel punto + f(x) = x 2 x 2 cos 1 x + x x.

14 13 Soluzione dell 8 gennaio 2008, traccia B 1. Lo studio della funzione si può condurre in maniera simile a quanto svolto nella traccia precedente; la funzione è definita in X f = ] π 2 + 2kπ, π [ 2 + 2kπ k Z che è simmetrico e si verifica facilmente che in questo caso la funzione è pari. Inoltre essa è periodica di periodo 2π e può essere studiata in X f ] π, π[=] π/2, π/2[ oppure, tenendo conto anche della simmetria, in [0, π/2[. Il grafico della funzione è rappresentato approssimativamente nella Figura 6. y Π 2 Π 2 x Figura 6: Grafico della funzione dell 8 gennaio 2008, traccia B. 2. L integrale si calcola in maniera simile alla traccia A. 3. Posto z = x + iy, l equazione diventa x + iy x 2 y 2 = 3y + i; uguagliando le parti immaginarie si ottiene subito y = 1 e conseguentemente, uguagliando le parti reali, x x 2 1 = 3, da cui x 2 x 2 = 0; quindi x = (1 ± 3)/2 e si ottengono due soluzioni z 1 = 1 + i, z 2 = 2 + i. 4. Si ha f(x) = x 2 (1 cos 1 x )+x x; nel punto + il termine x 2 è un infinito di ordine 2 e il termine 1 cos 1/ ) x è un infinitesimo di ordine 1; quindi x (1 2 cos 1 x è un infinito di ordine 1; inoltre il termine x x ha ordine 3/2 e quindi f(x) x x nel punto +. Si conclude che f è un infinito di ordine 3/2 in +.

15 14 25 marzo 2008 Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = 1 x 2 + log x. 2. Calcolare il seguente integrale definito π ( ) log x x 2 π cos x dx Dire se le soluzioni z C della seguente equazione possono essere reali Im z 1 + z 2 = (Re z) 3 i (Im z 1). 4. Calcolare il seguente limite x(e x 1) lim x + 1 cos x.

16 15 Soluzione del 25 marzo Si lascia per esercizio. 2. Suggerimento: Suddividere nella somma di due integrali e applicare la regola di integrazione per parti a ciascuno di essi. 3. Uguagliando le parti immaginarie si trova Im z 1 = 0 e quindi non possono esservi soluzioni reali. 4. Si riconosce facilmente che la reciproca tende a 0 e che la funzione è negativa per x > 0; quindi il limite assegnato è uguale a.

17 16 15 aprile 2008, traccia A Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = log(sin 2 x cos x). 2. Calcolare il seguente integrale indefinito log x x (log 2 x 1) dx. 3. Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione i Im z + z 2 = 1 + i Re z. 4. Calcolare l ordine di infinitesimo nel punto 0 della funzione f(x) = e x cos x.

18 17 Soluzione del 15 aprile 2008, traccia A 1. Si lascia per esercizio. 2. Suggerimento: Porre t = log x. 3. Suggerimento: Uguagliare parti reali e parti immaginarie dell equazione. 4. Si tiene presente che nel punto 0 e x cos x = (e x 1) + (1 cos x) x x2 x e quindi l ordine è 1.

19 18 15 aprile 2008, traccia B Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = log(sin x cos 2 x). 2. Calcolare il seguente integrale indefinito arcsin x 1 x 2 (arcsin 2 x 1) dx. 3. Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione i Im 2 z + z = 2 + i Re 2 z. 4. Calcolare l ordine di infinitesimo nel punto 0 della funzione f(x) = e x 1 sin x.

20 19 Soluzione del 15 aprile 2008, traccia B 1. Si lascia per esercizio. 2. Suggerimento: Porre t = arcsin x. 3. Suggerimento: Uguagliare parti reali e parti immaginarie dell equazione. 4. Si tiene presente che nel punto 0 gli infinitesimi f(x) = e x 1 e g(x) = sin x hanno entrambi ordine 1 e inoltre f(x) lim x 0 g(x) = lim e x 1 x 0 sin x = lim x 0 e x 1 x x sin x = 1 1. Pertanto dal teorema sull ordine della somma di due infinitesimi (seconda parte) si ha e x 1 sin x = f(x) + g(x) (1 + 1)g(x) = 2 sin x 2x e quindi l ordine è 1.

21 20 1 luglio 2008, traccia A Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = 3 (x 1)(x 3) Calcolare il seguente integrale indefinito x + 1 x 2 x dx. 3. Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione z 2 Im z = i (Im 2 z Re 2 z). 4. Studiare la convergenza della seguente serie numerica + n=1 e n+sin n arctan n.

22 21 Soluzione del 1 luglio 2008, traccia A 1. Si lascia per esercizio. 2. Si lascia per esercizio. 3. Suggerimento: Uguagliare parti reali e parti immaginarie dell equazione. 4. Suggerimento: Poichè la funzione arcotangente è crescente e 1 sin x 1, si ha 0 e n+sin n arctan n e n e arctan 1 = 4e π e n. La serie + n=1 e n è convergente in quanto il suo termine generale è un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande e quindi per confronto la serie assegnata è anch essa convergente.

23 22 1 luglio 2008, traccia B Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = 3 x(x 1)(x 2). 2. Calcolare il seguente integrale indefinito 2x + 1 x 2 16 dx. 3. Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione Im z 2 i Re z = i Im z Studiare la convergenza della seguente serie numerica + n=1 2 n2 +n cos n 2 + sin n.

24 23 Soluzione del 1 luglio 2008, traccia B 1. Si lascia per esercizio. 2. Si lascia per esercizio. 3. Suggerimento: Uguagliare parti reali e parti immaginarie dell equazione. 4. Suggerimento: Poichè 1 sin x 1, si ha 0 2 n2 +n cos n 2 + sin n 2 n2 +n+1 e inoltre la serie + n=1 2 n2 +n+1 è convergente in quanto il suo termine generale è un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande; quindi per confronto la serie assegnata è anch essa convergente.

25 24 18 luglio 2008 Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico f(x) = log ( 3 2x 3 x ). 2) Studiare il carattere della seguente serie n=1 sin n + cos n n 3 arctan n. 3) Calcolare il seguente integrale 1 1 x log x dx. 4) Rappresentare geometricamente le radici terze del numero complesso z = 8 i.

26 25 Soluzione del 18 luglio Si lascia per esercizio. 2. Si ha sin n + cos n arctan n π n 3 n 3 e inoltre la serie n=1 + π è convergente (serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1); quindi la serie assegnata è n 3 assolutamente convergente e quindi convergente. 3. Suggerimento: Osservato che x log x = 1 2 x log(x2 + 1), basta porre t = x e tenere presente che dt = 2x dx. 4. Formano i vertici di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di centro l origine e raggio 2 (uno dei vertici è (0, 2) corrispondente alla radice 2i).

27 26 8 settembre 2008, traccia A Facoltà di Ingegneria Michele Campiti Prova scritta di Analisi Matematica 1 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico x 2 2 f(x) = log x Studiare il carattere della seguente serie n=1 sin n 2 n 2 sin (1/ n). 3. Calcolare il seguente integrale indefinito 1 + e 2x 1 e x dx. 4. Calcolare le radici terze del numero complesso z = 27 (1 + i)8 16 i.

28 27 Soluzione dell 8 settembre Si lascia per esercizio. 2. Si ha sin n 2 n 2 sin (1/ n) 1 n 2 sin (1/ n) e inoltre la serie n=1 + 1 n 2 sin(1/ è convergente in quanto il suo n) termine generale è un infinitesimo di ordine 3/2 > 1; quindi la serie assegnata è assolutamente convergente e quindi convergente. 3. Suggerimento: Porre t = e x. 4. Suggerimento: Scrivere il secondo membro in forma trigonometrica e applicare la formula per il calcolo delle radici.