Analisi Matematica per Informatici Esercitazione 10 a.a

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1 Analisi Matematica per Informatici Esercitazione a.a. 6-7 Dott. Simone Zuccher 7 Febbraio 7 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccher@sci.univr.it). Determinazione del dominio di una funzione Richiami utili per la determinazione del dominio. Determinare il dominio o insieme di definizione o campo di esistenza di una funzione significa trovare tutti i valori della variabile indipendente per i quali l espressione analitica di f() ha significato. Generalmente questo equivale ad un sistema in cui sono riportate tutte le condizioni che devono verificarsi simultaneamente. Funzioni che hanno problemi di dominio:. n ϕ() ϕ(). [ϕ()] α,α N ϕ() 3. ϕ() ϕ() 4. log a ϕ(),a >,a ϕ() > 5. tanϕ() ϕ() π + kπ,k Z 6. cotϕ() ϕ() kπ,k Z 7. arcsin ϕ() ϕ() 8. arccosϕ() ϕ() Funzioni che non hanno problemi di dominio: tutti i polinomi, le potenze con esponente naturale ([ϕ()] n,n N), le esponenziali (a ϕ() ), le radici con indice dispari ( n+ ϕ()), seno e coseno (sinϕ(), cos ϕ()) e arcotangente ( arctanϕ()).. Esercizio Determinare il dominio di f() = ( ).

2 .. Risoluzione Deve essere ( ) ], ] [, ].. Esercizio Determinare il dominio di f() = log... Risoluzione { log Deve essere > [, + [..3 Esercizio Determinare il dominio di f() = log [(log ) π ]..3. Risoluzione { log > Deve essere > ]e, + [..4 Esercizio Determinare il dominio di f() = log 4 log Risoluzione log 4 Deve essere log + log + > [ e, e [ [e, + [..5 Esercizio Determinare il dominio di f() = arcsin[log( ) log )]..5. Risoluzione log( ) log Deve essere > > [ e e, + [.

3 Grafico qualitativo di una funzione Schema generale per lo studio di una funzione.. Determinazione del dominio D di f().. Eventuali simmetrie e/o periodicità in modo da studiare la funzione eventualmente su un intervallo più piccolo rispetto al dominio. Funzione pari: f() = f( ) D Funzione dispari: f() = f( ) D Funzione periodica: f( + T) = f() D,T R. 3. Intersezioni con gli assi. 4. Segno di f() (da evitare nei casi complicati). 5. Calcolo dei limiti agli estremi del dominio (agli estremi di tutti gli intervalli di cui il dominio è l unione) e determniazione di eventuali asintoti. 6. Calcolo della derivata prima e studio del segno di f () per determinare gli intervalli di monotonia di f() ed eventuali punti di massimo e minimo per f(). 7. Calcolo della derivata seconda e studio del segno di f () per determinare gli intervalli in cui f() è concava o convessa ed eventuali punti di flesso per f().. Esercizio Studiare la funzione f() = 3 e tracciarne un grafico approssimativo... Risoluzione. Dominio: ], [ ], + [.. Né simmetrie né periodicità. 3. Intersezioni con gli assi. = y = 3/. y = = ± Segno: f() non negativa per [ 3, 3] ], + [. 5. Limiti, nell ordine: lim = ; lim = lim + = + lim 3 + = +. Pertanto, f() ammette un asintoto verticale di equazione = e non ammette certamente asintoto orizzontale. Potrebbe ammettere asintoto obliquo: [ verifichiamo. lim ] f() ± = lim 3 3 =, lim [f() ] = lim ± ± ± =. Quindi f() ammette asintoto obliquo di equazione y = +. 3

4 8 f() = 3 y = Figura : Grafico di f() = 3 e del suo asintoto obliquo y = + (esercizio.) 6. Derivata prima f () = ( ). Essa ha lo stesso dominio di f() e quindi la funzione è derivabile in ogni punto del suo dominio. f () si annulla per = = 3, che sono quindi punti stazionari. f () è non negativa per ], ] [3, + [, pertanto f() è ivi crescente. f () è non positiva per [, [ ], 3], pertanto f() è ivi decrescente. Dal segno di f () si deduce che = è un punto di minimo relativo (, ), mentre = 3 è un punto di massimo relativo (3, 6). 7. Derivata seconda f () = ( ) 3. Siccome f (), non esistono punti di flesso. Dallo studio del segno di f () si deduce che f () > per ], + [ pertanto f() è ivi convessa, mentre è concava altrove. In figura è riportato il grafico di f() = 3 e del suo asintoto obliquo y = +.. Esercizio Studiare la funzione f() = 8 e tracciarne un grafico approssimativo. 4

5 8 f() = 8 y = y = Figura : Grafico di f() = e dei sui asintoti obliqui y = ± (esercizio.).. Risoluzione. Dominio: 8 ], [ [, + [.. Né simmetrie né periodicità. 3. Intersezioni con gli assi. = è escluso dal dominio e quindi non si può calcolare. y = =. 4. Segno: f() è sempre non negativa. 5. Limiti, nell ordine: lim 8 = + ; lim 8 = + lim 8 = +. Si noti + che non si sono fatti né il limite per +, non essendo ammesso dal dominio, né il limite per +, essendo f() =. Dall analisi dei limiti si deduce che f() ammette un asintoto verticale (sinistro) di equazione = e non ammette certamente asintoto orizzontale. Potrebbe ammettere asintoto obliquo: verifichiamo. lim = lim f() ± ± 8 = lim 8 ± = ±, 3 5

6 [ ] 8/ lim [f() ] = lim =. Quindi f() ammette asintoto ± ± 8/ ± obliquo destro di equazione y = e asintoto obliquo sinistro di equazione y =. 6. Derivata prima f () = ( ) = = ( 3 8). Si noti che essa non ha lo stesso dominio di f(). Infatti, per = si annulla il denominatore di f (). Essendo lim f () = +, f() non è derivabile in =. + f () si annulla per = 3 4, che è quindi un punto stazionario. f () è non negativa per [ 3 4, [ ], + [, pertanto f() è ivi crescente. f () è non popsitiva per ], 3 4], pertanto f() è ivi decrescente. Dal segno di f () si deduce che = 3 4 è un punto di minimo relativo, mentre dal grafico si può dedurre che = è il minimo assoluto. 7. Derivata seconda f () = 4(3 ) 4 ( 8/) 3. Siccome f () (non essendo = 3 nel dominio), non esistono punti di flesso. Dallo studio del segno di f () si deduce che f () > per ], [ pertanto f() è ivi convessa, mentre è concava per ], + [. In figura è riportato il grafico di f() = 8 e dei sui asintoti obliqui y = ±..3 Esercizio Studiare la funzione f() = 3 ( ) e tracciarne un grafico approssimativo..3. Risoluzione. Dominio: D = R, essendo l indice della radice dispari.. Né simmetrie né periodicità. 3. Intersezioni con gli assi. = y = ; y = = =. 4. Segno: f() è non negativa quando ( ), ovvero per [, + [. 5. Limiti, nell ordine: 3 ( ) = ; lim lim + 3 ( ) = +. Dall analisi dei limiti si deduce che f() non ammette né asintoto verticale né orizzontale. Potrebbe ammettere asintoto obliquo: verifichiamo. lim = lim ( ) =, f() 3 ± ± [f() ] = /3. Quindi f() ammette asintoto obliquo di equazione lim ± y = /3. 6

7 .5 f() = 3 ( ) y = / Figura 3: Grafico di f() = 3 ( ) e del suo asintoto obliquo y = /3 (esercizio.3) 6. Derivata prima f () = ( ) = Si noti che essa non ha lo ( ). stesso dominio di f(). Infatti, per = = si annulla il denominatore di f () e pertanto f() non è derivabile in tali punti. Essendo lim f () = + e lim f () =, e lim f () = lim f () = +, si deduce che = è un punto + + di cuspide per f() mentre = è un punto di flesso a tangente verticale. f () si annulla per = /3, che è quindi un punto stazionario. f () è non negativa per ], [ [/3, [ ], + [, pertanto f() è ivi crescente. f () è non positiva per ], /3], pertanto f() è ivi decrescente. Dal segno di f () si deduce che = /3 è un punto di minimo relativo. Inoltre, essendo f () > nell intorno di =, si deduce che in = la funzione ha un flesso ascendente a tangente verticale. Non essendo f() limitata inferiormente né superiormente, non esistono né minimi né massimi assoluti. 7. Derivata seconda f () = ( ) 5. Si noti che il dominio di f () è lo stesso di quello di f () e che f (), quindi non ci sono altri flessi oltre a quello già visto in = (punto di non derivabilità sia per la derivata prima che per la seconda). Dallo studio del segno di f () si deduce che f () > per ], [ ], [ pertanto f() è ivi convessa, mentre è concava per ], + [. 7

8 In figura 3 è riportato il grafico di f() = 3 ( ) e del suo asintoto obliquo y = /3..4 Esercizio Studiare la funzione f() =.4. Risoluzione log + log e tracciarne un grafico approssimativo. e 3 e Figura 4: Grafico di f() = = /e (esercizio.4) log + log e dei suoi asintoti orizzontale y = e verticale. Dominio: > ( + log ) ], e [ ] e, + [.. Né simmetrie né periodicità. 3. Intersezioni con gli assi. = è escluso dal dominio e quindi non si può calcolare. y = =. 4. Segno: f() è non negativa per ], /e[ [, + [. 5. Limiti, nell ordine: lim + log + log = + ; lim (/e) log + log 8 log = + ; lim (/e) + + log = ;

9 log lim =. Dall analisi dei limiti si deduce che f() ammette la retta + + log y = come asintoto orizzontale (destro) e la retta = come asintoto verticale. e f() non ammette asintoti obliqui. 6. Derivata prima f () = ( + log ). Nonostante essa abbia lo stesso dominio di f(), lim f () = + e quindi per + la funzione tende a + con tangente + verticale (positiva). f () non si annulla mai, quindi non ci sono punti stazionari (eventuali massimi o minimi) ma è sempre positiva, quindi f() è sempre crescente per ], e [ ], + [. e 7. Derivata seconda f () = log + 3 ( + log ) 3. f () = per = /e 3, che risulta pertanto punto di flesso. Dallo studio del segno di f () si deduce che f () > per ]/e 3, /e[ pertanto f() è ivi convessa, mentre è concava per ], /e 3 [ ]/e, + [. In figura 4 è riportato il grafico di f() = e verticale = /e. log + log e dei suoi asintoti orizzontale y = 5 sin cos Figura 5: Grafico di f() = sin cos (esercizio.5) 9

10 .5 Esercizio Studiare la funzione f() = sin cos e tracciarne un grafico approssimativo..5. Risoluzione È una funzione dispari, definita su tutto R, non periodica, quindi basta studiarla per. = y =, ma la soluzione di f() = implica sin cos = ovvero, posto π/ + kπ si può tentare di risolvere tan =, che non è banale. Lasciando quindi perdere il segno e le intersezioni con y =, studiamo la derivata prima. f () = sin. Limitatamente a >, si ha f () > quando sin >, ovvero per ]kπ, (k + )π[,k =,,,... La derivata prima si annulla in =, = kπ,k =,, 3,... e = (k + )π,k =,,,... I punti = kπ,k =,, 3,... (f(kπ) = kπ) sono punti di minimo relativo. I punti = (k + )π,k =,,,... (f((k +)π) = (k +)π) sono punti di massimo relativo. La derivata seconda f () = sin + cos si annulla in corrispondenza delle soluzioni dell equazione + tan =, una delle quali è =, punto di flesso a tangente orizzontale. In figura 5 è riportato il grafico di f() = sin cos. 3 Esistenza delle radici di un equazione f() = 9 ( 4) Figura 6: Grafico di f() = 9 ( 4) 9 (esercizio 3.)

11 3. Esercizio Determinare il numero delle soluzioni reali dell equazione 9 ( 4) 9 = α. 3.. Risoluzione Studiamo la funzione f() = 9 ( 4) 9. Si verifica che f () si annulla per =, è positiva per > e negativa per <. Quindi f() è strettamente decrescente per ], ], strettamente crescente per [, [ ed ha un minimo assoluto in = f() = 8 (si veda la figura 6). In conclusione, quindi, l equazione 9 ( 4) 9 = α ammette due soluzioni (distinte) se α > 8, una soluzione se α = 8, nessuna soluzione se α < 8. Alternativamente, si poteva considerare l equazione ( 4) = α /9, che è di secondo grado e ammette soluzioni = ± 4 + α /9, purché sia α 4 9 = 8 (da cui le stesse conclusioni ottenute nel primo modo). 3. Esercizio Determinare il numero delle soluzioni reali dell equazione ( ) = α. 3.. Risoluzione Procedendo come nell esercizio precedente, si ottiene: nessuna soluzione per α <, due soluzioni per α =, quattro soluzioni per < α <, tre soluzioni per α = e due soluzioni per α >. 3.3 Esercizio Determinare il numero ed il segno delle radici reali dell equazione = Risoluzione Si noti che i limiti per ± di f() = sono rispettivamente ± e pertanto esiteranno a,b R tali che f(a) < e f(b) >. Quindi, in base al teorema di esistenza degli zeri (f() è continua su [a,b], intervallo chiuso e limitato), f() ammette almeno una radice compresa tra a e b. Essendo f () = > R, f() è strettamente crescente su tutto R. Ne segue che = ammette una sola radice. Per stabilirne il segno, basta osservare che f() = < e quindi f() si annulla per >. L unica radice è pertanto positiva. 3.4 Esercizio Determinare il numero ed il segno delle radici reali dell equazione 4 + = a + b al variare di a,b R,b Risoluzione Si proceda pensando all intersezione tra le funzioni f() = 4 + e g() = a + b.