Analisi Matematica per Informatici Esercitazione 9 a.a

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1 Analisi Matematica per Informatici Esercitazione 9 a.a Dott. Simone Zuccher 0 Febbraio 007 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccher@sci.univr.it). Calcolo di iti tramite il teorema di de L Hôpital. Esercizio Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcoli.. Risoluzione π log sin cos π. Esercizio cos sin 0 π log sin cos Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcoli.. Risoluzione log + cos log( + ) cos..3 Esercizio log + cos Utilizzando il teorema di de L Hôpital calcolare ( + ) sin + e e log. + sin + ( + ) cos

2 .3. Risoluzione Si noti che sono iti nella forma 0. Dagli esempi generali visti la scorsa esercitazione si sa già il risultato. Altrimenti, basta osservare che + e + e + e log / 0 e log / Esercizio Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcoli ( ) + log( + ).4. Risoluzione ( + ) log( + ) log( + ) Derivando una volta si ha log( + ) log( + ) + /( + ). Derivando ulteriormente oppure dividendo numeratore e denominatore per log( + ) si ottiene + + log( + ), ove si è tenuto conto del ite notevole noto..5 Esercizio Si calcoli il ite + sin + + cos.5. Risoluzione Raccogliendo al numeratore e al denominatore si ottiene banalmente + + sin + cos + sin + + cos. Attenzione: se si fosse applicato de L Hôpital (il ite si presenta nella forma / ), + sin + cos si sarebbe ottenuto + + cos. L uguaglianza tra i due iti + sin rappresenta un nonsenso in quanto il ite del rapporto delle derivate non esiste e quindi il teorema di de L Hôpital non è applicabile e nulla si può dire sul ite originale. Al + sin contrario, la scrittura adottata porterebbe a concludere che, che è + + cos falso. Pertanto, l utilizzo dell uguale () tra un passaggio e l altro nell applicazione di de L Hôpital è prassi ma formalmente è consentito solo dopo aver verificato l effettiva esistenza del ite del rapporto delle derivate.

3 Calcolo di iti tramite sviluppi in serie di Taylor Richiami utili al calcolo di iti tramite sviluppi in serie di Taylor Sviluppi di McLaurin (ossia sviluppi di Taylor centrati nell origine) per le principali funzioni. e ! + + n n! + o(n ) log( + ) ( )n+n n + o(n ) n + o( n ) ( + ) α α(α ) + α + α(α )(α ) ! α(α ) (α n + ) + n + o( n ) n! sin 3 3! + 5 5! + n+ ( )n (n + )! + o(n+ ) cos! + 4 n + ( )n 4! (n)! + o(n+ ) arctan n+ + ( )n 5 n + + o(n+ ) tan o( 4 ) arcsin o( 4 ) arccos π o( 4 ) Proprietà del simbolo o piccolo o. m,n N si ha:. o( n ) ± o( n ) o( n ). a o( n ) o( n ) 3. m o( n ) o( m+n ) 4. o( m ) o( n ) o( m+n ) 5. o(o( n )) o( n ) 6. o( n + o( n )) o( n ). Esercizio Determinare gli sviluppi di McLaurin (ossia gli sviluppi di Taylor centrati nell origine) di + e + arrestati al second ordine. 3

4 .. Risoluzione Considerando lo sviluppo di ( + ) α, posto rispettivamente α e α /, si ha o( ) e o( ). Alternativamente, si poteva procedere calcolando le funzioni e le rispettive derivate (fino alla seconda) nel punto 0.. Esercizio Verificare che, per 0, valgono gli sviluppi log(cos) 4 + o( 4 ) e e sin o( 4 ).. Risoluzione Dagli sviluppi del coseno, cos o(5 ), e del logaritmo, log( + y) y y + o(y ), posto + y cos y o(5 ), si ha log(cos) [ ] o(5 ) ] [ o(5 ) + o([ ] ) Lo stesso ragionamento si applica agli sviluppi dell esponenziale e del seno..3 Esercizio.3. Risoluzione cos + log cos o(4 ). Dall esercizio precedente è noto lo sviluppo del log cos per 0, pertanto cos + log cos [ o(5 )] + [ 4 + o(4 )] o(4 ) Esercizio + sin + tan.4. Risoluzione + sin + tan + + o( ) +. 4

5 .5 Esercizio.5. Risoluzione log( + ) sin + / + 3 log( + ) sin + / + 3 [ / + 3 /3 + o( 3 )] [ 3 /6 + 5 /0 + o( 6 )] + / /3 + 3 /6 + o( 3 ) Esercizio.6. Risoluzione ( sin Dopo aver ( notato che lo sviluppo del sin [ 3 /6 + o( 4 )] 4 /3 + o( 4 ), si ha ) sin sin sin 4 /3 + o( 4 ) 4 + o( 6 ) 3..7 Esercizio.7. Risoluzione 3 /6+o( 4 e ), si ha ) e + log( + 3 ) sin Noti gli sviluppi e / + o( 4 ), log( + 3 ) 3 + o( 3 ) e sin + log( + 3 ) 4 / + o( 4 ) o( 3 ) sin 3 /6 + o( 4 ) 3 + o( 3 ) 3 /6 + o( 4 ) 6. Attenzione: se si fosse arrestato lo sviluppo di e a e + + o( ) si sarebbe e ottenuto sbagliato! + log( + 3 ) sin o( ) 3 /6 + o( 4 ), che è evidentemente 5

6 .8 Esercizio Utilizzando gli sviluppi di Taylor, discutere al variare del parametro a il seguente ite.8. Risoluzione a log( + ) a log( + ) (a 6) + (3 a ) + ( a 3 )3 a Quindi, per a 6 il ite vale 3.9 Esercizio.9. Risoluzione ( ) / sin e /6+o( ) e e /6.0 Esercizio sin log a[ o(4 )] ; per a 6 vale. ( sin ) / e log 3 /6+o( 3 ) Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare i seguenti iti e log[ /6+o( )] ( sin a).0. Risoluzione ) / ( sin 3 b) 3 ) / ( sin c) ) / Procedendo come nell esercizio precedente, si ricava facilmente (a) e /3 ; (b) e 3/ ; (c). 6

7 3 Determinazione di eventuali asintoti di una funzione Richiami utili per la determinazione degli asintoti. Asintoti orizzontali.. Se + f() l R, allora la retta y l si dice asintoto orizzontale destro per f().. Se f() l R, allora la retta y l si dice asintoto orizzontale sinistro per f(). 3. Se f() f() l, allora la retta y l si dice asintoto orizzontale + per f(). Asintoti verticali. Se una funzione ammette ite (o semplicemente ite destro, oppure ite sinistro) infinito per 0, 0 R, allora la retta 0 si dice asintoto verticale per f() (anche in questo caso si può distinguere tra asintoto da destra e da sinistra nel caso uno dei due iti sia infinito e l altro o non lo sia o non esista). In pratica, basta che sia verificata una delle seguenti condizioni f() + ± 0 oppure oppure. Asintoto obliquo. Se f() m + q per + (oppure per ), allora la retta y m + q si dice asintoto obliquo per f() (anche qui si può distinguere tra asintoto destro e sinistro nel caso siano diversi tra loro). Questa condizione si può riscrivere come [f() (m + q)] 0 (rispettivamente [f() (m + q)] 0). + Praticamente, m e q vengono determinati come segue, purchè entrambi i iti esistano finiti: 3. Esercizio f() m ± Determinare eventuali asintoti di f() q [f() m] ± +, f() + e f() Risoluzione f(). Asintoto orizzontale y, asintoto verticale. + f() +. Asintoto obliquo y per +, e altro asintoto obliquo y per. f() + 3. Non ammette asintoti. Infatti, f() per +, ma [f() ] + per +. 7

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