LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione

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1 LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione 1. Per 0 le funzioni 1 cos e sin (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) 1 cos è infinitesima di ordine inferiore (c) 1 cos è infinitesima di ordine superiore (d) sono equivalenti 2. Per 0 le funzioni log( +1)ede 1 (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) e 1è infinitesima di ordine inferiore (c) e 1è infinitesima di ordine superiore (d) non sono equivalenti 3. Il prodotto delle funzioni e log per 0 (a) tende a zero (b) tende ad 1 (c) tende a (d) non esiste il ite per 0 4. Il rapporto tra le funzioni e log per + (a) tende a zero (b) tende ad 1 (c) tende a + (d) è itato 5. Per 0 le funzioni tan ed (a) sono infinitesime dello stesso ordine e il ite del loro rapporto tende a π (b) sono infinitesime dello stesso ordine e il ite del loro rapporto tende a 1 (c) è un infinitesimo di ordine superiore (d) tan è un infinitesimo di ordine superiore 6. La funzione per (a) tende a + (b) tende a 1 (c) tende a (d) ha un asintoto orizzontale 7. La funzione +1per + (a) tende a 1 (b) tende a 0 (c) il ite è indeterminato (d) tende a +

2 8. M(1 2 ) 0 (a) non esiste (b) vale 1 (c) vale 0 (d) è uguale a M( (1 2 )) 0 ( π 9. tan 0 ± 4 + sin 1 ) (a) non esistono (b) valgono rispettivamente ±1 (c) sono infiniti ( (d) sono uguali a tan 0 ± 10. La funzione 2 +1 (a) ha come asintoto la retta y = (b) ha come asintoto la retta y =1 (c) non ha asintoti verticali (d) ha due distinti asintoti obliqui ( π 4 + sin 1 )) 11. La funzione (a) ha come asintoto la retta y =2 (b) è infinita di ordine 2 (c) presenta un asintoto verticale in = 2 (d) ha come asintoto la retta y =2 12. La funzione e 1/3 per 0 (a) tende a (b) tende a + (c) si comporta come per 0 + (d) tende a Le funzioni sin e 1 (a) sono infinitesimi non confrontabili per + (b) sono infiniti non confrontabili per + (c) sono infinitesimi confrontabili per + (d) sono equivalenti per Le funzioni sin( 1 ) e cos( 1 )per 0 (a) sono equivalenti (b) la prima tende a 0 e la seconda ad 1 (c) tendono entrambe a zero (d) non ammettono ite

3 RISPOSTE 1. RISPOSTA ESATTA: (c). Per 0 le funzioni 1 cos e sin sono equivalenti rispettivamente a ea. Pertanto non sono dello stesso ordine né equivalenti, ma 1 cos è un infinitesimo di ordine superiore a. Dunque le risposte (a), (b) e (d) sono false, mentre (c) è vera. 2. RISPOSTA ESATTA: (a). Per 0sihalog( +1) e anche e 1. Pertanto le due funzioni sono equivalenti tra di loro e dunque sono infinitesime dello stesso ordine. 3. RISPOSTA ESATTA: (a). Si ricordi che 0 α log =0, α >0. Pertanto log =0. 4. RISPOSTA ESATTA: (c). Si ricordi che + α log =+, α >0. Pertanto log =+. 5. RISPOSTA ESATTA: (b). sin Dal ite fondamentale si ricava: 0 tan sin 1 = 0 0 cos = sin 0 =1 Poiché il ite del loro rapporto è un valore finito non nullo, le due funzioni sono infinitesime dello stesso ordine. 6. RISPOSTA ESATTA: (a). Per si ha 3 +1 e Pertanto : = 2 = ( ) =+. Dunque (a) è vera mentre (b) e (c) sono false. Anche (d) è falsa in quanto esisterebbe un asintoto orizzontale se il ite effettuato sopra desse come risultato un valore finito.

4 7. RISPOSTA ESATTA: (b). Eseguiamo il ite razionalizzando la funzione: ( + 1) = + 1 = = ( + 1)( + +1) = ( +1) + +1 = 8. RISPOSTA ESATTA: (b). La risposta (d) è errata in quanto (1 2 ) = 1, però non esiste M(t). Dunque 0 t 1 non si possono applicare i teoremi sui iti delle funzioni composte. Si ha però (1 0 2 )=1 ed esiste M(t) = 1. Dunque esiste M( 2 1)=1. t RISPOSTA ESATTA: (d). Si ha: sin 1 = 0 in quanto si tratta del prodotto di una funzione infinitesima 0 ± per una funzione che, pur non ammettendo ( ite per 0 ±, si mantiene comunque π sempre itata. Dunque si ha anche 0 ± 4 + sin 1 ) = π 4. Poiché la funzione tan t è continua ( per t π 4, applicando il teorema sui iti delle π funzioni composte si ha che tan 0 ± 4 + sin 1 ) ( ( π = tan 0 ± 4 + sin 1 )) =1 10. RISPOSTA ESATTA: (a). La funzione f() = 2 +1 presenta un asintoto verticale (la retta = 0); pertanto la risposta (c) è falsa Poiché = ±, la funzione non ha asintoti orizzontali; dunque la risposta ± (b) è falsa. f() Si ha invece ± = 1 e (f() ) =0 ± Pertanto la retta y = è l unico asintoto obliquo di f().

5 11. RISPOSTA ESATTA: (d). La funzione non ha asintoti verticali, perché il denominatore non si annulla. Poiché f() = 2, la funzione ammette la retta y = 2 come asintoto orizzontale ± completo. Dunque non può avere asintoti obliqui, e non è infinita, per nessun valore di IR. 12. RISPOSTA ESATTA: (b). Poiché ( 1 ) 0 3 =+ e poiché la funzione e t è continua t IR, si può asserire che: ) e 1 3 = e 0 ( 1 ) 3 =+ Invece, poiché ( ( 1 ) 3 =, si ha: ( ) e 1 3 = e 0 +( 1 ) 3 =0 0 + Pertanto la funzione non si comporta nello stesso modo per 0 oper RISPOSTA ESATTA: (a). Le funzioni f() = sin e g() = 1 sono entrambe infinitesime per + ; infatti = sin = 0 in quanto si tratta del prodotto di una funzione sin infinitesima per una funzione che non ha ite ma si mantiene itata. Però i due infinitesimi non sono confrontabili (e quindi non sono equivalenti). Infatti, eseguendo il ite del loro rapporto: + sin 1 = + sin e tale ite non esiste. e 14. RISPOSTA ESATTA: (d). I due iti non esistono. Infatti cos t. t ± 0 ± 1 = ± e non esistono i iti sin t t ±