Limiti e continuità Test di autovalutazione

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1 Test di autovalutazione 1. Sia A R tale che sup A = 2 e inf A = 0. Allora, necessariamente 2 A (b) esiste x A tale che 0 < x < 2 (c) esiste x A tale che x > 1 0 A 2. Il prodotto delle funzioni x e ln x per x 0 + tende a zero (b) tende ad 1 (c) tende a non ammette limite 3. Sono date le funzioni f(x) = sin x 2 e g(x) = x. Allora: (b) domf g = R dom g f = R (c) im f g = [0, 1] im g f = 4. È data la funzione f(x) = ln(x 2 x 2 + 1). Allora: domf = R + (b) (c) dom f = (2, + ) f non è mai definita im f = R 5. Sia f : R R una funzione continua tale che f(7) = 3. Allora, necessariamente f(x) 0 per ogni x R (b) esiste x > 7 tale che f(x) < 0 (c) non esiste x < 7 tale che f(x) < 0 f(x) = 3 per ogni x R

2 6. La funzione x x + 1 per x + tende a 1 (b) tende a 0 (c) non ammette limite tende a + 7. La successione a n = 1 + ( 1)n n : (b) (c) non ammette limite ha lo stesso limite della successione b n = 1 + ( 1)n n è convergente è limitata tra 0 e 1 8. La funzione e 1/x3 per x 0 tende a (b) tende a + (c) ha lo stesso comportamento anche per x 0 + tende a 1 9. Si supponga che la funzione f(x) sia continua su R e soddisfi le condizioni f(x) = 176 e f(0) = 5. Allora: lim x f è monotona crescente in (, 0] (b) (c) k [ 36, 23], a R : f = k ǫ > 0, B > 0 : x < B = 176 < f(x) < ǫ f è limitata inferiormente 10. Sia f : R R tale che lim f(x) = 8. Allora necessariamente: x 3 δ > 0, ǫ > 0 : (b) ǫ > 0, δ > 0 : (c) se x + 3 < δ f(x) > 0, x > 3 x + 3 < δ = f(x) 8 < ǫ 0 < x + 3 < δ = f(x) 8 < ǫ allora f(x) 8 < ǫ

3 11. Sia A = {x R : x = π + 1, k Z \ {0}}. Allora, necessariamente k sup A = π (b) A non ammette massimo (c) min A = π 1 A è illimitato 12. L immagine della funzione f(x) = x3 + x 1 x (0, + ) (b) R (c) (, 0) ( 1, 1) è:

4 1. Sia A R tale che sup A = 2 e inf A = 0. Allora, necessariamente 2 A (b) esiste x A tale che 0 < x < 2 (c) esiste x A tale che x > 1 0 A RISPOSTA ESATTA: (c). La risposta (c) è vera per la proprietà dell estremo superiore: se 2 = sup A, allora qualunque sia ǫ > 0 esiste x A tale che 2 ǫ < x < 2. In particolare, preso ǫ = 1, si può trovare x A tale che 1 < x < 2. Le risposte e sono false: si pensi come controesempio all insieme A = (0, 2). L insieme A = {0, 2} costituisce un controesempio che dimostra la falsità della risposta (b).

5 2. Il prodotto delle funzioni x e ln x per x 0 + tende a zero (b) tende ad 1 (c) tende a non ammette limite RISPOSTA ESATTA:. Calcoliamo il limite ln x lim x ln x = lim x 0 + x = 0 x in quanto per x 0 +, la funzione ln x è un infinito di ordine inferiore alla funzione 1/x a, qualunque sia a > 0.

6 3. Sono date le funzioni f(x) = sin x 2 e g(x) = x. Allora: domf g = R (b) dom g f = R (c) im f g = [0, 1] im g f = RISPOSTA ESATTA:. Si ha mentre (f g)(x) = f( x) = sin x 2 (g f)(x) = g(sin x 2) = sin x 2. Di conseguenza dom f g = [0, + ) e im f g = [ 3, 1]; dom g f = (in quanto sin x 1), e dunque anche im g f =. Pertanto la risposta è esatta e tutte le altre sono errate.

7 4. È data la funzione f(x) = ln(x 2 x 2 + 1). Allora: domf = R + (b) dom f = (2, + ) (c) f non è mai definita im f = R RISPOSTA ESATTA: (c). Si può facilmente verificare (risolvendo la disequazione irrazionale algebricamente oppure graficamente) che, qualunque sia x R, è sempre x 2 < x2 + 1; dunque domf =. Pertanto (c) è vera e le altre sono false.

8 5. Sia f : R R una funzione continua tale che f(7) = 3. Allora, necessariamente f(x) 0 per ogni x R (b) esiste x > 7 tale che f(x) < 0 (c) non esiste x < 7 tale che f(x) < 0 f(x) = 3 per ogni x R RISPOSTA ESATTA: (b). Poiché f è continua e f(7) < 0, per il Teorema di permanenza del segno esiste un intorno del punto x = 7 in cui f(x) < 0; pertanto si avrà f(x) < 0 sia in un intorno destro sia in un intorno sinistro di x = 7. Quindi (b) è vera e (c) è falsa. La funzione f(x) = x 10 costituisce un controesempio che dimostra la falsità delle risposte e.

9 6. La funzione x x + 1 per x + tende a 1 (b) tende a 0 (c) non ammette limite tende a + RISPOSTA ESATTA: (b). Infatti, calcoliamo il limite moltiplicando e dividendo per x + x + 1: lim ( x x + 1) = lim x + x + x (x + 1) x + x + 1 = lim x + 1 x + x + 1 = 0.

10 7. La successione a n = 1 + ( 1)n n : (b) (c) non ammette limite ha lo stesso limite della successione b n = 1 + ( 1)n n è convergente è limitata tra 0 e 1 RISPOSTA ESATTA: (c). ) ( 1) n Poiché lim = 0, si ha lim (1 + ( 1)n = 1, e dunque la risposta (c) n n n n è vera, mentre la è falsa. La (b) è falsa: infatti b n = 1 + ( 1)n n Pertanto lim n b n = 0. La è falsa, perché, se n è pari, a n > 1. 2 se n è pari, = n 0 se n è dispari.

11 8. La funzione e 1/x3 per x 0 tende a (b) tende a + (c) ha lo stesso comportamento anche per x 0 + tende a 1 RISPOSTA ESATTA: (b). Poiché lim x 0 1 =, si ha lim = e + = +. Dunque (b) è vera x3 x 0 e 1/x3 mentre e sono false. Anche (c) è falsa, perché lim lim = e = 0. x 0 + e 1/x3 x = +, e dunque x3

12 9. Si supponga che la funzione f(x) sia continua su R e soddisfi le condizioni f(x) = 176 e f(0) = 5. Allora: lim x f è monotona crescente in (, 0] (b) (c) k [ 36, 23], a R : f = k ǫ > 0, B > 0 : x < B = 176 < f(x) < ǫ f è limitata inferiormente RISPOSTA ESATTA: (b) Poiché f è continua, dai dati del quesito si deduce che f assume tutti i valori compresi tra -176 (escluso) e 5, in particolare quelli compresi tra 36 e 23. Dunque k [ 36, 23], a R : f = k, e (b) è esatta. La funzione f(x) = (181 x 2 )e x 176 fornisce un controesempio che mostra la falsità delle altre risposte. Infatti: - f è continua su R, lim f(x) = 176 e f(0) = 5. x Inoltre: - f non è limitata inferiormente, in quanto lim f(x) =, e dunque è x + falsa - f non è monotona crescente in (, 0], in quanto, se x (, 1 182), si ha f (x) = (181 2x x 2 ) e x < 0, e dunque è falsa - se x (, 181), si ha f(x) < 176, e dunque (c) è falsa.

13 10. Sia f : R R tale che lim f(x) = 8. Allora necessariamente: x 3 δ > 0, ǫ > 0 : (b) ǫ > 0, δ > 0 : (c) se x + 3 < δ f(x) > 0, x > 3 x + 3 < δ = f(x) 8 < ǫ 0 < x + 3 < δ = f(x) 8 < ǫ allora f(x) 8 < ǫ RISPOSTA ESATTA: (b) Le risposte e (c) sono false: non è affatto detto che f(x) sia limitata in un qualunque intorno di x = 3. La risposta (b) è vera: è la definizione del limite lim f(x) = 8. x 3 La risposta è falsa: si pensi come controesempio alla funzione y = 8x 16.

14 11. Sia A = {x R : x = π + 1, k Z \ {0}}. Allora, necessariamente k sup A = π (b) A non ammette massimo (c) min A = π 1 A è illimitato RISPOSTA ESATTA: (c) Per k = ±1, si ha π ± 1 A. Inoltre, si osservi che π 1 a π + 1, a A. Dunque min A = π 1, e maxa = sup A = π + 1. Pertanto le risposte e (b) e sono false, mentre la risposta (c) è vera.

15 12. L immagine della funzione f(x) = x3 + x 1 x (0, + ) (b) R (c) (, 0) ( 1, 1) è: RISPOSTA ESATTA: (b) Si osservi che f(x) è definita e continua su R e che lim f(x) =, lim x f(x) = +. x + Dunque qualunque sia k R, esiste x R tale che f(x) = k, e quindi im f = R.