Limiti e continuità Test di autovalutazione

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Ottavio Albanese
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1 Test di autovalutazione 1. Si indichi con M(t) la mantissa di t. Il limite lim x 0 M(1 x ) non esiste (b) vale 1 (c) vale 0 è uguale a M(lim x 0 (1 x )). Sia a n una successione infinitesima e consideriamo la successione b n = n!a n. Allora: (b) b n è sempre una successione infinitesima b n non è mai una successione infinitesima (c) b n può tendere a + b n è sempre monotona crescente 3. Sia A = (0, 1) [, 1) { 3, 0}. Allora (b) (c) A ammette massimo, ma non minimo A ammette minimo, ma non massimo A non ammette né massimo né minimo A ammette sia massimo sia minimo 4. Sia f : R R una funzione tale che lim f(x) = 1. Allora, necessariamente x + f(x) > 11 per ogni x R (b) esiste ǫ > 0 tale che f(x) 1 < ǫ per ogni x > 1000 (c) esiste x R tale che f(x) 1 esiste M R tale che f(x) 1 < 1 per ogni x > M 5. Sia f : R R monotona crescente sull intervallo I=(, 5). Allora necessariamente: f è limitata su I (b) esiste lim f(x) x 5 ( ) ( ) 1 1 (c) f f π e f è continua su I

2 6. Siano f(x) = x e g(x) = ln x. Allora, necessariamente domf g = R \ {0} (b) dom f g = R (c) dom g f = (, ) (, + ) dom g f = R \ {} ( π 7. I limiti laterali lim tan x 0 ± 4 + x sin 1 ) x non esistono (b) valgono rispettivamente ±1 (c) sono uguali a 1 sono infiniti 8. Sia f : [0, 1] R una funzione continua tale che f(0) = 0 e f(1) = 1. Allora, necessariamente im f [0, 1] (b) im f = [0, 1] (c) im f [0, 1] im f = {0, 1} 9. Si considerino gli intervalli I n = necessariamente I n = (b) (c) I n = (, 1 ) [ 1, 1 ) I n = [ 1, 0) I n = (, 0) [ ) 1 n,, al variare di n IN \ {0}. Allora, n

3 10. Sono date due funzioni non nulle f, g : R R con f pari e g dispari. Allora necessariamente la funzione f g è pari (b) è dispari (c) è nulla non è né pari né dispari 11. È data la funzione f(x) = 1 log x. Allora: f 1 ([ 1, 1]) = [0, 1] (b) non esiste f 1 ([ 1, 1]) (c) f 1 ([ 1, 1]) = f 1 ([0, 1]) f 1 ([ 1, 1]) = {x R : 1 1 log x 1} 1. L inversa della funzione f(x) = x x + : non esiste (b) è la funzione g(x) = 1 + 4x 7 (c) è la funzione x = y y + è la funzione h(x) = 1 ± 4x 7.

4 1. Si indichi con M(t) la mantissa di t. Il limite lim x 0 M(1 x ) non esiste (b) vale 1 (c) vale 0 è uguale a M(lim x 0 (1 x )) RISPOSTA ESATTA: (b). Se 0 t < 1, si ha M(t) = t, mentre M(1) = 0; pertanto, se 1 x 1, x 0, la funzione M(1 x ) coincide con la funzione 1 x, mentre, se x = 0, la funzione M(1 x ) vale 0. Dunque lim x 0 M(1 x ) = lim x 0 (1 x ) = 1. Pertanto (b) è vera mentre e (c) sono false. Anche è falsa, perché lim x 0 (1 x ) = 1 e M(1) = 0.

5 . Sia a n una successione infinitesima e consideriamo la successione b n = n!a n. Allora: (b) b n è sempre una successione infinitesima b n non è mai una successione infinitesima (c) b n può tendere a + b n è sempre monotona crescente RISPOSTA ESATTA: (c). Se si sceglie a n = 1 n, si ha un esempio di successione b n = n! che tende a +. n Dunque (c) è vera. Se invece si sceglie a n = 1 n n!, allora la successione b n = n! n n! = 1 n tende a 0 e non è crescente. Pertanto (b) e sono false. La è falsa: è sufficiente scegliere a n = 1 n!.

6 3. Sia A = (0, 1) [, 1) { 3, 0}. Allora (b) (c) A ammette massimo, ma non minimo A ammette minimo, ma non massimo A non ammette né massimo né minimo A ammette sia massimo sia minimo RISPOSTA ESATTA: (b). Si ha min A = 3, sup A = 1, e 1 / A. Pertanto A ammette minimo ma non ammette massimo.

7 4. Sia f : R R una funzione tale che lim f(x) = 1. Allora, necessariamente x + f(x) > 11 per ogni x R (b) esiste ǫ > 0 tale che f(x) 1 < ǫ per ogni x > 1000 (c) esiste x R tale che f(x) 1 esiste M R tale che f(x) 1 < 1 per ogni x > M RISPOSTA ESATTA:. La definizione di lim f(x) = 1 assicura che x + ǫ > 0, M > 0 : x > M, f(x) 1 < ǫ. Dunque, scegliendo ǫ = 1, si ottiene quanto asserito in. La funzione f(x) = 1 x fornisce un controesempio che mostra la falsità delle altre risposte: infatti f(x) = 1; inoltre lim f(x) =, e quindi esiste un intorno di lim x + x 1000 x = 1000 in cui f(x) < 0 e dunque è falsa. Inoltre esiste anche un intorno destro di x = 1000 in cui f(x) non è limitata e quindi (b) è falsa. Infine, f(x) < 1, x R \ {1000}. Quindi anche (c) è falsa.

8 5. Sia f : R R monotona crescente sull intervallo I=(, 5). Allora necessariamente: f è limitata su I (b) esiste lim f(x) x 5 ( ) ( ) 1 1 (c) f f π e f è continua su I RISPOSTA ESATTA: (b). La risposta è falsa: si pensi come controesempio alla funzione f(x) = 1 5 x. La risposta (b) è vera: è quanto afferma il Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotone. La risposta (c) è falsa: poiché 1 π < 1 ( ) 1 e ed f è crescente, si deve avere f ( ) π 1 f. e La risposta è falsa: si consideri come controesempio la funzione { x se 1 x < 0, f(x) = 1 e x se 0 x 1.

9 6. Siano f(x) = x e g(x) = ln x. Allora, necessariamente domf g = R \ {0} (b) dom f g = R (c) dom g f = (, ) (, + ) dom g f = R \ {} RISPOSTA ESATTA: (c). Si ha (f g)(x) = f(ln x) = lnx, e (g f)(x) = g( x ) = ln( x ). Pertanto domf g = (0, + ), e dom g f = (, ) (, + ). Quindi le risposte e (b) e sono false, mentre la risposta (c) è vera.

10 ( π 7. I limiti laterali lim tan x 0 ± 4 + x sin 1 ) x non esistono (b) valgono rispettivamente ±1 (c) sono uguali a 1 sono infiniti RISPOSTA ESATTA: (c). Si ha lim x sin 1 x 0 ± x = 0 ; poiché la funzione tant è continua per t = π, si ha 4 ( π lim tan x 0 ± 4 + x sin 1 ) [ ( π = tan lim x x 0 ± 4 + x sin 1 )] = tan π x 4 = 1. Pertanto è vero quanto asserito in (c), mentre, (b) e sono false.

11 8. Sia f : [0, 1] R una funzione continua tale che f(0) = 0 e f(1) = 1. Allora, necessariamente im f [0, 1] (b) im f = [0, 1] (c) im f [0, 1] im f = {0, 1} RISPOSTA ESATTA: (c). Come conseguenza dei teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi, si ha che im f = [m, M], dove m = min f e M = maxf. Poiché m 0 e M 1, si ha im f [0, 1].

12 9. Si considerino gli intervalli I n = necessariamente I n = (b) (c) I n = (, 1 ) [ 1, 1 ) I n = [ 1, 0) I n = (, 0) [ ) 1 n,, al variare di n IN \ {0}. Allora, n RISPOSTA ESATTA: Scriviamo esplicitamente alcuni termini dell unione di questi intervalli: [ I n = 1, 1 ) [, 1 ) [ 3, 1 ) [ ) 1... n, n Si tratta di intervalli il cui estremo di sinistra è negativo e diventa sempre più grande in valore assoluto, mentre l estremo di destra tende a 0, ovvero Poiché I 1 = [ 1, 1 lim ( n) = e lim n n ) I n, si ottiene 1 n = 0. I n = (, 1 ).

13 10. Sono date le funzioni non nulle f, g : R R di cui f è pari e g è dispari. Allora necessariamente la funzione f g è pari (b) è dispari (c) è nulla non è né pari né dispari RISPOSTA ESATTA: Per ipotesi, f( x) = f(x), mentre g( x) = g(x). Calcoliamo e (f g)( x) = f( x) g( x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x). Dunque f g è pari se e solo se (f g)( x) = (f g)(x), ovvero se e solo se g(x) = g(x), x R; ma questo si può verificare se e solo se g(x) è identicamente nulla, contro l ipotesi. In modo analogo f g è dispari se e solo se (f g)( x) = (f g)(x) e dunque se e solo se f(x) = f(x), x R, cioè solo se f(x) è identicamente nulla. Dunque, f g non può essere né pari né dispari.

14 11. È data la funzione f(x) = 1 log x. Allora: f 1 ([ 1, 1]) = [0, 1] (b) non esiste f 1 ([ 1, 1]) (c) f 1 ([ 1, 1]) = f 1 ([0, 1]) f 1 ([ 1, 1]) = {x R : 1 1 log x 1} RISPOSTA ESATTA: (c) Per definizione di controimmagine, e tenendo conto che la funzione radice assume solo valori positivi, si ha: f 1 ([ 1, 1]) = {x domf : 1 1 log x 1} Dunque (c) è esatta. Inoltre e quindi è errata. = {x domf : 0 1 log x 1} = f 1 ([0, 1]). f 1 ([ 1, 1]) = {x domf : 0 1 log x 1} = {x domf : 0 1 log x 1} La risposta è errata perché, se x [0, 1] si ha log x 0, e dunque 1 log x 1. La risposta (b) è errata, perché f 1 ([ 1, 1]) : infatti, ad esempio, f(1) = 1 e dunque 1 f 1 ([ 1, 1]).

15 1. L inversa della funzione f(x) = x x + : non esiste (b) è la funzione g(x) = 1 + 4x 7 (c) è la funzione x = y y + è la funzione h(x) = 1 ± 4x 7. RISPOSTA ESATTA: La funzione f(x) = x x+ non è invertibile, perché non è iniettiva: dunque la risposta è esatta. La risposta (b) è errata: sarebbe esatta se si considerasse l inversa non di f, ma della restrizione invertibile di f all intervallo [ 1, + ). La funzione k(y) = y y + non è la funzione inversa di f. Infatti, se lo fosse, la funzione k f dovrebbe essere identica, e quindi si dovrebbe avere, preso comunque x dom(k f), (k f)(x) = x; invece (k f)(x) = k(f(x)) = k(x x + ) = (x x + ) (x x + ) + x. Dunque la risposta (c) è errata. La risposta è errata: h(x) non è neppure una funzione (non è ad un sol valore).

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