Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 18/12/2006

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del 8/2/26 () Fornire la definizione di derivata ed il suo significato geometrico. (2) Enunciare e dimostrare il criterio di integrabilità e fornire un esempio di funzione non integrabile secondo Riemann. (3) Siano, g(x) e h(x) funzioni infinitesime per x x tali che = o(g(x)) e g(x) h(x) per x x. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. h(x) per x x. Vero Falso B. = o(h(x)) per x x. Vero Falso C. + h(x) g(x) per x x Vero Falso (4) Sia una funzione continua e itata in [, + ). Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. B. C. + + x 2 x è divergente. Vero Falso x 2 è convergente. Vero Falso f(t) dt per x + Vero Falso

2 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È falsa e B è vera. Infatti, essendo = o(g(x)) e g(x) h(x) per x x, dalla definizione di o piccolo e dalle proprietà della relazione di asintotico risulta x x h(x) = x x g(x) = Quindi = o(h(x)) e h(x). C ha È vera. Infatti, dalla definizione di o piccolo e della relazione di asintotico si + h(x) x x g(x) e dunque + h(x) g(x). = x x g(x) + h(x) g(x) = (4) A È falsa. Ad esempio la funzione = è continua e itata in [, + ) x + + mentre x dx = dx risulta convergente. x2 B È vera. Infatti, essendo itata in [, + ), esiste M > tale che M per ogni x [, + ). Si ha allora che M, x [, + ). x 2 x2 + + Essendo x dx convergente, dal criterio del confronto segue che dx converge e dunque, dal criterio di convergenza assoluta, anche dx converge.. x 2 C È vera. Infatti, essendo itata in [, + ), esistono m, M IR tali che m M per ogni x [, + ). Dalla proprietà del confronto degli integrali definiti risulta m(x ) M(x ) f(t) dt, x [, + ). x 2 x 2 x 2 Essendo m(x ) = x 2 ottiene che anche x 2 In alternativa, posto F (x) = M(x ) x 2 f(t) dt =. =, dal Teorema dei carabinieri si f(t) dt, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che F (x) è derivabile in (, + ) con F (x) = per ogni x (, + ). Dal Teorema di De L Hopital, essendo itata, risulta allora F (x) = x 2 2x =. 2

3 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del 9//27 () Dare la definizione di funzione continua, classificare le discontinuità e fornire i relativi esempi. (2) Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (Teorema dei carabinieri ) per iti di successioni. (3) Sia una funzione continua, itata e positiva in [, + ) e sia F (x) = x f(t) dt per ogni x. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. F (x) è itata in [, + ). Vero Falso B. Esiste F (x). Vero Falso C. F (x) è convessa in (, + ). Vero Falso (4) Sia una funzione derivabile in IR con derivata strettamente crescente e tale che f () =. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. x = è punto di minimo per in IR. Vero Falso B. non ammette massimo in IR. Vero Falso C. sup IR. Vero Falso x IR 3

4 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È falsa. Si consideri ad esempio la funzione =, continua, positiva e itata in [, + ). Si ha F (x) = dt = x, funzione non itata in [, + ). B È vera. Infatti, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che F (x) è derivabile con F (x) = per ogni x >. Essendo per ipotesi positiva, avremo che F (x) risulta strettamente crescente e quindi che esiste il ite F (x) = sup F (x). x C È falsa. Ad esempio la funzione = e x è continua, itata e positiva in [, + ) mentre F (x) = e x < ). e t dt = e x è concava in (, + ) (infatti F (x) = (4) A È vera. Infatti, essendo f (x) strettamente crescente con f () =, avremo che f (x) > per ogni x > e f (x) < per ogni x <. Ne segue allora che f() per ogni x IR. In alternativa, si osservi che essendo f (x) strettamente crescente, la funzione risulta convessa in IR e per ogni x, x IR avremo f(x ) + f (x )(x x ). In particolare, essendo f () =, avremo f() per ogni x IR. B È vera. Infatti, per quanto provato nel punto B, f (x) per ogni x e x = è punto di minimo. Essendo la funzione derivabile in tutto IR, non esisteranno altri punti stazionari per in IR e quindi, dal Teorema di Fermat, deduciamo che non ammette punti di massimo in IR. In alternativa, si osservi che essendo f (x) strettamente crescente, la funzione risulta strettamente convessa in IR e per ogni x x avremo > f(x ) + f (x )(x x ). Se per assurdo esistesse x IR punto di massimo, dal Teorema di Fermat avremo f (x ) = e dunque > f(x ) per ogni x x, una contraddizione. C È falsa. Infatti la funzione = x2 è derivabile con derivata strettamente crescente e f () = ma sup = = +. x IR 4

5 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del 9/3/27 () Fornire la definizione di funzione integrabile secondo Riemann. (2) Enunciare e dimostrare il Teorema di regolarità delle successioni monotone. (3) Sia ( ) successione positiva e convergente e sia (b n ) successione infinitesima. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. ( b n ) è itata. Vero Falso B. ( b n ) è itata. Vero Falso C. (a bn n ) è convergente. Vero Falso (4) Sia una funzione derivabile in IR con f (x) per ogni x IR. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. l equazione = non ammette soluzioni. Vero Falso B. l equazione = ammette al più una soluzione. Vero Falso C. l equazione = ammette almeno una soluzione. Vero Falso 5

6 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È vera. Essendo () successione convergente, ( ) risulta itata. Poichè (b n ) è infinitesima, il prodotto ( b n ) sarà successione infinitesima e dunque itata. B È falsa. La successione b n = è infinitesima, la successione n = è positiva n 2 e convergente ma bn = n è divergente. C È falsa. Ad esempio la successione = e n2 è positiva e convergente, la successione b n = è infinitesima ma abn n n = e bn log an = e n è divergente. (4) A È falsa. Infatti, = x è funzione derivabile in IR con f (x) = per ogni x IR ma = ammette come soluzione x =. B È vera. Infatti se per assurdo esistessero due soluzioni a < b allora risulterebbe continua in [a, b], derivabile in (a, b) con f(a) = f(b) =. Dal Teorema di Rolle si avrebbe allora che esisterebbe x (a, b) tale che f (x ) =, in contraddizione con f (x) per ogni x IR. C È falsa. Infatti, = ex è funzione derivabile in IR con f (x) = e x per ogni x IR ma l equazione = non ammette soluzione. 6

7 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del 6/4/27 () Fornire la definizione di funzione convessa ed enunciare i criteri di convessità. (2) Enunciare e dimostrare il Teorema e la Formula fondamentale del calcolo integrale. (3) Siano ( ) e (b n ) successioni regolari tali che =. Provare di ciascuna n + b n delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. ( + b n ) è regolare. Vero Falso B. ( b n ) è convergente. Vero Falso C. ( b n ) è divergente. Vero Falso (4) Sia una funzione continua e decrescente in [, + ) tale che Posto F (x) = falsa. =. f(t) dt, provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o A. F (x) è crescente. Vero Falso B. F (x) è concava. Vero Falso C. F (x) = +. Vero Falso 7

8 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È vera. Infatti, poichè = si ha n + b n + b n = n + b n( + ) = n + b n n + b n ed essendo (b n ) regolare ne segue che è tale anche ( + b n ). B È falsa. Le successioni = e b n = n sono regolari e tali che an b n = risulta n infinitesima ma il prodotto b n = n è divergente. C È falsa. Ad esempio le successioni = ( )n e b n 2 n = sono regolari e tali che n = ( )n risulta infinitesima mentre bn n = n non è divergente. ( ) n bn (4) A È vera. Infatti essendo decrescente, risulta inf = = x [,+ ) e quindi per ogni x [, + ). Dal Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha inoltre che F (x) = per ogni x (, + ). Dunque, dai criteri di monotonia, F (x) risulta crescente. B È vera, infatti essendo F (x) = per ogni x (, + ) e per ipotesi decrescente, dai criteri di convessità si ottiene che F (x) è concava in (, + ). C È falsa. Infatti, = è funzione continua e decrescente in [, + ) con +x 2 x = ma F (x) = f(t) dt = arctan x è tale che F (x) = π 2. 8

9 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del 8/6/27 () Fornire la definizione di integrale improprio su intervalli ilitati e provare che per ogni p > l integrale + x p dx è convergente. (2) Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza dell estremo superiore. (3) Sia funzione derivabile e convessa in IR. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. è monotona in IR Vero Falso B. se esiste x IR tale che f (x ) > allora = + Vero Falso C. ammette minimo in IR Vero Falso (4) Sia ( ) n una successione divergente. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. arctan( ) è convergente Vero Falso B. sin( ) è indeterminata Vero Falso C. e an è divergente Vero Falso 9

10 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È falsa. Si pensi ad esempio alla funzione = x2, derivabile e convessa in IR mon monotona su tutto IR. B È vera. Infatti, poichè è derivabile e convessa in IR risulta f(x ) + f (x )(x x ) per ogni x IR. Essendo per ipotesi f (x ) > si ha f(x ) + f (x )(x x ) = + e dal Teorema del confronto si deduce che = +. C È falsa. Ad esempio la funzione = ex è funzione derivabile e convessa ma non ammette minimo in IR. (4) A È vera. Infatti essendo () divergente, potrà essere + e dunque arctan( ) π 2 oppure e quindi arctan( ) π 2. B È falsa. Ad esempio la succesione = nπ è divergente mentre sin( ) = è convergente. C È falsa. Se allora e an risulta convergente essendo e an.

11 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del 9/7/27 () Fornire la definizione di integrale indefinito. Regole di integrazione per parti e per sotistuzione. (2) Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. (3) Sia funzione continua e itata in [, + ) e sia F (x) = f(t) dt per ogni x [, + ). Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. esiste F (x) Vero Falso F (x) B. x = Vero Falso F (x) C. = Vero Falso x 2 (4) Sia derivabile in IR con f() = e > per ogni x. Posto g(x) =, provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. g(x) è derivabile in x =. Vero Falso B. se g(x) è derivabile in x = allora g () = Vero Falso

12 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È falsa. Si pensi ad esempio alla funzione = cos x, continua e itata in IR ma tale che F (x) = cos t dt = sin x non ammette ite per x +. B È falsa. Ad esempio la funzione = è continua e itata in IR ma F (x) F (x) = dt = x è tale che =. x C È vera. Infatti, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione F (x) è derivabile in (, + ) con F (x) =. Dal Teorema di de L Höpital, essendo itata, risulta allora F (x) = x 2 2x = (4) A È falsa. Si pensi ad esempio alla funzione = x2, derivabile con f() = e > per ogni x. La funzione g(x) = x 2 = x non risulta però derivabile in x =. B È vera. Infatti, osservato che risulta g() = e g(x) > per ogni x, abbiamo che x = è punto di minimo per g(x) in IR. Dal Teorema di Fermat si ha allora che se g(x) è derivabile in x = allora g () =. 2

13 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ed Elettronica Prima prova scritta di Analisi Matematica del /9/27 () Fornire la definizione di derivata ed il suo significato geometrico. (2) Enunciare e dimostrare il Teorema di integrabilità delle funzioni monotone. (3) Siano ( ) e (b n ) due successioni positive tali che = b n e = n + n + o(b n ) per n +. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. esiste n IN tale che b n per ogni n n. Vero Falso B. n + b n =. Vero Falso C. + b n = b n. Vero Falso n + n + (4) Sia funzione derivabile in IR con f() = f () =. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se è vera o falsa. A. x = è punto di massimo o di minimo relativo. Vero Falso B. x x =. Vero Falso C. IR. Vero Falso x x 2 3

14 Soluzione Per i quesiti () e (2) consultare il libro di testo e/o gli appunti del corso. (3) A È vera. Difatti, per definizione di o piccolo, n + bn =. Dalla definizione di ite si ottiene allora che esiste n IN tale che an b n per ogni n n e quindi, essendo e b n positive, b n per n n. B È falsa. Ad esempio le successioni = n e b n = n 2 sono positive e tali che n = n + n + n2 con n = o(n 2 ) ma n n + n2 = n + n2 ( ) =. n C È vera. Infatti, essendo = o(b n ), dalla definizione di o piccolo otteniamo + b n = b n( an n + n + b n + ) = b n. n + (4) A È falsa. Si pensi ad esempio alla funzione = x3, derivabile con f() = f () = ma tale che x = non è punto ne di massimo ne di minimo. B È vera. Infatti, per definizione di derivata, essendo f() = f () =, si ha x x = f() x x = f () = Equivalentemente, essendo derivabile, per ogni x IR risulta = f(x ) + f (x )(x x ) + o(x x ) e per x = si ottiene = o(x) ovvero x x =. C È falsa, la funzione = x 4 3 è derivabile in IR con f() = f () = ma = = +. x 2 x x 2 3 x 4