DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L Z) CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L Z) CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, ROMA, ITALY Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.). I paragrafi del libro indicati sono riferiti alla seconda edizione. Gli esercizi indicati nella forma n/m (esercizio n del gruppo m) sono riferiti alla versione del 1 ottobre 2011 degli Esercizi d esame e di controllo reperibili sul sito del corso. 1

2 1. Lunedì 26/9/2011 Presentazione del corso. Insiemi numerici N, Z, Q. Q introdotto mediante gli assiomi di campo totalmente ordinato. Teorema 1.1. Per ogni x Q, vale x 0 = 0. Per casa 1.2. Dimostrare che per ogni x Q, ( 1) x = x. Dimostrare che non può esistere l elemento inverso di 0. Dimostrare che ( 1) x = x. Dimostrare che x y, z 0 implica x z y z. Teorema 1.3. (Densità) Dati due razionali x < y esistono infiniti razionali z tali che x < z < y. Rappresentazione decimale dei razionali. Teorema 1.4. Non esiste nessun x Q tale che x 2 = 2. Approssimazione di 2 per eccesso e per difetto con numeri razionali. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, Mercoledì 28/9/2011 Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Definizione di maggiorante e minorante, di estremo superiore e inferiore, di massimo e di minimo. Definizione di estremo superiore come il più piccolo dei maggioranti. Assioma dell esistenza dell estremo superiore in R di ogni insieme limitato superiormente. Definizione di potenza reale di base reale (positiva). Per casa 2.1. Teorema 2.2. Se A è limitato superiormente, inf( A) = sup A. Teorema 2.3. (s.d.) Dati x R ed ε > 0 esistono q 1, q 2 Q e r 1, r 2 R \Q tali che x ε < q 1 < x < q 2 < x + ε, x ε < r 1 < x < r 2 < x + ε. Esempio 2.4. Calcolo di sup e inf di: A = {1 1 } n n = 1, 2, 3,..., B = {x Q x 2 < 11}, Definizione di intervalli limitati aperti e chiusi. Teorema 2.5. (Proprietà Archimedea) Per ogni x, y > 0 reali, esiste n N tale che nx > y. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2,

3 3. Giovedì 29/9/2011 Teorema 3.1. L estremo superiore di un insieme è unico. Per casa 3.2. Teorema 3.3. sup A è il minimo dei maggioranti di A. Teorema 3.4. Se A è superiormente limitato, M = sup A se e solo se i) M è un maggiorante di A; ii) per ogni ε > 0 esiste x A tale che x > M ε. Esempio 3.5. Calcolo di sup e inf di { a n a n = 1 + 1, se n è pari; a n = 2 1 } n n, se n è dispari. Teorema 3.6. (Induzione) (s.d.) Se la proposizione P n è vera per n = n 0, e se allora P n è vera per ogni n n 0. Esempio 3.7. n k = k=0 P n vera = n(n + 1) 2, n k=0 P n+1 vera, x k = xn+1 1 x 1, x 1. Teorema 3.8. (Disuguaglianza di Bernoulli) Se a > 1, allora per k = 0, 1, 2, 3,... a k ka(a 1). Esempio 3.9. Sia x > 0, e definiamo A = { k x n k = 1, 2, 3,... } ; n=0 allora sup A = 1/(1 x) se 0 < x < 1, sup A = se x 1. Per casa A) Sia 0 < x < 1 e B = { p } x mi p = 1, 2, 3,... m i N, m 1 < m 2 < < m p ; i=1 si dimostri che sup B = 1 1 x. B) Determinare le somme n k 2. k=0 Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3.2,

4 4. Venerdì 30/9/2011 Definizione di valore assoluto di un numero reale. Teorema 4.1. Per x, y R, a > 0 vale se e solo se x y < a x a < y < x + a. Teorema 4.2. (Disuguaglianza triangolare) Per x, y, z R valgono e x + y x + y, x y x z + z y. Esercizio 4.3. Risolvere la disequazione: 2 x > x 2. Definizione di funzione; dominio, immagine, grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa di biiezione. Grafico ottenuto per simmetria rispetto alla retta y = x. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo. Esempi di esistenza e non esistenza del massimo e minimo. Funzioni monotone e strettamente monotone. Teorema 4.4. Se f : A R è strettamente monotona in A allora è invertibile in A. La funzione esponenziale a x e la sua inversa funzione logaritmo log a x (a > 1). Le principali proprietà del logaritmo. Funzioni goniometriche: cos, sin, tg. Le funzioni inverse arctg : R ( π/2, π/2), arcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2], arccos : [ 1, 1] [0, π]. Per casa 4.5. Dimostrare che arctg x + arctg 1 x = π 2, per ogni x > 0. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3.1, 1.3.3, App. 1.A, 2.1, 2.2.1, 2.2.3, 2.3, 2.4,

5 5. Lunedì 3/10/2011 Richiami sui vari insiemi numerici e sulle loro proprietà. Definizione dell insieme dei numeri complessi come insieme di coppie ordinate di numeri reali. Definizione delle operazioni di addizione e moltiplicazione e loro proprietà. Forma algebrica dei numeri complessi, proprietà del numero i. Coordinate polari nel piano e forma trigonometrica dei numeri complessi. Passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica e viceversa. Esercizi sulle operazioni in forma algebrica e sul passaggio da una rappresentazione all altra di vari numeri complessi. Paragrafi di riferimento sul testo: Mercoledì 5/10/2011 Teoremi sul prodotto e rapporto di due numeri complessi in forma trigonometrica. Potenza con esponente intero positivo di un numero complesso. Funzione esponenziale complessa e rappresentazione esponenziale dei numeri complessi. Teorema sulle radici di numeri complessi. Esercizi sul calcolo del prodotto, rapporto e potenze di numeri complessi in forma trigonometrica. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4,

6 7. Giovedì 6/10/2011 Definizione di funzione composta f g. La composizione è associativa ma non commutativa. Teorema 7.1. Se f e g sono entrambe crescenti, o decrescenti, f g è crescente. Se una delle due è crescente e l altra decrescente, f g è decrescente. Definizione di funzioni pari e dispari. Esempio 7.2. Caso delle potenze intere: sono pari [dispari] se l esponente è pari [dispari]. Teorema 7.3. Siano f pari, g dispari; oppure f dispari, g pari; oppure f pari, g pari; allora f g è pari. Siano f dispari, g dispari; allora f g è dispari. Esempi di comportamento di funzioni vicino a x = 0: x 2, [x], sin 1 x, 1 x sin 1 x. Definizione di limite finito di una funzione f(x) per x x 0. Esempio 7.4. Esistenza di e non esistenza di lim x 0 x2, lim [x]. x 0 Paragrafi di riferimento sul testo: 2.2.2, 2.5,

7 8. Venerdì 7/10/2011 Definizione di limite (finito e infinito) di una funzione f(x) per x x 0, x x 0 ±. Teorema 8.1. Casistica di lim x x 0 [f(x) + g(x)]. Esempio 8.2. Limiti per x 0+ di f(x) + g(x), ove g(x) = 1/x, x > 0, e f(x) = 1 x, f(x) = 2 x, f(x) = 1 x + sin 1 x, x > 0. Teorema 8.3. Casistica di Teorema 8.4. Casistica di lim [f(x) g(x)]. x x 0 f(x) lim x x 0 g(x). Per casa 8.5. Casistica di lim x 0+ xα x β, α, β R. Per casa 8.6. Costruire un esempio ove lim f(x) = +, lim x 0+ Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3. g(x) = +, lim x 0+ f(x) x 0+ g(x). 9. Lunedì 10/10/2011 Polinomi ed equazioni algebriche in campo complesso. Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado. Teorema fondamentale dell algebra (s.d.). Decomposizione di un polinomio. Polinomi a coefficienti reali e loro decomposizione in fattori di primo e secondo grado. Esercizi vari sulle equazioni algebriche. Esercizi di ricapitolazione sulle operazioni con i numeri complessi. Paragrafi di riferimento sul testo:

8 10. Mercoledì 12/10/2011 Risoluzione di equazioni algebriche in campo complesso utilizzando la forma algebrica. Richiami sulla definizione di limite nei vari casi ed esempi. Esercizi di verifica del limite utilizzando la definizione. Definizione di funzione continua. Teorema sull unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.4, 3.2, Giovedì 13/10/2011 Teorema inverso della permanenza del segno. Limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto. Teorema del confronto. Richiami sulle operazioni con i limiti e forme indeterminate. Teorema sui limiti delle funzioni monotone. Limiti e continuità della funzione esponenziale e della funzione logaritmo. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.2, Venerdì 14/10/2011 Limiti e continuità della funzione potenza e delle funzioni trigonometriche dirette e inverse, mediante il teorema sui limiti delle funzioni monotone. Limiti di funzioni esponenziali-potenze e relative forme indeterminate. Teorema sui limiti delle funzioni composte. Limite all infinito di funzioni razionali. Esercizi sugli argomenti trattati. Paragrafi di riferimento sul testo: Lunedì 17/10/2011 Esercizi sui limiti di funzioni esponenziali-potenze. Definizione di infiniti e infinitesimi e loro confronto. Uso del simbolo o(1). Limiti di funzioni razionali che si presentano come rapporto di infinitesimi. Principio di sostituzione degli infiniti e degli infinitesimi. Limiti notevoli di funzioni trigonometriche. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.4, 3.5,

9 14. Mercoledì 19/10/2011 Ordine di un infinito o infinitesimo rispetto a un infinito o infinitesimo campione. Confronto fra infiniti di tipo esponenziale e potenza. Confronto fra infiniti di tipo logaritmico e potenza. Esercizi vari sul confronto fra infiniti e infinitesimi. Esercizi sul calcolo dell ordine di infiniti o infinitesimi. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.6, 5.3, Giovedì 20/10/2011 Esercizi sull estremo superiore e inferiore: 1, 3, 4/ Venerdì 21/10/2011 Esercizi sul confronto e sull ordine di infinitesimi e infiniti. Definizione di successione e limite di successioni. Richiami sulle operazioni con i limiti e forme indeterminate. Riformulazione dei teoremi sui limiti nel caso delle successioni : unicità del limite, confronto, permanenza del segno, teorema sui limiti delle successioni monotone. Esempi vari. Definizione del numero e come limite di una successione monotona crescente. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1,

10 17. Lunedì 24/10/2011 Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Continuità da destra e da sinistra. Teorema Se f e g sono continue allora f + g, fg, f g, f/g se g 0, f g se f > 0, sono continue. Permanenza del segno per funzioni continue. Discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Esempio sin 1 sin x, [x], f(x) = x, x 0, x 0, x = 0, Esempio17.3. Lafunzionedi Dirichlet: f(x) = 0se x Q, f(x) = 1se x Q. Per casa Dimostrare che la funzione definita per x > 0 da 0, x Q, f(x) = 1 p, x = m p, con m, p N primi tra loro, è continua in R \Q. Teorema (Esistenza degli Zeri) Sia f C([a, b]), con f(a)f(b) < 0. Allora esiste c (a, b) tale che f(c) = 0. Dimostrazione del precedente teorema con il metodo del sup e con quello delle bisezioni. Per casa Costruireunafunzione continuain [0, 1] con infiniti zeri isolati. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.1, 6.2, Mercoledì 26/10/2011 Dimostrazione della monotonia e limitatezza inferiore della successione che converge ad e. Ulteriori limiti notevoli e relativi esercizi. Confronto fra successioni che tendono all infinito, in particolare il caso delle successioni n! e n n. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.2,

11 19. Giovedì 27/10/2011 Criterio del rapporto per il confronto di successioni. Teorema sul rapporto tra limiti di funzioni e limiti di successioni (s.d.). Limitatezza delle successioni convergenti. Successioni estratte o sottosuccessioni. Relazione fra i limiti di una successione e quelli delle sue estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni limitate. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.3, Venerdì 28/10/2011 Teorema dei valori intermedi per funzioni continue. Teorema Se f C(I) e I è un intervallo, allora f(i) è un intervallo. Teorema Una funzione monotona può avere punti di discontinuità solo di prima specie. Teorema Se f C(I) con I intervallo è invertibile, allora f è strettamente monotona. Teorema L inversa di una funzione continua è continua. Esempio Definita g(a) come il valore dell unico x > 0 tale che 1 2 x = a x, studiare la monotonia di g, e (per casa) trovare lim g(a). a Esercizio Studiare la convergenza della successione definita per ricorrenza da a 1 = 1, a n+1 = sin a n, n 1. Esercizio 1/720. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.2, 6.3,

12 21. Lunedì 31/10/2011 1/2 Lemma Una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso è ivi limitata. Teorema (Weierstrass) Una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso assume il suo massimo e il suo minimo. Teorema Una funzione f continua in [0, ), tale che f( x) 0 per qualche x 0 e lim x f(x) = 0, assume il suo massimo in [0, ). Esempi di funzioni continue e no che assumono i loro estremi o no. Il caso delle funzioni monotone. Paragrafi di riferimento sul testo: Lunedì 31/10/2011 2/2 Esercizi sui limiti di successioni: 4/710, 2/720. Definizioni di sinh x, cosh x, tgh x. Esercizio Dimostrare che l equazione ha infinite soluzioni positive. Esercizio Esercizio lim n tgh x = sin x n + 1 tg 1. n + 2 n x ln(1 + arctg x) lim. x 0 e e cos4 x 23. Mercoledì 2/11/2011 Definizione di successione definita per ricorrenza (o ricorsiva). Successione di Fibonacci. Studio della monotonia della successione. Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone crescenti. Discussione dell equazione limite. Esempi vari. Paragrafi di riferimento sul testo:

13 24. Giovedì 3/11/2011 Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone decrescenti. Esempi e esercizi vari sulle successioni ricorsive. Paragrafi di riferimento sul testo: Venerdì 4/11/2011 Definizione di suddivisione di un intervallo. Ampiezza di una suddivisione. Raffinamenti di suddivisioni. Somma superiore S(D, f) e inferiore s(d, f) relative a una suddivisione e a una funzione. Lemma Se D 2 D 1 allora s(d 2, f) s(d 1, f) S(D 1, f) S(D 2, f). Definizione di integrale secondo Riemann di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato. Esempio Integrale di funzioni costanti. La funzione f(x) = x è integrabile. Per casa Dimostrare che una funzione costante a tratti è integrabile. Esercizio Convergenza della successione a 1 = 1, a n+1 = a n + 2. Paragrafi di riferimento sul testo:

14 26. Lunedì 7/11/2011 Lemma f R(a, b) se e solo se per ogni ε > 0 esiste D ε tale che 0 S(D ε, f) s(d ε, f) ε. Teorema Se f è monotona su [a, b] è integrabile su [a, b]. Teorema L integrale gode delle proprietà di linearità, monotonia, additività rispetto all intervallo di integrazione. Inoltre b b f f. a Corollario Una funzione monotona su [a, c] e su [c, b] è integrabile su [a, b]. Per casa Trovare una funzione tale che f R(a, b), ma f R(a, b). Esempio La funzione di Dirichlet non è integrabile. Esempio La funzione sin 1 f(x) = x, 0 < x 1, 0, x = 0, è integrabile in [0, 1]. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.2, 8.3. a 27. Mercoledì 9/11/2011 Funzioni lispchitziane. Costante di Lipschitz. Significato geometrico della definizione. Lemma Una funzione lipschitziana è continua. Proposizione Una funzione lipschitziana in [a, b] è integrabile in [a, b]. Definizione di modulo di continuità. Lemma Il modulo di continuità è lipschitziano con costante 1. Definizione di funzione uniformemente continua in I. Teorema Le funzioni in C([a, b]) sono uniformemente continue in [a, b]. Teorema Se f è uniformemente continua in [a, b] allora è integrabile in [a, b]. Corollario C([a, b]) R(a, b). Esempio f(x) = x, 0 x 1 non è lipschitziana, pur essendo uniformemente continua, con δ ε = ε 2. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.6,

15 28. Giovedì 10/11/2011 Studio dell uniforme continuità delle funzioni: x, x [0, ) ; 1 sin, x x (0, 1) ; sin x 2, x [0, ) ; x 2, x [0, ). Per casa Se f è uniformemente continua in [0, ) esistono due costanti a, b > 0 tali che f(x) ax + b, x 0. Lemma (s.d.) La funzione continua f : (a, b) R è uniformemente continua in (a, b) se e solo se esistono finiti i limiti f(a+) e f(b ). Teorema Sia f : [a, b] R limitata, e continua in [a, b] a parte un numero finito di punti di discontinuità. Allora f R(a, b). Definizione di media integrale M(a, b, f) := 1 b f(x)dx. b a a Teorema Vale inf [a,b] f M(a, b, f) sup [a,b] f. Corollario Se f C([a, b]) allora esiste c [a, b] tale che M(a, b, f) = f(c). Teorema Se f R(a, b) e f è continua in x 0, allora M(x, x 0, f) f(x 0 ) per x x 0. Esercizio Sia f C([a, b]), con 1 0 f = 0, 1 1 f < 0. Allora esiste c tale che 2 f(c) = 0. Per casa Siano f, g C([a, b]), con f > g su [a, b]. Allora b a f > b a g. Esercizio Studiare il limite della successione a n data da a n dx x + e x + 1 = n. 0 Esercizio Sia f C([a, b]), con β α f 0, per ogni [α, β] [a, b]. Allora f 0. Per casa Sia f : [0, ) R tale che f(x) L per x. Allora per ogni x 0 0 si ha M(x, x 0, f) L per x. Cenno iniziale agli integrali impropri. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.3,

16 29. Venerdì 11/11/2011 Retta tangente come migliore approssimazione lineare. Definizione di derivata. Esempi di derivate: ax + b, x 2, e x, x, sin x. Per casa Derivare cos x. Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange. Teorema Se f = 0 in un intervallo aperto, f è costante in quell intervallo. Definizione di b f con a b. a Teorema Se f è continua in x 0, allora posto si ha F (x 0 ) = f(x 0 ). F(x) = x a f(t)dt Teorema Se f è continua in [a, b], e F = f in (a, b), allora x a f(t)dt = F(x) + C, x [a, b]. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1, 7.7,

17 30. Lunedì 14/11/2011 Notazione di Leibniz. Teorema Se f è derivabile in x 0 allora è continua in x 0. Teorema Se f e g sono derivabili in x 0 allora: (αf + βg) (x 0 ) = αf (x 0 ) + βg (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ), ( f ) (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 ) 2, se g(x 0 ) 0. Derivate di x n e x n, n N. Definizione di integrale indefinito. Esempio b a x n dx = bn+1 a n+1 n + 1 Teoremi di derivazione di funzione composta e di funzione inversa. Derivate di ln x, x α α R, α x α > 0, tg x, arcsin x, arccos x, arctg x. Per casa Derivare cosh x, sinh x. Teorema Se f 0 [f > 0] in (a, b), allora f è [strettamente] crescente in (a, b). Se f 0 [f < 0] in (a, b), allora f è [strettamente] decrescente in (a, b). Per casa Studiare la monotonia di f(x) = ( x 1/4 3) 4. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4, Mercoledì 16/11/2011 prof. Filomena Pacella Definizione di serie numerica e somme parziali. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie geometrica, serie di Mengoli. Serie a termini non negativi. Serie armonica. Esempi vari. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.6, 4.7,

18 32. Giovedì 17/11/2011 Definizione di punto angoloso e di cuspide. Localizzazione di un estremo locale: punti critici. Definizione di derivata destra e sinistra. Ricerca degli asintoti obliqui. Per casa Studio della funzione Esempi di studio di funzione. f(x) = x 4 + arctg x 1. Esempio Calcolare f 1 (1) e (f 1 ) (1), se f : [ π/2, π/2] R è data da f(x) = e x + sin x. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.2, Venerdì 18/11/2011 Derivate seconde e successive. Classi C n ((a, b)). Definizione di funzione convessa e concava in un intervallo. Teorema Se f C 2 ((a, b)) e f 0 in (a, b), allora f è convessa in (a, b). Esempio Studio della funzione f(x) = x 4 + arctg x 1. Esempio La funzione f(x) = x 2 sin(1/x) è ovunque derivabile ma non ha derivata continua. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.8, 7.9,

19 34. Lunedì 21/11/2011 Teorema dell Hopital. Teorema di Cauchy. Esempio ( π ) lim x π 2 2 x tg x ; lim x 1 xe x x2 0 e t dt ; Definizione di integrale improprio, convergente e divergente. Esempio Calcolo di 1 ( π ) lim x x 2 arctg x. dx x α, α > 0. Per casa Calcolo di 1 0 dx x α, α > 0. Esempio Calcolo del limite a partire da ( π ) lim x x 2 arctg x π 2 arctg x = dt 1 + t 2. x Paragrafi di riferimento sul testo: Mercoledì 23/11/2011 prof. Filomena Pacella Serie resto e condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini positivi. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Criterio del rapporto. Esercizi vari. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.8.1,

20 36. Giovedì 24/11/2011 Cenno al differenziale di funzioni di due variabili. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Metodo dei fratti semplici per l integrazione di funzioni razionali. Esempi; esercizio 7/520. Per casa Dimostrare che dx (1 + x 2 ) m = x(x2 + 1) 1 m + 2m 3 2(m 1) 2m 2 dx (1 + x 2 ) m 1. Per casa Calcolare dx 1 + x 4. Paragrafi di riferimento sul testo: Venerdì 25/11/2011 prof. Filomena Pacella Criterio della radice per le serie. Esercizi vari sulle serie a termini non negativi. Serie di segno variabile. Convergenza assoluta e convergenza semplice. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (s.d.). La convergenza semplice non implica la convergenza assoluta. Serie a segni alterni e enunciato del criterio di Leibniz. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.8.3,

21 38. Lunedì 28/11/2011 Integrazione per sostituzione di varie funzioni riconducibili a funzioni razionali: Esempi. R(x, a 2 ± (cx + d) 2 ), R(x, (cx + d) 2 a 2 ). Esempio Integrazione per parti di e ax cos(bx)dx. Esercizi 6/520, 1/580. Esercizio Trovare una stima inferiore per f(1), sapendo che f C 2 (R), f(0) = 0, f(1/2) = 1, f 0. Per casa Trovare una funzione f tale che f(x) 2 = Per casa Calcolare x 0 t f(t) 1 + t 2 dt, x R. x2 + x dx. x Paragrafi di riferimento sul testo: Mercoledì 30/11/2011 prof. Filomena Pacella Dimostrazione del criterio di Leibniz. Stima dell errore per serie a segni alterni. Confronto tra serie numeriche e integrali impropri. Criterio dell integrale per la convergenza di una serie numerica. Esercizi vari. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.9.1,

22 40. Giovedì 1/12/2011 Polinomi di Taylor. Teorema Il polinomio di Taylor T n di ordine n è l unico polinomio di grado n tale che T (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) per k = 1,..., n. Teorema (Peano) Il polinomio di Taylor T n di ordine n è l unico polinomio di grado n tale che f(x) = T n (x) + o((x x 0 ) n ), x x 0. Esempio Sviluppi di MacLaurin di e x, sin x. Per casa Sviluppo di MacLaurin di cos x. Esercizio 2/310. Paragrafi di riferimento sul testo: Venerdì 2/12/2011 Esercizi sugli sviluppi di Taylor. Teorema (Formula del resto di Lagrange) Sia f C n+1 ((a, b)). Allora, se x, x 0 (a, b) e T n denota il polinomio di Taylor di f in x 0, vale f(x) T n (x) = f (n+1) (c x ) (x x 0 ) n+1, (n + 1)! ove c x appartiene all intervallo di estremi x 0 e x. Esempi di serie di Taylor. Paragrafi di riferimento sul testo: Lunedì 5/12/2011 Serie di Taylor. Serie di potenze. Definizione di raggio di convergenza R. Teorema L insieme di convergenza di una serie di potenze è un intervallo di raggio R centrato in x 0. Teorema Se esiste uno dei limiti k ak = L, allora R = 1/L. lim k a k+1 lim = L, k a k Ogni serie di potenze convergente è la serie di Taylor della sua somma. Esercizi: 7/110, 5/420. Paragrafi di riferimento sul testo: 9.3,

23 43. Mercoledì 7/12/2012 Definizione di punti di flesso. Test delle derivate successive per i punti critici. Esempio Applicazione del test a f(x) = x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1. Esercizio 1/800. Paragrafi di riferimento sul testo: Venerdì 9/12/2011 Esercizi: 2,4/770, 8/110. Esempio L integrale converge, ma non assolutamente. Per casa Dimostrare che 0 0 sin x x dx x n e x dx = n!, n N. 45. Lunedì 12/12/2011 Esercizi 1/420, 12/770, 2/800. La formula di Stirling n! = 2πn n+ 1 2 e n e θn 12 n, n 1, con 0 < θ n < 1, θ n 1 per n, e applicazioni. Studio della convergenza delle serie: n α (mn)!, ( x 2 ) n n!, n con m N, m 1, α > 0. n=1 n=1 Per casa Studiare la convergenza di 1 n(ln n) α, al variare di α R. Per casa Calcolare il limite lim x 0 n=2 x(x4 x 2 x + 1) 2 x arctg x. Paragrafi di riferimento sul testo:

24 46. Mercoledì 14/12/2011 Ricapitolazione. Esercizi 7/770, 6/ Giovedì 15/12/2011 Ricapitolazione. Esercizi 3,9,11/