ANALISI MATEMATICA 1 CORSI DI LAUREA TRIENNALE IN FISICA E MATEMATICA

Transcript

1 ANALISI MATEMATICA CORSI DI LAUREA TRIENNALE IN FISICA E MATEMATICA Programma del corso Analisi Matematica Le indicazioni di paragrafi, definizioni, esempi e teoremi si riferiscono al libro M.Bertsch, R. DalPasso, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 20. Gli studenti devono conoscere le dimostrazioni dei Teoremi, Lemmi o Corollari indicati in grassetto. Cap. Insiemi numerici par..,.2,.3,.4,.5..: Richiami di insiemistica. I quantificatori per ogni ed esiste ed il loro uso. I simboli,,,. Prodotto cartesiano di insiemi..2: Gli insiemi N,Z,Q. Operazioni e ordinamento in N, Z e Q. Rappresentazione decimale. La proprietà di densità di Q. La proprietà di Archimede..3: I numeri reali. Lemma.: Non esiste x Q tale che x 2 = 2. Def.2 di numero reale. R è un insieme ordinato. Teor.3 Proprietà di densità. Def.4 di valore assoluto. La disuguaglianza triangolare. Definizione di maggiorante, minorante, massimo e minimo (Def.5, Def.6). Definizione di estremo superiore ed inferiore (Def.8). Uso dei simboli + e in questo contesto. Teor.0 di completezza di R: se A è un sottoinsieme limitato e non vuoto di R allora esistono supa e infa. Operazioni in R. Esistenza della radice n-esima di un numero reale positivo. Definizione dix p/q perx > 0ed elevamento apotenzacon esponentereale. Esistenza del logaritmo..4: I numeri complessi. Il piano complesso. Rappresentazione algebrica e trigonometrica di un numero complesso: parte reale e parte immaginaria, modulo e argomento. Le operazioni di somma e prodotto e la loro interpretazione geometrica sul piano complesso. Potenze di un numero complesso. Teor.8: Radici n-esime di un numero complesso e loro rappresentazione sul piano complesso. Rappresentazione esponenziale e iθ = cosθ +isinθ. Il Teorema fondamentale dell algebra (Teor.9)..5: Il principio di induzione. Esempi: la disuguaglianza di Bernoulli; n k= k2 = n(n+)(2n+) 6. Appendice: I coefficienti binomiali. la formula del binomio di Newton. Cap. 2 Funzioni Par. 2., 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, : Dominio, codominio, grafico e immagine (Def 2.). La funzione identità X. Restrizione di una funzione. Proiezione canonica. Le successioni come funzioni N R.

2 2.2: Funzioni reali di una variabile reale. Def 2.3 di funzione monotona. Definizione di funzione pari e dispari. Funzioni periodiche. Funzioni elementari e loro grafico: potenze, esponenziali e logaritmi. Funzioni trigonometriche: x sinx, x cosx, x tanx. 2.3: Estremo superiore/inferiore, massimo/minimo. Def 2.5, 2.6 di funzione limitata e di funzione positiva. Def 2.7 di estremo superiore/inferiore di f in A. Def 2.8 di massimo/minimo e di punto di massimo/minimo di f in A. 2.4: Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive (Def 2.9). Legame con la risolvibilità dell equazione y = f(x). Es 2.2 di insieme numerabile. 2.5: Composizione di funzioni. Def 2.0 di funzione composta. Proprietà associativa della composizione. Composizione di funzioni monotone (Teor 2.). Composizione di funzioni iniettive. 2.6: Funzione inversa. Def 2.2, 2.3 di funzione inversa e di invertibilità su un sottoinsieme del dominio. Teor 2.4. Le funzioni trigonometriche inverse. Relazione fra invertibilità e monotonia: Teor : Operazioni sulle funzioni. Combinazione lineare di funzioni. Valore assoluto, parte positiva e parte negativa di f. Riscalamenti, traslazioni e riflessioni. Cap. 3 Proprietà locali di una funzione e limiti par. 3., 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, : Intorni. Def 3. di distanza e Def 3.2 di intorno sferico. Proprietà degli intorni. Def 3.4 di intorno di + o di e la retta reale estesa R. Def 3.3 di massimo e minimo locale. Def 3.5 di punto di accumulazione e di punto isolato di un insieme E R. Lemma 3.6: ogni intorno di un punto di accumulazone contiene infiniti punti. Teor 3.7 di Bolzano-Weierstrass: Sia E R limitato e infinito. Allora esiste almeno un punto di R che è punto di accumulazione di E. Def 3.8 di proprietà vera definitivamente per x x 0 oppure per x ±.. Def 3.9 di punto interno, esterno e di frontiera di E R. Def 3.0 di sottinsiemi aperti o chiusi di R. Teor 3.: E R limitato, chiuso e non vuoto ha massimo e minimo. 3.2: Limite. Definizione generale di limite (Def 3.2) e osservazioni. Esempi di non esistenza del limite. Teor 3.3: di unicità del limite. Teor 3.4: di permanenza del segno. Limite destro o sinistro, per eccesso e per difetto (Def 3.5, Def 3.6, Def 3.7). 3.3: Proprietà dei limiti. Algebra dei limiti (Teor 3.8). Teor 3.9: del confronto. sinx cosx Esempi: lim x 0 x = ; lim x 0 = x 2 2. Teor 3.20 aritmetica parziale di R. 2

3 Teor 3.2: di esistenza del limite per funzioni monotone. Teor 3.22 Limite di funzione composta. Cambiamento di variabile nei limiti. 3.4: Funzioni infinitesime e infinite. Def 3.23: infinitesimi, infiniti, il simbolo o() e la sua algebra. 3.6: Confronti fra infinitesimi e infiniti. Teor 3.27: confronti fra logaritmi, potenze, esponenziali. Ordine di infinito o di infinitesimo. Cap. 4: par. 4., 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8 Successioni e Serie 4.: Def 4. di successione convergente, divergente e irregolare. Prop 4.2: permanenza del segno, confronto, successioni monotone. n Gerarchie di infiniti. Per qualsiasi K > 0, a >, b > : lim K n + a = 0 e n log lim b n n + = 0. n K 4.2: Il numero e. (Teor 4.3) e (Def 4.4). 4.3: Def 4.5 di sottosuccessione. Teor 4.6: una successione ha limite l se e solo se ogni sottosuccessione ha limite l. Teor 4.7: ogni successione reale limitata ha una sottosuccessione convergente. 4.4: Criterio di Cauchy. Def 4.8 di successione fondamentale o di Cauchy. Teor 4.9 (Criterio di Cauchy): Una successione è convergente se e solo se è fondamentale. 4.5: Successioni ricorsive. Def 4.0 ed Es 4.8 di successione di Fibonacci. 4.6: Sommatorie. Progressione geometrica. 4.7: Serie numeriche. Termini di una serie. Somme parziali. Coda di una serie. Definizione di serie convergente, divergente ed irregolare (Def 4.2). Teor 4.3: Condizione necessaria di convergenza di una serie. La serie di Mengoli (Es 4.0) e la serie geometrica (Def 4.4 e Teor 4.5). 4.8: Serie a termini positivi. Le serie a termini positivi sono convergenti o divergenti a + (Teor 4.6). La serie armonica + k= k è una serie divergente (Es 4.). Teor 4.7 e Teor 4.8: Criterio del confronto e criterio del confronto asintotico. Es 4.3: le serie armoniche generalizzate + n= n s Il criterio di condensazione (Teor 4.9). Il criterio della radice e il criterio del rapporto (Teor 4.20 e Teor 4.2). 4.9: Serie a segno variabile. Convergenza semplice e convergenza assoluta (Def 4.22 e Teor 4.23). Criterio di Cauchy per le serie (Teor 4.24). Criterio di convergenza di Leibniz per serie a segni alterni e stima dell errore (Teor 4.25). Cap. 5: par. 5., 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 Complementi di teoria dei limiti 5.: Limiti notevoli lim x ± e x log(+x) lim = ; lim x 0 x x 0 x Funzioni iperboliche e loro inverse. ( + x) x = e; lim x 0 (+x)/x = e 3 (+x) α = ; lim = α x 0 x

4 5.2: Asintoti orizzontali, obliqui e verticali (Def 5. e Def 5.2) 5.3: I simboli di Landau Significato di f g, f = o(g), f = O(g), f g per x x 0 e loro relazioni f g g f, f g e g h = f h f g g f, f g e g h = f h f g = f g = f = O(g); f = o(g) = f = O(g). 5.4: Ordini di infinito e infinitesimo (Def 5.4) 5.5: Non esistenza di limiti. Relazione fra limiti di funzioni e limiti di successioni: il teorema ponte (Teor 5.5). Cap. 6: par. 6., 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 Funzioni continue 6.: Definizione e proprietà elementari Funzione continua in un punto (Def 6.) e funzione continua in un insieme (Def 6.5). Funzioni continue da sinistra e da destra (Def 6.2). Esempi 6., 6.2, 6.4. Teor 6.3 di permanenza del segno per funzioni continue. La somma, il prodotto e la composizione di funzioni continue è una funzione continua (Teor 6.4). C(X) è uno spazio vettoriale. 6.2: Punti di discontinuità. Vari tipi di discontinuità (Def 6.6) Es 6.7 ed Es 6.8 la funzione di Dirichlet Teor 6.9 sulle possibili discontinuità delle funzioni monotone. 6.3: Teorema degli zeri. Teor 6.8 Teorema degli zeri e metodo di bisezione. (Cor 6.9) sulla risolvibilità dell equazione f(x) = g(x). Teor 6.0 dei valori intermedi. L immagine continua di un intervallo è un intervallo (Cor 6.). Monotonia e invertibilità. Teor 6.2: se f : I R è continua e invertibile in I allora è strettamente monotona. 6.4: Continuità delle funzioni inverse. Teor 6.3 di continuità della funzione inversa di una funzione continua. 6.5: Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teor 6.4 (di Weierstrass) Esistenza di massimo e minimo di f C([a,b]). 6.6: Uniforme continuità. Definizione di funzione uniformemente continua (Def 6.7). Relazione fra continuità e uniforme continuità (Es 6.6 ed Es 6.7). Il teorema di Heine Cantor (Teor 6.8). Le funzioni uniformemente continue sono limitate sui limitati (Teor 6.9). Approfondimento facoltativo: Continuità lipschitziana e continuità uniforme. (Def 6.6) di funzione lipschitziana ed (Es 6.5). Def 5.6 di insieme compatto e Teor 5.7: K R è compatto se e solo se K è chiuso e limitato. (Teor 6.5) di Weierstrass per insiemi compatti. Cap.7 Calcolo differenziale par 7.,..., : Retta tangente e derivata. Migliore approssimazione lineare (Def 7.) e retta tangente (Def 7.2). Def 7.3 di funzione derivabile. 4

5 Teor 7.4: f è derivabile in x 0 se e solo se esiste la retta tangente non verticale al grafico di f in (x 0,f(x 0 ). Teor 7.6: se f è derivabile in I allora f è continua in I. Esempi di funzioni continue non derivabili (Es 7.2). Funzioni di classe C (Def 7.8). 7.2: Derivate destre/sinistre (Def 7.0). Punti angolosi e cuspidi (Def 7.). 7.3: Proprietà elementari. Teor 7.2: derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili. L insieme C (I) delle funzioni derivabili su un intervallo I è uno spazio vettoriale. L applicazione derivata D : C (I) C 0 (I) f C (I) Df C 0 (I) è una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali C (I) e C 0 (I). Teor 7.3: derivata di una funzione composta (e.g. regola della catena). Teor 7.4: derivata della funzione inversa di una funzione derivabile. 7.4, 7.5: Derivate delle funzioni elementari ed esempi di calcolo di derivate. 7.6: Estremi locali e derivate. Def 7.6 di punto critico o stazionario. Teor 7.5 (di Fermat). Conseguenze: i possibili punti di estremo locale di una funzione (Cor 7.7). 7.7: Teorema del valor medio. Teor 7.8 (del valor medio o di Lagrange). Teor 7.9 (di Rolle). Il teorema di Cauchy (Teor 7.20). Conseguenze del Teorema di Lagrange. Teor 7.2: Relazioni fra monotonia e segno della derivata. Teor: Sia I un intervallo e f : I R. Se f (x) = 0 per x I allora f è costante nell intervallo I. Il teorema di de l Hôspital (Teor 7.22) ed il suo uso. (Teor 7.23). 7.8: Derivate di ordine superiore (Def 7.24). Le funzioni di classe C n e C. 7.9, 7.0: Funzioni convesse o concave (Def 7.26). Proprietà delle funzioni convesse (Teor 7.28). Relazione fra segno della derivata seconda e convessità (Teor 7.30). Tecniche di studio del grafico di una funzione. 7.: Polinomio di Taylor. Migliore approssimazione di una funzione n volte derivabile con polinomi di grado n (Def 7.33) Il polinomio di Taylor di ordine n con centro in x 0 : T n (x) := f(x 0 )+f (x 0 ) (x x 0 )+ 2 f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + +f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. La formula di Taylor con resto secondo Peano (Teor 7.34) Gli sviluppi di Taylor di alcune funzioni elementari (Tab 7.2). 7.2: Applicazioni del Teorema di Peano. Studio della natura dei punti stazionari (Teor 7.35) Calcolo dei limiti. 7.3: Approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor. Teor 7.36(Formula del resto di Lagrange) e applicazioni all approssimazione di funzioni. La Serie di Taylor di alcune funzioni elementari: e x = k=0 k! xk per ogni x R; sin(x) = k=0 ( )k (2k+)! x2k+ per ogni x R; cos(x) = k=0 ( )k (2k)! x2k per ogni x R; 5

6 log(+x) = k= ( )k k xk per ogni x (,); arctan(x) = k=0 ( )k 2k+ x2k+ per ogni x (,) Laformaesponenzialedeinumericomplessie ix := cos(x)+isin(x)perx Rel identità di Eulero e iπ + = 0. Cap 8 Integrali par 8., 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, : Definizione di integrale di Riemann. Def 8. di suddivisione D di un intervallo [a,b] e definizione (Def 8.2) di somma superiore S(D,f) e di somma inferiore s(d,f). Lemma 8.3. Def 8.4 di integrale secondo Riemann di una funzione f su un intervallo [a,b]. Relazione fra b a f(x)dx e area del sottografico di f. 8.2: Criteri di integrabilità e classi di funzioni integrabili. Condizione necessaria e sufficiente di integrabilità (Teor 8.5). Teor 8.6: di integrabilità delle funzioni continue su un intervallo [a, b]. Teor 8.7: Se f è monotona in [a,b] allora f è Riemann integrabile in [a,b]. (Teor 8.8): Sia f : [a,b] R una funzione limitata. Se f ha un numero finito di punti discontinuità in [a,b] allora f è Riemann integrabile in [a,b] 8.3: Proprietà dell integrale. Teor 8.9: Linearità e monotonia dell integrale, additività sull intervallo di integrazione e la disuguaglianza b a f(x)dx b a f(x) dx. Teor 8.0 della media integrale. 8.4: Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Def 8. di funzione integrale. Teorema (fondamentale del calcolo integrale): Sia f : [a,b] R Riemann integrabile in [a,b] e sia x 0 [a,b]. Sia F : [a,b] R, F(x) := x x 0 f(t)dt. Allora: () F è una funzione continua in [a,b]; (2) F è derivabile nei punti di continuità di f e se x è un punto di continuità di f allora F (x) = f(x). (3) Se f C((a,b)) allora F è una primitiva di f in (a,b). Esempi di studio del grafico di funzioni integrali. 8.5: Funzione primitiva. Integrale indefinito. Def 8.3 di primitiva di f in un intervallo I e il simbolo f(x)dx (integrale indefinito di f). Teor 8.4 e Cor 8.5: Se f C([a,b]) e F è una primitiva di f allora b a f(x)dx = F(b) F(a). 8.6: Calcolo delle primitive. Formula di integrazione per parti: (8.8) e (8.9). Esempio: La formula di Taylor con resto in forma integrale: se f : (a,b) R è (n+) volte derivabile in (a,b) e f (n+) è Riemann integrabile in (a,b) allora se x 0,x (a,b): f(x) = n k=0 k! f(k) (x 0 ) (x x 0 ) k + x n! x 0 f (n+) (t) (x t) n dt. Formula di integrazione per sostituzione: (8.20) e (8.2). Integrazione di funzioni razionali (Es 8.22) (Es 8.23) (Es 8.24). Alcune sostituzioni (Es 8.27) (Es 8.29) (8.30). 8.7: Integrabilità in senso improprio. Def 8.8 di integrale in senso improprio o generalizzato. (Es 8.33) 0 x α dx e + x α dx. (Es 8.34) + 2 x(logx) β dx. (Es 8.35)(Es 8.36) + +x dx e x +x 2 dx.

7 Teor 8.9 e Cor 8.20 Criterio del confronto e del confronto asintotico. (Es 8.39) La funzione di Gauss f(x) := e x2 è integrabile in senso generalizzato in R. La funzione errore erf(x) := 2 x π 0 e t2 dt. Def 8.2 di funzione assolutamente integrabile in senso improprio. Relazioni fra integrabilità in senso improprio e assoluta integrabilità in senso improprio (Teor 8.22) ed (Es 8.45). Cap 9 Complementi sulle serie par 9. 9.: Serie numeriche e integrali impropri. Criterio integrale per serie a termini positivi (Teor 9.) ed (Es 9.). 7