Insiemi. Numeri complessi

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1 Anno accademico: Corso di laurea in Ingegneria Aer, Bio, Chi, Ele, Ene, Mater, Mec. Programma di Analisi Matematica I (codice: 6ACFES, 6ACFET, 6ACFEU, 6ACFEX, 6ACFFD, 6ACFFF, 6ACFFN) IA-MZ) Docente: Lancelotti Sergio (Quarto corso: Insiemi Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Valore assoluto di un numero reale. Proprietà del valore assoluto. Intervalli sulla retta reale. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Sottoinsiemi limitati e illimitati. Sottoinsieme denso in R. Fattoriale di un numero naturale. Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton. Numeri complessi I numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Forma cartesiana (o algebrica) di un numero complesso. Operazioni con i numeri complessi: somma e prodotto. Modulo e coniugato di un numero complesso. Proprietà del modulo e del coniugato. Cenno alle coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso. Teorema sulle radici n-esime di un numero complesso. Polinomi complessi. Radici di un polinomio: molteplicità. Equazioni algebriche complesse. Teorema di Ruffini. Teorema fondamentale dell algebra. Teorema di scomposizione dei polinomi complessi. Teorema sulle radici di un polinomio reale. Teorema di scomposizione dei polinomi reali. Lo spazio R n L insieme R n. I vettori di R n : le n-uple. Operazioni in R n : somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare. Proprietà di queste operazioni. Modulo o norma di un vettore. Proprietà della norma. Vettori ortogonali e paralleli. I versori fondamentali. Funzioni Il concetto di funzione. Dominio, codominio, immagine e controimmagine (o preimmagine). Restrizione ed estensione (o prolungamento) di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzione composta. Funzioni invertibili e inversa di una funzione. Funzione identica di un insieme. Funzioni reali di variabile reale. Successioni. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche, limitate superiormente e inferiormente. Definizione di massimo e di minimo locale e assoluto, di estremo inferiore e superiore, di punto di massimo e di punto di minimo locale e assoluto di una funzione. Grafico delle funzioni elementari: f(x) = x n, f(x) = x n, f(x) = n x, f(x) = a x, f(x) = log a x, f(x) = sin x, f(x) = cosx, f(x) = tanx, f(x) = cotx, f(x) = sgn(x) (segno), f(x) = [x] (parte intera), f(x) = M(x) (mantissa). Legame fra la monotonia e l invertibilità di una funzione reale di variabile reale. Funzioni trigonometriche inverse: f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctanx, f(x) = arccotx.

2 Funzioni iperboliche: f(x) = sinhx, f(x) = coshx, f(x) = tanhx, f(x) = cothx e loro inverse. Operazioni sul grafico di una funzione. Limiti e funzioni continue Intorno di un punto di R e di ± e intorno destro e sinistro di un punto di R. Punto interno, isolato, di accumulazione, di frontiera per un insieme in R. Insiemi aperti e chiusi in R. Definizione di lim x x 0 f(x) = l R, con x 0, l R {± }. Esempi di funzioni che hanno limite e di funzioni che non hanno limite. Teorema di unicità del limite. Definizione di funzione continua in un punto. Esempi di funzioni continue. Esempi di funzioni discontinue: f(x) = sgn(x), funzione di Dirichlét. Prolungamento continuo (o estensione continua) di una funzione. Continuità delle funzioni elementari: x α, a x, log a x, sin x, cosx. Definizione di limite destro e sinistro. Legame fra limite e limiti laterali. Asintoti verticali e orizzontali. Classificazione dei punti di discontinuità. Limiti delle funzioni elementari. Teorema di limitatezza locale. Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze. Algebra delle funzioni continue: somma, prodotto, quoziente, composizione. Esempi di funzioni continue: polinomi, funzioni razionali, funzioni irrazionali, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme indeterminate [ [ ], 0 0], [ ] di tipo razionale. Teoremi del Confronto e loro conseguenze. sin x cosx Limiti notevoli lim =, lim x 0 x x 0 x 2 = 2. Limiti delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni composte. Cambiamento di variabile nei limiti. Forme indeterminate di tipo esponenziale. Altri limiti notevoli: ( lim + x log = e, lim a ( + x) = x ± x) x 0 x log a, se a > : a x lim x + x k = 0, lim a x ( + x) a = log a, lim = a, x 0 x x 0 x lim x x k a x = 0, log lim a x x + x k = 0. Definizione di f = o(g) e di f g per x x 0 (x 0 R {± }). Principio di eliminazione dei termini trascurabili. Algebra degli o piccolo. Relazione fra e o( ). Limiti notevoli scritti con gli o piccolo. Infiniti e infinitesimi. Confronto fra infiniti e fra infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo. Infinito e infinitesimo campione. Parte principale di un infinito e di un infinitesimo. Confronto fra gli infiniti log a x, x k, a x per x +, log a x, x k per x 0 + e fra gli infinitesimi x k, a x per x. Asintoti obliqui. Limite di successione. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Sottosuccessioni. Legame fra il limite di successione e il limite di funzione. Applicazione di tale risultato per dimostrare che non esistono alcuni limiti e per calcolare i limiti di successione. Confronto fra gli infiniti a n, n! e n n per n +.

3 Teorema degli zeri per le funzioni continue. Teorema dei valori intermedi e sue conseguenze. Teorema di Weierstrass. Teoremi sull invertibilità delle funzioni continue su un intervallo e sulla continuità della funzione inversa. Calcolo differenziale Definizione di derivata di una funzione in un punto. Interpretazione geometrica e cinematica. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Funzione derivata. Legame fra derivabilità e continuità. Prima formula dell incremento finito. Definizione di differenziale di una funzione in un punto. Derivata delle funzioni elementari: f(x) = x α, f(x) = a x, f(x) = log a x, f(x) = sinx, f(x) = cosx. Derivate laterali. Legame fra la derivata e le derivate laterali. Punti angolosi, cuspidi e punti di flesso a tangente verticale. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, composizione. Derivata di f(x) = tanx, f(x) = log x, f(x) = log g(x), f(x) = [g(x)] h(x). Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni trigonometriche inverse: f(x) = arcsin x, f(x) = arccos x, f(x) = arctanx, f(x) = arccotx. Definizione di punto critico (o stazionario). Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Seconda formula dell incremento finito. Legame fra la monotonia e il segno della derivata prima di una funzione su un intervallo. Ricerca dei punti di massimo e di minimo locale. Conseguenze del Teorema di Lagrange: caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. I Teoremi di De l Hôpital e loro conseguenze: derivabilità di una funzione in un punto; discontinuità della derivata prima. Ricerca dei punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C n e C su un intervallo. La Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange. Proprietà del polinomio di Taylor. Sviluppi notevoli di McLaurin: f(x) = e x, f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = ( + x) α, f(x) = x, f(x) = +x, f(x) = log ( + x), f(x) = arctanx, f(x) = arcsinx f(x) = sinhx, f(x) = coshx. Calcolo di limiti mediante l utilizzo degli sviluppi di Taylor. Determinazione della parte principale di un infinito e di un infinitesimo mediante l utilizzo degli sviluppi di Taylor. Funzioni convesse e concave in un punto e su un intervallo. Punti di flesso ascendenti e discendenti. Legame fra la concavità della funzione e il segno della derivata seconda. Ricerca dei punti di flesso. Legame fra il segno della derivata k-esima (k 2) e la natura del punto critico. Studio di una funzione. Funzioni reali di più variabili e curve Funzioni reali di più variabili e campi vettoriali. Definizione di limite e di continuità per una funzione di più variabili. Derivata parziale di una funzione di più variabili. Gradiente. Curve parametriche in R n. Curve semplici e chiuse. Verso di percorrenza di una curva. Sostegno di una curva. Equazioni parametriche di una retta nel piano. Equazioni parametriche di circonferenza nel piano. Curve derivabili. Versore tangente. Curve regolari e regolari a tratti. Curve equivalenti. Proprietà delle curve equivalenti.

4 Primitive di una funzione Definizione di primitiva di una funzione su un intervallo. Proprietà delle primitive di una funzione. Definizione di integrale indefinito di una funzione su un intervallo. Integrali delle funzioni elementari: f(x) = k, f(x) = x α, f(x) = x, f(x) = ax, f(x) = sin x,f(x) = cosx,f(x) = +x, f(x) = 2, f(x) = x 2 cos 2 x, f(x) = sin 2 x f(x) = sinhx, f(x) = coshx. Regole di integrazione. Calcolo degli integrali semplici. Metodo di decomposizione. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali: metodo del completamento dei quadrati, decomposizione in fratti semplici di Hermite. Integrazione di alcune funzioni irrazionali. Integrazione di alcune funzioni trascendenti. Integrazione di funzioni continue definite a tratti. Esempi di funzioni per le quali non è possibile il calcolo esplicito delle primitive. Integrale definito Integrale definito (di Cauchy) di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Significato geometrico dell integrale di una funzione continua. Funzioni continue a tratti. Integrale definito (di Cauchy) di una funzione continua a tratti su un intervallo chiuso e limitato. Indipendenza dell integrale di una funzione continua a tratti dai valori assunti dalla funzione in un numero finito di punti. Proprietà dell integrale definito di una funzione continua a tratti: linearità, monotonia, additività rispetto all intervallo. Definizione di media integrale. Interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Funzione integrale di una funzione continua a tratti su un intervallo. Continuità della funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale e sue conseguenze. Teorema di Torricelli-Barrow. x Altre proprietà della funzione integrale: o( t x 0 α ) dt = o ( x x 0 α+), per t x 0 o t ±. x 0 Calcolo degli integrali definiti. Formula di integrazione per parti e per sostituzione per gli integrali definiti. Proprietà degli integrali di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici rispetto all origine e di funzioni periodiche. Integrali impropri Integrale improprio di una funzione su un intervallo illimitato. Convergenza, divergenza, indeterminatezza. + Esempio: x α dx. Integrale improprio di una funzione illimitata su un intervallo limitato. Convergenza, divergenza, indeterminatezza. b Esempio: (x a) α dx. a Integrali curvilinei Integrale di linea di un campo vettoriale lungo una curva parametrica regolare o regolare a tratti. Dipendenza dell integrale curvilineo dal verso di percorrenza indotto dalla parametrizzazione. Equazioni differenziali Nozione di equazione differenziale di ordine n, di soluzione e di condizione iniziale. Problema di Cauchy. Soluzione di un problema di Cauchy. Esempi di problemi di Cauchy che non hanno soluzione, ammettono un unica soluzione, ammettono più soluzioni. Integrale generale e integrale particolare.

5 Prolungamento di una soluzione. Soluzione massimale. Intervallo massimale. Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale Equazioni a variabili separabili. Soluzione particolare. Calcolo dell integrale generale. Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione del problema di Cauchy associato ad un equazione a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni lineari omogenee e non omogenee. Calcolo dell integrale generale. Teorema di esistenza e unicità globale della soluzione del problema di Cauchy associato ad un equazione lineare del primo ordine. Equazioni differenziali del secondo ordine Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Definizione di funzioni linearmente indipendenti. Calcolo dell integrale generale di un equazione omogenea. Equazione caratteristica. Calcolo dell integrale generale di un equazione non omogenea. Ricerca di una soluzione particolare.

6 Testi di riferimento: Teoremi studiati nell insegnamento di Analisi Matematica I ) S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica I, Funzioni, Limiti e Continuità, a.a , Celid; 2) S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica I, Calcolo differenziale e integrale, Equazioni differenziali, a.a , Celid. Vol. Cap. Enunciato Enunciato e dimostrazione ) Proposizione (2.) Proposizione (2.5) Teorema (2.) Proposizione (2.2) Teorema (2.4) Teorema (2.23) Teorema (2.29) Teorema (2.30) Proposizione (2.33) Proposizione (2.37) Proposizione (2.44) Proposizione (2.45) Teorema (2.60) Teorema (2.72) Teorema (2.74) Corollario (2.75) Teorema (2.76) Proposizione (2.77) Teorema (2.79) Proposizione (2.88) Proposizione (2.89) Proposizione (2.9) ) 2 Proposizione (.6) Proposizione (2.28) Proposizione (2.4) ) 3 2) Teorema (3.2) Teorema (4.7) Teorema (4.) Lemma (4.38) Teorema (4.43) Teorema (4.46) Teorema (4.48) Proposizione (4.5) Teorema (4.54) Teorema (.5) Teorema (.26) Teorema (.33) Teorema (.36) Teorema (2.26) Teorema (2.27) Teorema (2.57) Proposizione (5.3) Teorema (5.8) Proposizione (5.37) Teorema (6.8) Teorema (6.5) Teorema (6.6) Teorema (7.3) Teorema (7.4) Teorema (7.6) Teorema (2.75) Teorema (2.78) Corollario (2.82) Teorema (2.83) Teorema (2.90) Teorema (2.92) Teorema (2.93) Proposizione (3.6) Proposizione (3.2) Lemma (3.22) Proposizione (3.26) Teorema (4.) Teorema (4.3) Corollario (4.5) Teorema (4.9) Teorema (4.3), [dim: l)] Teorema (4.8) Teorema (4.20) Teorema (.6) Teorema (2.4) Teorema (2.7) Teorema (2.0) Corollario (2.2) Teorema (2.4) Teorema (2.27) 2) 2 Teorema (2.4) Proposizione (4.2) Proposizione (4.9) 2) 3 2) 4 Proposizione (2.) Teorema (3.2) Proposizione (3.5) Proposizione (3.8) Proposizione (3.) Teorema (2.5) Teorema (2.0) Teorema (3.9) Teorema (3.3) Teorema (3.32) Proposizione (3.35) Lemma (3.36) Teorema (2.2) Teorema (3.8) Teorema (3.4) Teorema (.3) Corollario (.6) Teorema (2.7) Teorema (2.0) Proposizione (2.3) Proposizione (2.23) Teorema (4.22) Teorema (4.24) Teorema (4.26) Teorema (4.28) Corollario (4.40) Prop. (5.7), [dim: g)] Teorema (7.) Corollario (7.4) Teorema (7.5) Corollario (7.7) Corollario (7.8) Corollario (7.9) Corollario (2.6) Teorema (2.8) Teorema (2.22) Teorema (2.36) Teorema (2.42) Lemma (2.54) Teorema (3.6) Teorema (3.20) Corollario (3.22) Teorema (3.23) Teorema (5.4)