Corsi di laurea: Fisica, Matematica e SMID

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati Corso di laurea in Matematica Corso di laurea in Fisica REGISTRO DELLE LEZIONI a dell' INSEGNAMENTO o MODULO UFFICIALE Nome: Analisi Matematica 1 codice padre (se ins. a moduli): tenute dal Prof. Filippo De Mari Casareto dal Verme Nell'anno accademico IL DOCENTE IL DOCENTE RESPONSABILE b IL DIRETTORE DEL DIPARTIMENTO c a Alla fine dell'insegnamento il Registro deve essere stampato, firmato e consegnato al Direttore del Dipartimento di riferimento del CdS. Copia elettronica (anche non firmata) deve essere inviata al Coordinatore del CCS e, qualora differente, al Direttore del Dipartimento di afferenza del docente. b Solo se l'insegnamento o modulo è tenuto da più docenti in codocenza ed il docente che compila il presente registro non è il docente responsabile. c Per Dipartimento si intende il Dipartimento di riferimento del CdS. Pag. 1 di 14

2 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA Dipartimento di Matematica Anno accademico: Insegnamento/modulo: Analisi Matematica 1 Codice: Codice padre (se a moduli) Docenti: Prof. Filippo De Mari Casareto dal Verme Riepilogo generale Numero lezioni totali 89 Numero ore totali 89 Esercitazioni n. N. esercitazioni in aula N. esercitazioni in laboratorio Per n. gruppi di studenti Per n. gruppi di studenti Ore complessive Ore complessive Totale ore frontali/docente Totale ore frontali/studente Lezioni: (tenute dal Prof. Filippo De Mari): 89 Esercitazioni in aula: Esercitazioni di laboratorio: Il Docente Note: a Si intendono esercitazioni condotte dal docente e facenti parte integrante dell'insegnamento e non esercitazioni integrative b Maggiori dettagli sono riportati nel riquadro relativo alle lezioni/esercitazioni per cui il docente si è fatto sostituire. Tali riquadri devono essere firmati sia dal docente titolare che dal sostituto. Pag. 2 di 14

3 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.1 Presentazione del corso. Il metodo assiomatico. Gli assiomi di campo. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.2 Gli assiomi dell ordine. Proprietà dell ordine. Valore assoluto: definizione e proprietà. Un esempio di dimostrazione per induzione. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.3 Insiemi induttivi. I numeri naturali. Il teorema di induzione. Il principio di induzione. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.4 Proprietà dei numeri naturali. Numeri interi e naturali. Irrazionalità della radice di due. Relazioni d ordine totale. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.5 Maggioranti, minoranti, massimi, minimi ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.6 L assioma di completezza. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.7 Caratterizzazione dell estremo superiore. Conseguenze della completezza: classi separate. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 8 Sottoinsiemi limitati di Z, archimedeità. Addì Addì Pag. 3 di 14

4 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.9 Densità di Q. Radici n-esime: enunciato. Allineamenti decimali finiti o periodici. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 10 Allineamenti infiniti. Prodotto cartesiano. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.11 Relazioni: dominio, immagine, controimmagine, relazione inversa. Esempi. Funzioni. Iniettività surgettività. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.12 Restrizioni, estensioni, funzione identità, composizione di funzioni. Addì Addì Invertibilità. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.13 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.14 Funzioni monotone. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.15 Operazioni sui grafici: f(x-a), f(x)+a, f(ax), af(x). ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.16 Decomposizione in parte pari e parte dispari. Addì Addì Pag. 4 di 14

5 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.17 Funzioni limitate. Topologia di R: palle, intorni, punti di accumulazione. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.18 Definizione di limite: discussione ed esempi. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.19 Unicità del limite. Permanenza del segno. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 20 Locale limitatezza. Funzioni infinitesime. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.21 Algebra dei limiti.teoremi di confronto. Limiti di funzioni elementari. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.22 Limiti notevoli: sinx/x, (1-cosx)/x^2 la radice ennesima. Continuità: definizione. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 23 Cambio di variabili nei limiti. Continuità della composta. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 24 Limiti destri e sinistri. Addì Addì Pag. 5 di 14

6 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 25 Limiti all infinito e infiniti. Aritmetica della retta estesa. Forme indeterminate ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 26 Limiti di funzioni monotone. Successioni: definizione. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 27 Successioni: esempi. Limiti di successioni. Il teorema del limte per successioni. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 28 Successioni definite per ricorrenze. Successioni estratte. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 29 Estratte monotone. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 30 Teorema di Bolzano Weierstrass. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.31 Massimi e minimi di una funzione. Esempio. Teorema di Weierstrass. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.32 Continuita uniforme. Il teorema di Heine- Cantor. Addì Addì Pag. 6 di 14

7 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.33 Il teorema degli zeri. Applicazioni del teorema degli zeri. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.34 Il teorema dei valori intermedi. L immagine continua di un intervallo è un intervallo. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.35 Continuità della funzione inversa. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.36 La funzione esponenziale su N, Z e Q. La funzione esponenziale sui reali. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 37 Limiti notevoli dell esponenziale: confronti con le potenze. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 38 La funzione logaritmo. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 39 Limiti notevoli. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 40 Il numero di Nepero. Addì Addì Pag. 7 di 14

8 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 41 Definizione di derivata e di differenziabilità. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 42 Il teorema del differenziale. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 43 Algebra delle derivate. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 44 Derivata della funzione composta. Le funzioni trigonometriche iperboliche. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 45 Il teorema di derivazione della funzione inversa. Derivate di ordine superiore. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.46 Massimi e minimi locali. Il Teorema di Fermat. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.47 Il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.48 Il teorema di Cauchy. Corollari del teorema di Lagrange. Addì Addì Pag. 8 di 14

9 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.49 I teoremi dell Hopital. Esempi. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.50 Applicazioni al calcolo dei limiti di forme indeterminate. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.51 Le relazioni f<<g (f è trascurabile rispetto a g) e f~g (f è asintotica a g). ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.52 Proprietà delle relazioni << e ~. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.53 Ordine di infinitesimo e di infinito. Parti principali. La notazione o-piccolo di Landau. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.54 Ordine di contatto tra funzioni in un punto. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.55 Contatto e derivate. Polinomio di Taylor. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.56 Formula di Taylor con resto di Peano. Addì Addì Pag. 9 di 14

10 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.57 Polinomi di Taylor delle funzioni elementari. Studio dei punti di estremo relativo mediante le derivate di ordine superiore. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.58 Formula di Taylor con resto di Lagrange. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.59 Funzioni convesse e funzioni concave: definizione ed esempi ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.60 Le funzioni concesse sono continue ed hanno derivate destre e sinistre. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.61 Caratterizzazione della convessità mediante la monotonia dei rapporti incrementali, mediante derivata prima e seconda. Punti di flesso. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.62 Il metodo di Newton delle tangenti: discussione e dimostrazione. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.63 Primitive: definizione e primi teoremi di struttura. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.64 Integrazione per parti. Addì Addì Pag. 10 di 14

11 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.65 Integrazione per sostituzione. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.66 Esempi di integrazione per sostituzione. La primitiva di alcune funzioni rzionali semplici. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.67 Il metodo dei fratti semplici per il calcolo della primitiva di una funzione razionale. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.68 Integrale definito: motivazione geometrica. Partizioni, funzioni a scala, integrale di funzioni a scala. Proprietà dell integrale delle funzioni a scala. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.69 Definizione dell integrale secondo Riemann. Criterio di integrabilità. Esempio di funzione non R-integrabile. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.70 Integrabilità delle funzione continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Proprietà dell integrale: linearità, monotonia, additività. Integrabilità di f+, f_ e di f. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.71 L integrale come limite di somme di Riemann.. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.72 L integrale orientato e le sue proprietà. Il teorema della media integrale. Addì Addì Pag. 11 di 14

12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.73 Continuità delle funzioni integrali. Il primo teorema fondamentale del calcolo. Esistenza delle primitive di funzioni continue. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.74 Il secondo teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Esempi. Integrale improprio del primo tipo (su intervalli illimitati), significato e definizione. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.75 Esempi: x^{-a}. Proprietà dell integrale improprio. Criteri di convergenza per funzioni 0: confronto e confronto asintotico. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.76 Ordini di infinitesimo. Integrali assolutamente convergenti. Assoluta convergenza implica convergenza. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.77 Integrali convergenti ma non assolutamente convergenti. Integrali impropri del secondo tipo. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 78 Integrali impropri del secondo tipo. Esempi. Studio di funzioni integrali. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 79 Serie numeriche, introduzione. Serie geometriche, telescopiche. Convergenza. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.80 Serie numeriche a termini non negativi: criterio della radice. Addì (Giovanni Aberti) Addì Pag. 12 di 14

13 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.81 Serie numeriche a termini non negativi: criteri del rapporto e di condensazione. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.82 Criterio dell ordine, criterio integrale. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.83 Serie a segni alterni. Teorema di Leibniz. Equazioni differenziali: esempi. Ordine di un equazione, forma normale. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 84 Interpretazione geometrica delle equazioni del primo ordine: campi di direzioni. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N. 85 Equazioni a variabili separabili. Esempi di soluzioni. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.86 Il problema di Cauchy. Esistenza e unicità della soluzione per equazioni a variabili separabili. Esempi di non unicità delle soluzioni. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.87 L equazione lineare del primo ordine non omogenea: formula risolutiva. ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.88 Equazioni lineare di ordine due. Struttura delle soluzioni. Soluzione dell equazione lineare omogenea del secondo ordine: radici reali distinte, radice di molteplicità due. Addì Addì Pag. 13 di 14

14 ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.89 Esponenziale complesso. Soluzione dell equazione omogenea quando le radici dell equazione caratteristica sono complesse ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.89 La ricerca di una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Addì Addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE N.89 Il metodo di similitudine e il metodo di variazione delle costanti. Addì Pag. 14 di 14