Indice. Prefazione. 3 Spazi Metrici Introduzione Definizione ed esempi Intorni... 53

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1 Prefazione xi 1 Numeri reali Introduzione Rappresentazione decimale dei numeri razionali Numeri reali e ordinamento Partizioni di Q e di R Operazioni tra numeri reali Una diseguaglianza fondamentale Radici, potenze, logaritmi Spazi euclidei Appendice Proprietà degli estremi superiore e inferiore Proprietà delle operazioni in R Radici e potenze Logaritmi Funzioni Introduzione Immagini e controimmagini Restrizione, funzione inversa, composta Successioni. Indici Potenza di un insieme Potenza del numerabile Potenza del continuo Appendice Le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano Proprietà degli insiemi infiniti Potenza dell insieme delle parti Spazi Metrici Introduzione Definizione ed esempi Intorni v

2 vi Indice 3.4 Classificazione dei punti Insiemi aperti, chiusi, limitati Compattezza Il Teorema di Heine Borel Connessione R come spazio metrico Appendice Compattezza in R n Norme e distanze Proprietà dello spazio metrico ( R, d ) Successioni Introduzione Successioni convergenti Sottosuccessioni e punti di accumulazione Successioni a valori reali Permanenza del segno. Confronto Successioni monotone Calcolo dei limiti Calcolo dei limiti in R Calcolo dei limiti in R Il numero e Infiniti e infinitesimi o piccolo e asintotico Successioni in R k Classe limite La condizione di Cauchy Appendice Dimostrazione del Teorema Dimostrazione dei Teoremi e Dimostrazione del Teorema Dimostrazione dei Teoremi 4.7.9, , , Serie Introduzione Definizioni ed esempi La condizione di Cauchy per le serie Serie a termini non negativi Criteri della radice e del rapporto Criterio di condensazione Criterio di Leibniz Convergenza incondizionata Appendice Somma di serie Prodotto di serie Proprietà associativa per le serie

3 vii Permutazione dei termini di una serie Rappresentazione dei numeri reali come serie Limiti di funzioni Introduzione Limiti in spazi metrici Limiti infiniti e limiti all infinito Limiti di funzioni reali di variabile reale Segno, confronto Limiti di successioni e limiti di funzioni Calcolo dei limiti Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico Appendice Classe limite di una funzione Continuità Introduzione Continuità in spazi metrici Continuità globale Continuità delle funzioni a valori reali Il Teorema di Weierstrass Il Teorema di Darboux Uniforme continuità Punti di discontinuità Discontinuità di prima specie Discontinuità di seconda specie Discontinuità eliminabili Funzioni monotone Continuità della funzione inversa Appendice Continuità della funzione inversa in spazi metrici Uniforme continuità. Funzioni lipschitziane e hölderiane Calcolo differenziale Introduzione Derivata e differenziale Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi Regole di derivazione Derivate delle funzioni elementari Potenze e radici Esponenziali e funzioni iperboliche Logaritmi Funzioni trigonometriche Inverse delle funzioni trigonometriche Derivate di funzioni composte Massimi e minimi relativi

4 viii Indice 8.7 Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange Crescere e decrescere Teorema di De l Hospital Derivate di ordine superiore Formula di Taylor Esempi sulla formula di Taylor Convessità, concavità, flessi Asintoti obliqui Appendice Dimostrazione del Teorema di De l Hospital Convessità Estremanti e punti di flesso Serie di Taylor Primitive Introduzione Regole di integrazione indefinita Primitive delle funzioni razionali fratte Caso in cui il grado del denominatore è 1 o Casi fondamentali Caso generale Primitive di funzioni razionali fratte in un argomento Primitive di funzioni razionali fratte in più argomenti Primitive di R(cos t, sin t) Primitive di R(cos 2 t, sin 2 t, tan t) Primitive di R (x, q 1 x p 1,..., qn x p n ) Primitive di R ( x, q 1 ( ax+b ) p1..., q n cx+d ( ax+b cx+d ) pn ) Primitive di R ( x, ±x 2 + px + q ) Integrali binomi Appendice Decomposizione di una funzione razionale fratta Integrale di Riemann Introduzione Somme superiori e inferiori L integrale di Riemann Proprietà dell integrale Classi di funzioni integrabili Integrale esteso a un intervallo orientato Il Teorema fondamentale del calcolo integrale Integrali impropri Integrali impropri di prima specie Integrali impropri di seconda specie Criteri del confronto Integrali impropri di terza specie

5 ix 10.9 Appendice Estensione del Teorema fondamentale del calcolo integrale Formula di Taylor con resto integrale Confronto e esistenza degli integrali impropri Formula di Wallis Somme e integrali. Formula di Eulero Formula di Stirling Numeri complessi Introduzione Il campo complesso Il sottocampo dei numeri reali Forma algebrica dei numeri complessi Forma trigonometrica dei numeri complessi Radici nel campo complesso