Corso di Analisi A.A. 2016/2017 Argomenti delle lezioni

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1 Corso di Analisi A.A. 206/207 Argomenti delle lezioni lezione. Mercoledí 5 ottobre. 2 ore. Contare e misurare. I numeri naturali. Proprietá dei numeri naturali: elemento minimo, successivo, non itatezza superiore. Divisione con resto, divisibilitá, numeri primi, fattorizzazione in numeri primi, numeri relativamente primi. DIVAGAZIONE: Analogia della divisione con resto tra numeri reali con la divisione tra polinomi. L algoritmo della divisone tra polinomi. I numeri interi. Proprietá: sono un gruppo rispetto all operazione di addizione. I numeri razionali. Struttura di campo ordinato dei numeri razionali. Intervalli in un insieme totalmente ordinato. Intervalli aperti, intervalli chiusi. Segmenti incommensurabili. I numeri reali. I numeri reali sono un campo ordinato che soddisfa l assioma degli intervalli (chiusi) incapsulati e l assioma di Archimede. I numeri irrazionali, algebrici e trascendenti. Maggiorante, minorante. Insiemi itati superiormente, inferiormente. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo - Teorema. (Proprietá dell estremo superiore ) Ogni sottoinsieme superiormente itato di R ha estremo superiore. Vale anche il viceversa : - Teorema: un campo ordinato, che abbia come ulteriore assioma la propriet dell estremo superiore, gode della proprietá degli intervalli incapsulati e della proprietá di Archimede. Rappresentazione dei numeri reali come punti di una retta. I numeri positivi e i numeri negativi 2 lezione. Giovedí 6 ottobre. 2 ore. Esercizi. Si dimostrano alcune proprietá ben note, dei numeri reali. Esercizi in cui si utilizzano solo gli assiomi di campo di R. a( b) = ab. Se a + b = a allora b = 0. a 0 = 0 per ogni a R. Se a b = 0 allora a = 0 oppure b = 0. Esercizi in cui si utilizzano solo gli assiomi di campo ordinato di R Se a 0, a e a hanno segno discorde.

2 2 Regola dei segni. In particolare a 2 0 (e a 2 = 0 se e solo se a = 0). > 0. a e a hanno lo stesso segno. Se 0 < a < b allora a 2 < b 2. Se 0 < a < b allora b < a. Se 0 b ε per ogni ε > 0, allora b = 0. Esercizi in cui si utilizzano gli assiomi di campo ordinato completo di R, e cioé anche gli assiomi degli intervalli incapsulati e di Archimede o l equivalente assioma dell estremo superiore. Se 0 b n per ogni n N, allora b = 0. Densitá di Q in R. Esistenza delle radici n me positive dei numeri positivi. Sia A = { n : n N}. Si trovino l insieme dei maggioranti e l insieme dei minoranti di A. Si dica se A é itato superiormente, inferiormente. In caso affermativo si trovino estremo superiore e/o estremo inferiore e si dica se sono rispettivamente massimo e minimo. Sia A = { n : n N}. Si trovino l insieme dei maggioranti e l insieme dei minoranti di A. Si dica se A é itato superiormente, inferiormente.in caso affermativo si trovino estremo superiore e/o estremo inferiore e si dica se sono rispettivamente massimo e minimo. Sia A = {( ) n ( n ) : n N}. Si trovino l insieme dei maggioranti e l insieme dei minoranti di A. Si dica se A é itato superiormente, inferiormente. In caso affermativo si trovino estremo superiore e/o estremo inferiore e di dica se sono rispettivamente massimo e/o minimo. Siano a R, b R a < b. Per i seguenti insiemi, si trovino l insieme dei maggioranti e l insieme dei minoranti. Si dica se sono itati superiormente e/o inferiormente. In caso affermativo si trovino estremo superiore e/o estremo inferiore e si dica se sono rispettivamente massimo e/o minimo. A = [a, b], B =]a, b[, C =]a, b], D = [a, b[ Il valore assoluto o modulo. Definizione, significato geometrico. Distanza tra due punti sulla retta. Proprietá rispetto alle operazioni, con dimostrazione. - Esercizi: - Dato a > 0, si ha x < a se e solo se a < x < a - Si risolvano le seguenti disequazioni, utilizzando, se possibile, il significato geometrico di quanto é scritto. x 4 < 2 3 lezione. Venerdí 7 ottobre. 2 ore. x x Dimostrazione della diseguaglianza triangolare.

3 Esercizi sul valore assoluto. - Si risolvano le disequazioni nel caso a < 0, a = 0, a > 0 - Si risolvano le disequazioni x < a, x a, x > a, x a x x 0 < a, x x 0 a, x x 0 > a, x 0 a nel caso a < 0, a = 0, a > 0 - Punto medio e raggio di un intervallo itato. - Espressione degli intervalli aperti, degli intervalli chiusi, dell unione di due semiretta aperte e di due semiretta chiuse come soluzioni di disequazioni del tipo x x 0 < a, x x 0 a, x x 0 > a, x x 0 a Dimostrazione del teorema: dal postulato dell estremo superiore seguono la proprietá Archimedea e la proprietá degli intervalli (chiusi) incapsulati - Esempi di intervalli incapsulati ( non chiusi) la cui intersezione é vuota: Si dimostri che se per ogni n N allora I n =]0, n ], I n = n N Principio di induzione. Esercizi: - Si dimostri che, per ogni x R, se x allora ( + x) n + nx per ogni n N - Si dimostri che per ogni q R, n q i = qn+ q per ogni n Z, n 0 i=0 Esercizi suggeriti: Si dimostri la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Si dimostri che per ogni ε > 0 esiste n N tale che 2 n < ε. Sia A = {2 n 2 n : n Z, n 0}. Si trovino l insieme dei maggioranti e l insieme dei minoranti di A. Si dica se A é itato superiormente, inferiormente. In caso affermativo si trovino estremo superiore e/o estremo inferiore e si dica se sono rispettivamente massimo e/o minimo. 3

4 4 Si dimostri che se A B, allora inf A inf B e sup B sup A. Si diano esempi di casi in cui inf A <inf B e di casi in cui inf A =inf B. Si diano esempi di casi in cui sup B <sup A e di casi in cui sup B =sup A. Si risolva la disequazione 4 x 2 < 9. 4 lezione. Mercoledí 2 ottobre. 2 ore. Funzioni, dominio, codominio, insieme immagine. Antimmagine. Funzioni suriettive, funzioni iniettive. Funzioni biettive o invertibili, funzione inversa. Esempi ed esercizi.: Si trovi il dominio della funzione reale di variabile reale f(x) = 3x + Si dimostri che la funzione é suriettiva ed iniettiva e si scriva la legge della funzione inversa. Si dimostri che la funzione f : R + R + cosí definita f(x) = x 2 é suriettiva ed iniettiva e si scriva la legge della funzione inversa. Un sistema di coordinate cartesiane sulla retta é una applicazione biunivoca da R nelle retta. Piano e spazio cartesiani sono esempi di applicazioni biunivoche rispettivamente da R 2 nel piano e da R 3 nello spazio.. La simmetrie rispetto ad un punto o ad una retta sono esempi di applicazioni biunivoche del piano in se stesso. Come agiscono sulle coordinate cartesiane le simmetrie rispetto all origine, all asse x, all asse y e alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Funzioni a valori reali. Funzioni itate superiormente, inferiormente, itate. Estremo superiore ed estremo inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di massimo e di minimo. Funzioni a valori reali di variabile reale. Grafico. Funzioni monotone crescenti e decrescenti in senso stretto e in senso lato. Grafico dell funzioni monotone. Esempi. Si dimostri che la funzione f : R R cosí definita f(x) = 3x + é strettamente crescente. Si dimostri che la funzione f : R R cosí definita f(x) = x 2 non é monotona. Si dimostri che la funzione f : R + R cosí definita é strettamente crescente. f(x) = x 2

5 Particolari funzioni reali di variabile reale: le successioni. Loro grafico. Caratterizzazione delle successioni monotone. Esercizi. Si dimostri che le successioni crescenti hanno minimo, le successioni decrescenti hanno massimo. Si dimostri che la successione a n = 2 n é strettamente crescente. Si dica se la successione a n = 2 n é itata inferiormente, ha estremo inferiore, ha minimo. Si dimostri ( usando il metodo di inuzione) che 2 n > n per ogni n N. Si dimostri, usando il precedente risultato e la proprietá Archimedea,che per ogni a R esiste n N tale che 2 n > a. Si dica se la successione a n = 2 n é itata superiormente, ha estremo superiore, ha massimo. Esercizio. Confronto tra i grafici di f(x) = x e g(x) = x 2. 5 lezione. Giovedí 3 ottobre. 2 ore. Insiemi simmetrici rispetto all origine, Insiemi simmetrici rispetto all asse y. Funzioni dispari, funzioni pari. Esempi. Il grafico della funzione inversa. Grafici delle funzioni y = mx e loro confronto. loro confronto. Grafici delle funzioni potenza Grafici delle funzioni y = x n n N e loro confronto. Grafici delle funzioni y = x n n Z e loro confronto. Grafico delle funzioni y = x n n N e loro confronto. Le funzioni y = x m n m, n Z, dominio e grafico e confronto dei loro grafici. 5

6 6. Definizione di a b se a > 0 e b R, Grafici delle funzioni b R e loro confronto. Grafici delle funzioni esponenziali a > 0 e loro confronto. Grafici delle funzioni logaritmo y = x b a x log a x a > 0, a e loro confronto. Proprietá di esponenziali e logaritmi. Cambiamento di base in esponenziali e logaritmi. Funzioni periodiche. Esempi di funzioni periodiche: le funzioni trigonometriche e il loro grafico. Le funzioni e il loro grafico. 6 lezione. Venerdí 4 ottobre. 2 ore. y = cos x, y = sin x, y = tan x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x Le funzioni parte intera e mantiissa e loro grafico. La funzione composta, la funzione inversa dela funzione composta di due funzioni invertibili. Esercizi. Noto il grafico della funzione y = f(x), tracciare il grafico delle funzioni y = f(x) y = f(x) y = f(x) + k Trovare il dominio e tracciare il grafico delle funzioni y = f( x) y = f( x ) y = f(x + k) Esercizi. Tracciare i grafici delle funzioni y = log x y = log( x) y = log x! y = log x y = e x y = e x y = e x y = x 2 + 2x + y = x 2 + x + Successioni a valori reali e loro grafico. Esempi. Le successioni costanti, le successioni a n = n a n = n a n = ( ) n a n = ( ) n n a n = n!

7 7 Sottosuccessioni. Code. Proprietá godute definitivamente. Esercizi. Dimostrare che a n = n 7 é definitivamente positiva. Dimostrare che per a n = n vale definitivamente a n < 00. Successioni itate. Teorema con dimostrazione. Una successione é itata se e solo se é definitivamente itata. Definizione di ite finito e di successione convergente. Teorema con dimostrazione. Se una successione é convergente, allora é itata. Non vale il viceversa: ( ) n é una successione itata ma non é convergente.. Definizione di ite infinito (± ) e di successione divergente. Teorema con dimostrazione. Se una successione é divergente, allora non é itata. (se ha ite + non é itata superiormrente, se ha ite non é itata inferiormrente), Non vale il viceversa: ( ) n n é una successione non itata, né superiormente, né inferiormente, ma non é divergente. Successioni regolari, successione irregolari. Esercizi su verifiche di iti. 7 lezione. Mercoledí 9 ottobre. 2 ore. Una successione é regolare se e solo se tutte le sue sottosuccessioni sono regolari e hanno lo stesso ite. Cenno di dimostrazione. Il teorema si usa per dimostrare che una successione non é regolare. Esempi ( ) n, sin(n π 2 ) Una successione é regolare se e solo una sua coda é regolare. Definizione di somma, prodotto e quoziente di due successioni. Operazioni con i iti. Dimostrazione per il ite del prodotto. Forme indeterminate. Esercizi. Si calcolino i seguenti iti 3n 2 + n + n 2 + n 3n 3 + n + n 2 + n 3n 2 + n + n 3 + n Comportamento dell operazione di ite rispetto alla relazione d ordine. Le due formulazioni del Teorema della permanenza del segno. ) Se a n = l e l > 0, allora a n > 0 definitivamente, Se a n = l e l <, allora a n < 0 definitivamente. Nulla si puó dire sul segno di a n se l = 0. Esempi n, n, ( )n n 2) Se a n = l e a n 0 definitivamente allora l 0, (anche se a n > 0 puó essere l = 0. Esempio n )

8 8 Se a n = l e a n < 0 definitivamente allora l 0. Teorema del confronto. Se a n b n definitivamente, a n = l e b n = 2, allora l l 2 Teorema del confronto 2 o dei carabinieri, con dimostrazione. Teorema. Il prodotto di una successione itata per una che converge a 0, converge a 0. Esercizio a n = 0 se e solo se a n = 0 Esercizi. Si calcolino i seguenti iti ( )n n 2 (sin n) n arctan(log( + en )) 2 n Teorema. Se a n b n definitivamente e a n = +, allora b n = +. Teorema. Se a n b n definitivamente e b n =, allora a n = Successioni monotone. Teoremi sulla regolaritá delle successioni monotone, con dimostrazione. Esempio di successione convergente, ma non monotona ( ) n n Esempio di successione divergente, ma non monotona { n per n dispari a n = n 2 per n pari Esempi di successioni convergenti il cui ite non é né l estremo superiore é l estremo inferiore( ) n n Esempi di successioni non monotone il cui ite é l estremo inferiore { n per n dispari a n = n 2 per n pari Si studi, al variare di q R la convergenza della successione q n. Esercizi. Si calcolino i seguenti iti 3 n + 3 n+ + 2 n Crescenza e itatezza della successione 8 lezione. Giovledí 20 ottobre. 2 ore. 3 n + 2 n+ + 2 n ( + n )n ( n ) n = e 2 n + 3 n + 2 n

9 Se a n = +, allora ( + ) an = e a n e, per ogni α R ( + ) α = a n Esercizi Si calcolino i seguenti iti ( + n ) n ( n )n ( + n 2 )n2 ( + 5n + )5n+ ( + ) n ( + n n )5n ( + 5n + )5n ( + n )5n+ Confronto di infiniti. infiniti di ordine superiore, inferiore, dello stesso ordine, equivalenti. Teorema (principio di sostituzione degli infiniti). Se a n, b n e c n sono infiniti e a n, b n sono equivalenti, allora a n b n = c n c n Proprietá transitiva del confronto tra infiniti. Gerarchia degli infiniti log b n, n α,, a n per a >, b >, α > 0 Il criterio del rapporto. Esercizio. Si dimostri, utilizzando il criterio del rapporto, che n! é un infinito di ordine superiore a a n, per ogni a >. 9 lezione. Venerdí 2 ottobre. 2 ore. Si risolva la seguente disequazione x 4 < 2 Esercizi. Si dimostri che se a n diverge a +, allora ha minimo. Si dimostri che se a n diverge a, allora ha massimo. Si dimostri che se a n converge, allora ha massimo o minimo. Data la successione a n = e n sin n - a n é itata superiormente ed inferiormente, infatti, per la momotonia di e x e la itatezza di sin x si ha a n e = e - a n non é definitivamente positiva, infatti, e n > 0 per ogni n, mentre in ogni intervallo [(2k + )π, (2k + 2)π] in cui sin x < 0, cadono tre numeri interi, 9

10 0 perché la lunghezza degli intervalli é [(2k + 2)π (2k + )π = π > 3 -a n n non si annulla mai, infatti e n > 0 e sin n 0 per ogni n, perché sin x = 0 se e solo se x = kπ e n kπ per ogni k N, perché π é irrazionale - non esiste a n perché in ogni intervallo della forma [ π 4 + 2kπ, 3π 4 + 2kπ], sin x > 2 in ognuno di questi intervalli, che che hanno lunghezza >, cade un numero naturale in ogni intervallo della forma [ 5π 4 + 2kπ, 7π 4 + 2kπ], sin x < 2 in ognuno di questi intervalli, che che hanno lunghezza >, cade un numero naturale e n > ε definitivamente. Quindi esistono n arbitrariamente grandi in cui a n > 2 ( ε) e n arbitrariamente grandi in cui a n < 2 ( ε) Si dimostri, utilizzando il criterio del rapporto n n n! = + Si dimostri che n n log n é un infinito di ordine superiore a n n n! log n é un infinito di ordiene superiore a n! e inferiore a n n. - Forme + Si calcolino i seguenti iti, razionalizzando ( n n + ) ( n 2 + n n 2 + ) ( n 4 + n n 4 + ) ( n n 2 + ) ( n 2 + n 3n 2 + ) ( n 2 + n n) Successioni definite per ricorrenza. Esercizi. ) Data la successione definita da a =, a n+ = a n + 2 -se ne scrivano i primi 4 termini, -si dimostri, per induzione che a n+ = + n 2 - si calcoli a n 2) Data la successione definita da a =, a n+ = a n + n+ -se ne scrivano i primi 4 termini, -si dimostri, per induzione che n a n+ = + k + - si dimostri che la successione é crescente, e che quindi é regolare, - si dimostri che a 2n a n > 2 k=

11 - si dimostri che la sottosuccessione dei termini di indice pari diverge a + - usando la regolaritá di a n, si dimostri che a n = + 3) Sia α > 0. Data la successione definita da a = α, a n+ = 2 (a n + α a n ) - se ne scrivano i primi 4 termini. Per α > si dimostri che, - per ogni n < a n α - per ogni n a 2 n α - da qui segue a n+ < a n La successione é crescente e quindi regolare. Per quanto dimostrato prima é anche anche itata. É quindi convergente. -si dimostri a n = α Si facciano i passaggi analoghi nel caso 0 < α < 0 lezione. Mercoledí 26 ottobre. 2 ore. Teorema di Bolzano Weirstrass, con dimostrazione. Successioni di Cauchy. Teorema, con dimostrazione. Le successioni convergenti sono di Cauchy. Teorema, con dimostrazione. Le successioni di Cauchy sono convergenti. o passo. Dimostrare che le successioni di Cauchy sono itate. 2 o passo. Dal passo precedente e dal teorema di Bolzano Weierstrass segue che una successione di Cauchy ha una sottosuccessione convergente. 3 o passo. Dimostrare che se una successione di Cauchy ha una sottosuccessione convergente, allora converge. Serie numeriche. Successione delle somme parziali. Serie convergenti, divergenti, irregolari. Osservazione. Le serie a n, n=k a n, k a n hanno lo stesso carattere (ma, se convergono, non la stessa somma). Esempi. Casi in cui si riesce a scrivere esplicitamente la successione delle somme parziali.

12 2 La serie geometrica La serie telescopica n= q n n(n + ) Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza delle serie. Teorema: + a n é converge se e solo se la successione delle somme parziali é di Cauchy e cioé se e solo se ε > 0, n(ε) : n, > n(ε), q N : a n+ + a n a n+q < ε Condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza della serie + a n : a n = 0 Serie a termini di segno costante (in particolare positivo). Loro regolaritá. Rappresentazione geometrica delle serie a termini positivi: area di un plurintervallo non itato. Esercizio. La serie armonica diverge a + Dim. Indicata con S n la successione delle somme parziali, i) si dimostri che per ogni n N n S 2n S n 2 ii) da qui segue che la successione delle somme parziali non é di Cauchy, e quindi non converge. iii) dal momento che la serie é a termini positivi, e quindi regolare, se non converge, diverge a +.. La serie armonica fornisce un esempio al fatto che la condizione necessaria per la convergenza: non é condizione sufficiente. a n = 0

13 3 Criteri di convergenza e divergenza per le serie a termini positivi. i) Criterio del confronto, con dimostrazione. Esercizi. - Si dimostri la convergenza della serie 2 n log n - Si dimostri la divergenza della serie lezione. Giovedí 27 ottobre. 2 ore. n Successioni infinitesime e loro confronto. Linearitá della somma delle serie. Esercizio. Si dica se la seguente serie converge e, in caso affermativo, se ne calcoli la somma. n= 5 n n Criteri di convergenza per serie a termini positivi. ii) Il criterio dell ordine di infinitesimo, con dimostrazione: Se a n = l R b n allora: -se l > 0 le due serie + n= a n e + n= b n hanno lo stesso carattere; -se l=0 se + n= b n converge anche + n= a n converge, se + n= a n diverge, anche + n= b n diverge. Se a n = + b n allora: se + n= b n diverge anche + n= a n diverge, se + n= a n converge, anche + n= b n converge. Esercizi. ) Si dimostri che la serie n= 7 n n 2

14 4 n= converge. 2) Si dimostri che se α 2, la serie n= n α converge. 3) Si dimostri che se 0 < α <, la serie n= n α diverge. 4) Si dica se le seguenti serie convergono n 2 + n n n 2, 2 + n n 2, n n= n= iii) Il criterio della radice, con dimostrazione. iv) Il criterio del rapporto (giá dimostrato per le successioni). Esercizi. ) Si tudi la convergenza della seguente serie. n= n! n n 2) Si dica per quali x > 0 la seguente serie converge x n n! n 2 + n n 2 Serie a termini di segno non costane. - Criterio di convergenza assoluta, con dimostrazione: Se la serie + n= a n converge, la successione delle sue somme parziali é di Cauchy, e quindi si ha definitivamente, per ogni q N a n+ + a n a n+q < ε Dalla disuguaglianza triangolare segue a n+ + a n a n+q a n+ + a n a n+q < ε Da qui segue che la successione delle somme parziali della serie + n= a n é di Cauchy e quindi converge. Esercizio. Si dica per quali x R la seguente serie converge. x n n! n 2

15 Esempio di serie che converge semplicemente, ma non assolutamente (con dimostrazione). ( ) n - Il criterio di Leibniz per le serie a segno alterno. 2 lezione. Venerdí 28 ottobre. 2 ore. Punto do accumulazione di un sottoinsieme di R. Esercizi. N non ha punti di accumulazione. Trovare tutti i punti di accumulazione di n 5 D = { n : n N} D = [a, b] D =]a, b[, D = {a} Trovare tutti i punti di accumulazione di D i, il dominio della funzione f i, i =, 2, 3, 4 f (x) = x 2 f 2 (x) = x 2 f 3 (x) = log x 2 f 4 (x) = earcsin x 2x 2 Definizione di x x0 f(x) = l R. Osservazione sul fatto che il ite non riguarda il comportamento della funzione in x 0. Esercizi di verifica di ite. x + = 2 x x 2 x x = 0 f(x) = 0 f(x) = 0 x 0 x 0 f(x) = l f(x) l = 0 x 0 x 0 Definizione di x x0 f(x) = ±. Esercizi di verifica. Teorema. f(x) = l(± ) x x 0 se e solo se per ogni successione (x n ) di punti del dominio di f, convergente a x 0, si ha y n = f(x n ) = l(± ) Il teotema si usa per dimostrare la non esistenza del ite. Esercizio: non esiste x 0 sin x Teoremi della permanenza del segno. Teoremi del confronto. Teoremi sull algebra dei iti. Forme indeterminate. Esercizi. sin x = 0 x 0 x sin x 0 x = 0 cos x = x 0 x x 0 sin x = sin x 0

16 6 x 0 ex = e x = e x 0 x x 0 Definizione di funzione continua in un punto. Teoremi sulla continuitá di somma, prodotto, quoziente (se esiste) di funzioni continue. Continuitá delle funzioni elementari. Teorema sul ite della funzione composta. Siano f : D f R e g : D g R, con f[d f ] D g, x 0 di accumulasione pr D f e y 0 di accumulasione pr D g x x 0 f(x) = y 0 g(x) = l y y 0 Se vale una delle seguenti condizioni: - f(x) y 0 per ogni x x 0, oppure - se g(x) é continua in y 0, allora x x 0 g f(x) = y y 0 g(x) = l Esempio della necessitá delle ipotesi: f(x) = x sin x x 0 = 0 g(y) = { y y y 0 0 y = 0 La funzione composta non ha ite. Teorema sulla continuitá della funzione composta di funzioni continue. x ± f(x) Esercizi. Di dimostri che le serie di potenze a n x n - convergono assolutamente per x ( l, l) dove l = a n a n+ (se l = 0 convergono solo per x = 0, se l = + convergono assolutamente per ogni x R) - non convergono per x > l perché manca la condizione necessaria. Si studi, al variare di x R la convergenza della seguente serie Esercizi di ripasso. 3 lezione. Mercoledí 2 novembre. 2 ore. x n n

17 7 Esercizi. ) Sapendo che si dimostri e = ( + n )n x + ( + x )x = e In modo analogo si puó dimostrare 2) Si dimostri ( + x x )x = e ( + x) x = e x 0 Limite destro e ite sinistro. Confronto di infinitesimi. Infinitesimi equivalenti, definizione di o piccolo. (Per questa parte vedere P. Marcellini- C. Sbordone, o Volume- parte I.) Osservazioni: se f(x) e g(x) sono infinitesimi per x x 0 - se f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine, allora f(x) é equivalente a l g(x), dove f(x) l = x x 0 g(x) - f(x) é equivalente a g(x) se e solo se f(x) = g(x) + o(g(x)) - se f(x) é equivalente a g(x), allora, per ogni h(x), f(x) x x 0 h(x) = g(x) x x 0 h(x) x x 0 f(x) h(x) = x x 0 g(x) h(x) Esercizi. Calcolare i seguenti iti x 0 x 3 + x x 2 + x x + Limiti notevoli, con dimostrazione: ) sin x x 0 x = Da questo ite seguono x 3 + x x 2 + x tan x cos x = x 0 x x 0 x 2 = 2

18 8 2) log( + x) x 0 x Da questi iti seguono e x = = x 0 x log 0 ( + x) 0 x = log x 0 x 0 e x 0 x Dai precedenti iti segue = log 0 sin x = x + o(x) tan x = x + o(x) cos x = 2 x2 + o(x 2 ) log( + x) = x + o(x) log 0 ( + x) = (log 0 e) x + o(x) Esercizi. Si calcolino i seguenti iti sin(x 2 ) x 0 x 2 e x = + x + o(x) 0 x = + log 0 x + o(x) e sin x x 0 x sin x sin 3 x + (e x ) 2 x 0 log( + x) x 0 cos x 4 lezione. Giovedí 3 novembre. 2 ore. Teorema. Se f(x) é monotona in (a, b), allora esistono x a + f(x) e x b f(x). Se f(x) é crescente e sono rispettivamente l estremo inferiore e l estremo superiore dei valori assunti dalla funzione in (a, b). Se f(x) é decrescente sono rispettivamente l estremo superiore e l estremo inferiore dei valori assunti dalla funzione in (a, b). Teorema. Se f(x) é monotona in (a, b) e x 0 (a, b), allora esistono x x + f(x) e 0 f(x). x x 0 Se f(x) é crescente x x 0 Se f(x) é decrescente x x 0 Esercizi. Verifica di iti. f(x) x x + 0 log x = + x + f(x) x x + 0 f(x). f(x). x + ex = + Esercizio Si calcolino i seguenti iti utilizzando i precedenti iti e il teorema sul ite della funzione composta. log x x 0 + x ex Gerarchia degli infiniti, senza dimostrazione. Esercizi. Si utilizzino la gerarchia degli infiniti e il teorema sul ite della funzione composta per calcolare i seguenti iti x 0 xα log x + con α > 0 (e se α 0?). x xα e x

19 Si calcolino i seguenti iti utilizzando i iti notevoli e il teorema sul ite della funzione composta. arcsin x x 0 x Dai precedenti iti segue arcsin x = x + o(x) arctan x = x 0 x arctan x = x + o(x) Esercizio. Si calcolino i seguenti iti, cercando di ricondursi, con opportuni cambiamenti di variabile ai iti notevoli. sin x x π x π ; sin x arccos x π x π (x π 2 ; 2 2 )2 x 0 x Esercizio. Si dica se la funzione sin x [ é invertibile e, in caso affermativo, si π 2, 3 2 π] esprima la sua inversa come combinazione di funzioni elementari. Si definisce l area del disco di raggio r come il ite dell area dei poligoni regolari inscritti, al tendere del numero dei lati all infinito. Si dimostri che l area del disco é π r 2. La funzione f(x) g(x), dominio e iti. Esercizi. Calcolare i seguenti iti x 0 xx x + xx Applicazione dei iti notevoli allo studio della convergenza di serie a termini positivi. Esercizi. Si studi la convergenza delle seguenti serie, utilizzando, dopo aver verificato che si puó utilizzare, il criterio dell ordine di infinitesimo. log( + n ) + sin n n (e n ) log( + n 3 ) cos n Utilizzando il criterio del rapporto, si dimostri che la serie n= n! n n xn converge assolutamente nell intervallo ] e, e[, diverge in ]e, + [, non converge in ], e[. Si dimostri che la successione a n = n! n n e n é crescente. Da qui segue che a n > 0 e quindi, per x = e la serie non puó convergere. 5 lezione. Venerdí 4 novembre. 2 ore. Teorema di esistenza degli zeri in un intervallo chiuso e itato, con dimostrazione. Conseguenze del teorema di esistenze degli zeri. 9

20 20 Teorema di esiztenza degli zeri per funzioni continue in un intervallo non chiuso o non itato. Esempi sulla necessitá che il dominio sia connesso. Esercizio. I polinomi di grado dispari hanno sempre almeno una radice reale. Teorema dei valori intermedi. Teorema. L immagine di una funzione continua definita in un intervallo é un intervallo che ha come estremi l estremo inferiore e l estremo superiore della funzione.. Uno funzione continua in un intervallo é invertibile se e solo se é monotona. La funzione inversa di una funzione continua, invertibile, definita in un intervallo, é, a sua volta, continua. Teorema di punto fisso per funzioni continue definite in un intervallo [a, b] con l immagine contenuta in [a, b]. Esercizi. ) si dimostri che l equazione tan x + e x 5 = 0 ha almeno una soluzione nell intervallo ] π 2, π 2 [. Si approssimi la soluzione, per eccesso e per difetto, con un errore minore di 2 Teorema di Weirstrass in un intervallo chiuso e itato, con dimostrazione. Conseguenze del teorema di Weiersrass Il teorema di Weierstrass in insiemi chiusi e itati. Esempi sulla necessitá che il dominio sia chiuso e itato. L immagine di una funzione continua definita in un intervallo chiuso e itato é l intervallo chiuso e itato [min f(x), maxf(x)]