DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, ROMA, ITALY

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE (L Z) CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLA SICUREZZA DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, ROMA, ITALY Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.). I paragrafi del libro indicati sono riferiti alla seconda edizione. Gli esercizi indicati nella forma n/m (esercizio n del gruppo m) sono riferiti alla versione del 29 settembre 2012 degli Esercizi d esame e di controllo reperibili sul sito del corso. 1

2 1. Lunedì 1/10/2012 Presentazione del corso. Insiemi numerici N, Z, Q. Q introdotto mediante gli assiomi di campo totalmente ordinato. Teorema 1.1. Per ogni x Q, vale x ( 1) = x. Per casa 1.2. Dimostrare che per ogni x Q, 0 x = 0. Dimostrare che non può esistere l elemento inverso di 0. Dimostrare che x y, z 0 implica x z y z. Teorema 1.3. (s.d.) (Densità) Dati due razionali x < y esistono infiniti razionali z tali che x < z < y. Rappresentazione decimale dei razionali. Teorema 1.4. Non esiste nessun x Q tale che x 2 = 2. Approssimazione di 2 con numeri razionali. Insiemi itati superiormente. Definizione di maggiorante e di estremo superiore come il più piccolo dei maggioranti. Assioma dell esistenza dell estremo superiore in R di ogni insieme itato superiormente. Definizione di valore assoluto di un numero reale. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.2,

3 2. Martedì 2/10/2012 Definizione di massimo, estremo inferiore, minimo. Teorema 2.1. Se A è un insieme itato inferiormente, ammette estremo inferiore. Teorema 2.2. L estremo superiore di A, se esiste, è unico. Teorema 2.3. M è l estremo superiore di A se e solo se: 1) M x per ogni x A; 2) per ogni ε > 0 esiste un x A tale che x > M ε. Osservazione 2.4. In realtà sopra è sufficiente richiedere che la 2) valga per ogni ε (0, ε 0 ), con ε 0 > 0. Per casa 2.5. Formulare e dimostrare l analogo risultato per l estremo inferiore. N, Z, Q come sottoinsiemi di R. Definizione di x r, x > 0, r R. Caso speciale delle potenze razionali. Definizione di intervalli; i simboli + e. Teorema 2.6. (Proprietà archimedea) Se x, y R, x, y > 0, esiste n N tale che nx > y. Esercizio 2.7. Trovare sup A e sup B, ove A = {1 1 } n n N, n > 0, { x + 1 } B = x + 2 x 0. Per casa 2.8. Trovare inf A e inf B. Paragrafi di riferimento sul testo:

4 3. Mercoledì 3/10/2012 Funzioni f : A B; dominio, codominio e immagine di una funzione. Grafico di una funzione come sottoinsieme di A B. Funzioni suriettive, iniettive, biettive. Funzione inversa. Osservazione 3.1. Una funzione iniettiva si può rendere biunivoca restringendone il codominio all immagine. Definizione di numerabilità; N, Z, Q sono numerabili, ma R non lo è. Estremo superiore e inferiore di una funzione come sup f(a), inf f(a). Esercizio 3.2. Calcolo di sup A, ove Calcolo di sup f, inf f, ove A = {x y (x, y) (0, 1) (0, 1)}. f(x) = 1 x, x > 0. Calcolo di inf g, ove g(x) = x + 1 x, x 0. Per casa 3.3. Calcolo di inf A, per A definito sopra. Calcolo di sup g, per g definita sopra. Paragrafi di riferimento sul testo: 2.1, 2.3, 2.4,

5 4. Giovedì 4/10/2012 Il Principio di induzione (s.d.). Esercizio 4.1. Dimostrare che n n(n + 1) k =, 2 k=1 n k=0 Per casa 4.2. Dimostrare che ( n )( n ) a k b k = k=1 k=1 q k = qn+1 1 q 1 n h,k=1 a k b h., q 1. Funzioni goniometriche elementari: sin, cos, tg, e le loro inverse arcsin, arccos, arctg. Definizione di funzione composta. Non commutatività della composizione di funzioni. Funzioni monotone e strettamente monotone. Teorema 4.3. Se f : A R, A R, è strettamente monotona, allora è invertibile sull immagine f(a). Per casa 4.4. Teorema 4.5. La composizione di due funzioni crescenti, o di due decrescenti, è crescente. La composizione di una funzione crescente e di una decrescente, o viceversa, è decrescente. Funzioni pari e funzioni dispari. Per casa 4.6. Teorema 4.7. La composizione di una funzioni pari e di una dispari, o viceversa, è pari. La composizione di due funzioni dispari è dispari. Funzioni periodiche. Periodicità delle funzioni goniometriche. Esercizio /110 Paragrafi di riferimento sul testo: 1.5, 1.A, 2.1, 2.2, 2.5,

6 5. Lunedì 8/10/2012 Numeri complessi come coppie di numeri reali. Definizione delle operazioni di somma, prodotto; calcolo dell opposto, del reciproco, del coniugato di un numero complesso. Rappresentazione algebrica dei numeri complessi. Paragrafi di riferimento sul testo: Martedì 9/10/2012 Rappresentazione trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Potenze ad esponente intero e radici n-sime di un numero complesso. Paragrafi di riferimento sul testo: Mercoledì 10/10/2012 Equazioni di grado n nell incognita z. Teorema fondamentale dell algebra (s.d.). Scomposizione di polinomi. Caso particolare: polinomi a coefficienti reali. Paragrafi di riferimento sul testo: Giovedì 11/10/2012 Definizione di funzione tra due insiemi qualunque. Dominio, codominio, immagine. Successioni reali. Proprietà che valgono definitivamente. Successioni inferiormente e superiormente itate. Definizione di estremo inferiore ed estremo superiore di una successione. Successioni definitivamente itate sono itate. Successioni monotone. Paragrafi di riferimento sul testo: 2.1,

7 9. Lunedì 15/10/2012 Definizione di potenza e di logaritmo. Definizione di ite reale in un punto di R. Osservazione 9.1. È sufficiente verificare la definizione per 0 < ε < ε 0. Esempio 9.2. Calcolare, usando la definizione: x, x, x 2. x 0 x 0 x 2 Teorema 9.3. (confronto) Se g f h per x x 0 e se allora anche Esempio 9.4. Dimostrare che Esercizio /110. g(x) = h(x) = l R, x x 0 x x 0 f(x) = l. x x 0 sin x = 0. x 0 Paragrafi di riferimento sul testo:

8 10. Martedì 16/10/2012 Teorema Se esiste x x0 f(x), esso è unico. Esempio Non esiste x 0 sin 1 x. Definizione di ite destro e sinistro in x 0. Per casa Teorema Il ite di f in x 0 esiste se e solo se esistono in x 0 i iti destro e sinistro, ed essi sono uguali. Definizione della funzione parte intera [x] = max{k Z k x}, x R. Esempio Comportamento della funzione parte intera: [x] = [x 0 ], x 0 Z ; [x] = [x 0], x x 0 x x 0+ Definizione di ite infinito (± ) per x x 0. Esempio x 0± x. Definizione di ite per x + e per x. Teorema Casistica di in funzione dei due iti (f(x) + g(x)), x x 0 f(x), x x 0 g(x). x x 0 [x] = [x 0] 1, x 0 Z. x x 0 Dimostrazione del teorema precedente nel caso dei iti di f e g entrambi finiti. Per casa Completare la dimostrazione del teorema. Esercizio Varie possibilità nel caso non determinato dei iti + e : calcolare il ite di (f(x) + g(x)), x + nei casi: f(x) = x, g(x) = x + 1 ; f(x) = x 2, g(x) = x ; f(x) = x + sin x, g(x) = x. Paragrafi di riferimento sul testo:

9 11. Mercoledì 17/10/2012 Teorema Casistica di in funzione dei due iti (f(x)g(x)), x x 0 f(x), x x 0 g(x). x x 0 Dimostrazione del teorema precedente nel caso di f α < 0 e g. Teorema Casistica di f(x) x x 0 g(x), (con g(x) 0) in funzione dei due iti f(x), x x 0 g(x). x x 0 Per casa Completare la dimostrazione dei due teoremi precedenti. Teorema (Permanenza del segno) Se vale f(x) < 0, x x 0 allora f(x) < 0 in un opportuno intorno di x 0, se x x 0. Corollario Se f(x) 0 in un opportuno intorno di x 0, se x x 0, allora se tale ite esiste. f(x) 0, x x 0 Esercizio Calcolo dei seguenti iti: cos x = 1, x 0 x 0 P (x), x + sin x x = 1, x 0 x + qui P (x) e Q(x) sono polinomi, con Q non nullo. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 3.5. P (x) Q(x) ; 1 cos x x 2 = 1 2, 9

10 12. Giovedì 18/10/2012 Teorema (Disuguaglianza di Bernoulli) Se h > 1 allora vale per ogni n 1 (1 + h) n 1 + nh. Esercizio Siano α R; a, b > 1; β > 0: x 0 arcsin x x x π x α x + a x = +, arctg x = 1, x 0 x sin x x π = 1, x (log b x) α x + x β = 0, = 1, x + arctg x x sin 4 x 3 + x2 1 + x 2 = 4. Il metodo di sostituzione di variabile nel calcolo dei iti. Per casa Dimostrare che per ogni x > 0 arctg x + arctg 1 x = π 2. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.5, 3.4, 3.5. = 0, 13. Lunedì 22/10/2012 Definizione di ite di una successione. Convergenza, divergenza positivamente e negativamente. Esempi di successioni convergenti, divergenti e che non ammettono ite. Sottosuccessione di una successione. Dimostrazione che ogni successione estratta da una successione regolare ha lo stesso ite. Richiamo dei teoremi sulla somma algebrica, prodotto, quoziente (quando possibile) di due successioni regolari. Forme indeterminate. Limite del rapporto di polinomi. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, Martedì 23/10/2012 Teoremi di confronto. Limite di r n, radice n-sima di a. Teorema di regolarità delle successioni monotone. Gerarchie tra infiniti. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1,

11 15. Mercoledì 24/10/2012 Limite di a n = (1 + 1/n) n. Criterio del rapporto. Dimostrazione che gli infiniti n k (k > 0), a n (a > 1), n!, n n sono infiniti di ordine crescente. Paragrafi di riferimento sul testo: Giovedì 25/10/2012 Teorema di Bolzano Weierstrass. Criterio di convergenza di Cauchy. Cenno alle successioni a valori razionali e a valori complessi. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.3,

12 17. Lunedì 29/10/2012 Teorema Sia f : (a, b) R monotona. Allora esistono i iti f(x), x b f(x). x a+ Teorema Sia f : I J, g : J R, ed esistano i iti con f(x) l per x I. Allora f(x) = l, x x 0 g(f(x)) = k. x x 0 g(y) = k, y l Osservazione L ipotesi f(x) l per x I, non è necessaria se g(l) = k. Esempio Tuttavia in genere lo è: Se f(x) = x sin 1 x, x 0 ; g(x) = x2, x 0, g(0) = 1, allora Esercizio x + x 0 ( x) x = e, x ln(1 + x) x g(f(x)) 0 x 0. e x 1 = 1, x 0 x (1 + x) α 1 x 0 Qui a > 0, α R sono costanti date. ( x) x = e, x 0 (1 + x) 1 x = e, x a x 1 = 1, = ln a, x 0 x = α. Le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico e le loro inverse. Per casa Calcolare il ite a n + (ln n) 2 +ln n 2 n +, a > e, = 1, a = e, 0, 0 < a < e. Esprimere sin x e cos x in funzione degli esponenziali complessi e ix, e ix. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3,

13 18. Martedì 30/10/2012 Definizione di funzione continua in un punto di un intervallo. Definizione di funzione continua da destra o da sinistra. Esempio Discussione della continuità di sin 1 x, [x], sin x x, 1 x. Teorema Se f e g sono continue anche f + g, fg, f g, f/g (se g 0) lo sono. Definizione di discontinuità einabile, di salto, di II specie. Esempio La funzione di Dirichlet: f(x) = 0 se x Q, f(x) = 1 se x Q. Esempio La funzione definita per x > 0 da 0, x Q, f(x) = 1 p, x = m p, con m, p N primi tra loro, è continua in R \ Q. Teorema (degli zeri) Se f C([a, b]) e f(a)f(b) < 0 allora esiste c (a, b) con f(c) = 0. Per casa Trovare il ite di n n. n Teorema (s.d.) La formula di Stirling n! = n n e n 2πn(1 + o(1)), n +. Esercizio Calcolo del ite di ( (3n)! ) 1 n. (2n)!n! Paragrafi di riferimento sul testo: 4.2, 6.1, 6.2,

14 19. Mercoledì 31/10/2012 Teorema (dei valori intermedi) Se f C([a, b]), e f(a) < λ < f(b), allora esiste un c (a, b) con f(c) = λ. Esercizio Dimostrare che l equazione 1/x = tg x ha infinite soluzioni positive. Teorema Se I è un intervallo e f C(I), allora f(i) è un intervallo. Teorema Se I è un intervallo e f strettamente monotona. C(I) è invertibile, allora f è Per casa Definita g(a) come il valore dell unico x > 0 tale che studiare la monotonia di g, e trovare 1 2 x = a x, g(a). a Esempi di non esistenza di massimi o minimi per funzioni continue in intervalli aperti o ilitati. Teorema (Weierstrass) Se f C([a, b]), a, b R, allora f è itata e sup f = max f, [a,b] [a,b] inf f = min f. [a,b] [a,b] Esercizio Dimostrare che n n 1, n +. n Per casa Dimostrare che se a n α, allora 1 n a k α, n +. n k=1 Definizione e significato della notazione f(x) = o(1), x x 0. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.4, 6.3, Lunedì 5/11/2012 Dimostrazione della condizione sufficiente del criterio di convergenza di Cauchy per le successioni reali. Successioni definite per ricorrenza. Verifica della eventuale monotonia e calcolo del ite. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.4,

15 21. Martedì 6/11/2012 Sommatorie. Serie. Successione delle somme parziali. Definizione di convergenza e divergenza positiva o negativa di una serie. Studio della serie geometrica al variare della ragione e sua somma. Serie telescopiche. Condizione sufficiente per la convergenza di una serie. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.6, 4.7, Mercoledì 7/11/2012 Criterio di Cauchy per le serie. Regolarità delle serie a termini non negativi. Teorema del confronto per serie a termini non negativi. Confronto asintotico. Studio del carattere della serie armonica e della serie armonica generalizzata. Criterio dell ordine di infinitesimo. Paragrafi di riferimento sul testo: Giovedì 8/11/2012 Criterio della radice e criterio del rapporto per serie a termini positivi. Definizione di convergenza assoluta. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.8,

16 24. Lunedì 12/11/2012 Definizione di suddivisione, o partizione, di un intervallo. Raffinamenti di suddivisioni. Somma superiore S(D, f) e inferiore s(d, f) relative a una suddivisione e a una funzione. Vale s(d, f) S(D, f). Lemma Se D 2 D 1 allora s(d 2, f) s(d 1, f) S(D 1, f) S(D 2, f). Definizione di integrale secondo Riemann di una funzione itata su un intervallo chiuso e itato. Esempio Integrale di funzioni costanti. La funzione f(x) = x è integrabile. La funzione di Dirichlet non è integrabile. Per casa Dimostrare che una funzione costante a tratti è integrabile, per esempio [x] in [0, 2], e che f(x) = x 2 è integrabile in [0, 1]. Esercizio /750 Paragrafi di riferimento sul testo: Martedì 13/11/2012 Lemma f R(a, b) se e solo se per ogni ε > 0 esiste D ε tale che 0 S(D ε, f) s(d ε, f) ε. Teorema Se f è monotona su [a, b] è integrabile su [a, b]. Definizione di funzione uniformemente continua in I. Esempio La funzione f(x) = 1 x è continua in (0, 1], ma non è ivi uniformemente continua. Teorema Le funzioni in C([a, b]) sono uniformemente continue in [a, b]. Teorema Se f è uniformemente continua in [a, b] allora è integrabile in [a, b]. Esercizio /750 Paragrafi di riferimento sul testo: 6.6,

17 26. Mercoledì 14/11/2012 Teorema L integrale gode delle proprietà di linearità, monotonia, additività rispetto all intervallo di integrazione. Inoltre b b f f. Esempio La funzione sin 1 f(x) = x, 0 < x 1, 0, x = 0, è integrabile in [0, 1]. a Teorema Sia f : [a, b] R itata, e continua in [a, b] a parte un numero finito di punti di discontinuità. Allora f R(a, b). Definizione di media integrale M(a, b, f) := 1 b f(x) dx. b a a Teorema Vale inf [a,b] f M(a, b, f) sup [a,b] f. Teorema Se f R(a, b) e f è continua in x 0, allora M(x, x 0, f) f(x 0 ) per x x 0. Esercizio , 16/770 Paragrafi di riferimento sul testo: 8.3, 8.4. a 17

18 27. Giovedì 15/11/2012 Teorema Se f C((a, b)) è invertibile, allora la sua inversa è continua. Definizione di derivata e suo significato. Teorema Se f è derivabile in x 0, allora è continua in x 0. Derivabilità di 1, x, x 2. Per casa Calcolare la derivata di x n, n N. Esempio La funzione x non è derivabile in x = 0. Quindi non tutte le funzioni continue sono derivabili. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Corollario Se f è derivabile in (a, b) con derivata nulla, allora è costante in (a, b). Teorema Se f è continua in x 0, allora posto si ha F (x 0 ) = f(x 0 ). F (x) = x a f(t) dt Teorema Se f è continua in [a, b], e H = f in (a, b), allora Esercizio /770 b a f(t) dt = H(b) H(a). Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1, 7.6, 7.7,

19 28. Lunedì 19/11/2012 Varie notazioni per la derivata. Calcolo della derivata delle funzioni: e x, x, ln x, a x, sin x, cos x. Osservazione La f è derivabile nel punto x se e solo se f(x + h) = f(x) + hf (x) + o(h), h 0. Teorema La derivata è lineare. Formula di Leibniz per la derivata di un prodotto. Applicazione delle regole di derivazione all integrazione. Definizione di b se a > b. Applicazioni alla derivazione: se f è continua in x. d dx a a x f = a b f, f(t) dt = f(x), Teorema Derivata di un quoziente f/g, g 0. Teorema Regola di derivazione di una funzione composta f g. Corollario Per ogni p R, x > 0, vale d dx xp = px p 1. Esempio Derivata della funzione tangente, e di seno e coseno iperbolico. Calcolo di d dx Per casa Calcolare le derivate di Calcolare x 0 x x, x x, 1 x 0 x x2 0 e t2 dt. x2 1 e t2 2 dt. cos t dt. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4,

20 29. Martedì 20/11/2012 Teorema Se f (x 0 ) 0, e si pone y 0 = f(x 0 ), allora d dy f 1 (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Derivate di arcsin x, arccos x, arctg x, e relative regole di integrazione. Integrazione per parti. Esempio Integrazione di ln x dx, x 2 sin x dx, e αx cos βx dx. Integrazione per sostituzione. Esercizio Integrazione di: ln 27 0 e x 1 + e x 3 dx, dx 3 x( 3 x + 6 x, t t dt, dt t 2 a 2. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, Mercoledì 21/11/2012 Metodo di integrazione delle funzioni razionali proprie per fratti semplici. Esempio Calcolare dx x Integrazione per sostituzione di R(sin x) cos x dx, t = sin x ; R(cos x) sin x dx, t = cos x ; R(sin x, cos x) dx, sin x = 2t, 1 + t2 1 t2 cos x = 1 + t 2, t = tg x 2. Esercizio /520. Paragrafi di riferimento sul testo: Giovedì 22/11/2012 prof. Paola Vernole Serie a termini di segno variabile. Criterio di convergenza di Leibniz. Paragrafi di riferimento sul testo:

21 32. Lunedì 26/11/2012 Integrazione per sostituzione di ( ax + b ) ax + b R x, n dx, t = n cx + d cx + d ; R(x, a 2 x 2 ) dx, t = a cos x, a sin x ; R(x, x 2 + c) dx, t = a cosh x, a sinh x. Esempi. Esercizio /520. Integrali impropri: definizione. Funzioni integrabili. Significato geometrico: area di regioni piane ilitate. Esempio Integrazione di f(x) = x α rispettivamente in [1, + ) e in (0, 1]. Teoremi del confronto e del confronto asintotico per integrali impropri di funzioni non negative. Esercizio /580. Esempio Le funzioni e x e e x2 sono integrabili in [0, + ). Paragrafi di riferimento sul testo: 8.6, Martedì 27/11/2012 Teorema del confronto tra serie e integrali impropri. Esempio Convergenza delle serie per α, β > 0. + n=1 1 n α, + n=2 Assoluta integrabilità in senso improprio. Parte positiva e negativa di un numero reale. 1 n(ln n) β, Teorema Se f è integrabile, anche f lo è. Esempio Dei due integrali + 1 sin x x dx, il primo è convergente, il secondo è divergente. Esercizio /620; 13/ sin x x dx, 1 Paragrafi di riferimento sul testo:

22 34. Mercoledì 28/11/2012 Teorema Se f > 0 [risp. f 0] in (a, b), allora f è strettamente crescente [risp. crescente] in (a, b). Se f < 0 [risp. f 0] in (a, b), allora f è strettamente decrescente [risp. decrescente] in (a, b). Derivata destra e sinistra in un punto. Punti angolosi, cuspidi. Teorema Se esiste il ite destro [sinistro] della derivata f (c+) [f (c )] allora esiste la derivata destra f +(c) [sinistra f (c)], e coincide con esso. Esempio Derivabilità di x x, x. La derivata seconda. Derivate seconde di seno e coseno. Teorema Se f ha un massimo [minimo] locale in x = a, allora f (a) 0 [f (a) 0]. Concavità e convessità. Teorema Se f > 0 [f 0] in (a, b), allora f è strettamente convessa [convessa] in (a, b). Se f < 0 [f 0] in (a, b), allora f è strettamente concava [concava] in (a, b). Esercizio /800. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.7, 7.8, 7.9, Giovedì 29/11/2012 Punti di flesso. Ricerca di asintoti obliqui. Per casa Dimostrare che se f C(R), f(x) = f(x) = L R, x + x ed esistono x, x tali che f(x ) > L, f(x ) < L, allora sup f = max f, inf f = min f. R R R R Esercizio , 10, 13/

23 36. Lunedì 3/12/2012 Teorema di Cauchy. Teorema de l Hopital. Necessità delle varie ipotesi. Esercizio /420; 1/800. Trovare numero e segno delle radici di x x + 10 = 0. Paragrafi di riferimento sul testo: Martedì 4/12/2012 Infinitesimi e ordini di infinitesimo. Notazione f(x) = o(g(x)) per x x 0. Algebra degli o. Definizione di polinomio di Taylor (e di MacLaurin). Esempio I polinomi di Taylor di e x, sin x, cos x, ln(1 + x). Teorema Il polinomio di Taylor di f di ordine n è l unico polinomio di grado n tale che abbia le derivate coincidenti con quelle di f in x 0 fino all ordine n. Lemma La derivata del polinomio di Taylor di f di ordine n coincide con il polinomio di Taylor di f di ordine n 1. Teorema Il polinomio di Taylor di f di ordine n è l unico polinomio P di grado n tale che f(x) P (x) = o((x x 0 ) n ), x x 0. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.11, Mercoledì 5/12/2012 Applicazioni dei polinomi di Taylor al calcolo di iti e di ordini di infinitesimo. Calcolo del polinomio di Taylor di funzioni composte, usando la proprietà di approssimazione che identifica univocamente tali polinomi. Esercizio /310; 20/420. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.11, Giovedì 6/12/2012 Formula di Taylor con il resto in forma di Peano, Cauchy e Lagrange. Applicazioni dei polinomi di Taylor all identificazione della natura dei punti stazionari. Applicazioni dei polinomi di Taylor al calcolo di iti e di ordini di infinitesimo. Esercizio , 10, 19/420. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.12,

24 40. Lunedì 10/12/2012 Sviluppo (valido per α R) (1 + x) α = n k=0 ( α k) x k + o(x n ), x 0. Esercizi sugli sviluppi di Taylor. Definita f(x) = [sin(ln x)] 21 [sinh(ln x)] 21, x > 0, calcolare f (23) (1). Calcolare x sin 2 x 1 [ln(1 + 1 e x2 )][(1 + sin x) 1 x e 1 ]. Calcolare l ordine di infinitesimo per x 0+ di Calcolare 4/310. f(x) = x x 2 sin t t Paragrafi di riferimento sul testo: dt, x > 0. cos(sinh x) + cosh(sin x) 2 x 0+ x α. 41. Martedì 11/12/2012 Integrazione di integrali binomi x q (a + bx r ) p dx, per sostituzione: (1) p Z: x = t k, k = mcm(denominatori di q e r). (2) (q + 1)/r Z: a + bx r = t h, h =denominatore di p. (3) p + (q + 1)/r Z: (a + bx r )/x r = t h, h =denominatore di p. Esempi: x(a + b 3 x) 2 dx, x(a + bx 3 2 ) 1 2 dx, 4 x(a + b x) 1 2 dx. Decomposizione di funzioni razionali proprie secondo Hermite. Esercizio Calcolare il ite ( x 2 x + x2 ln ) [ arctg 3 x + 1 arctg 3 x 1 15/200, 6/580, 4/720, 10/770. ], Paragrafi di riferimento sul testo:

25 42. Mercoledì 12/12/2012 Uso della proprietà per αβ 0, ove α cos x + β sin x = α 2 + β 2 sin(x + y), arcsin y = π arcsin α α2 + β 2, β > 0, α α2 + β 2, β < 0. Esercizio /420, 9/520, 2/580, 9/770, 16/ Giovedì 13/12/2012 Esercizio /200; 15/420; 5/800. Studio della convergenza di + (n 1 n 1). Integrazione di n=1 x + 1 x dx. Dimostrazione dell esistenza di intervalli di convessità e concavità senza calcolare la derivata seconda. Serie di potenze. 44. Lunedì 17/12/2012 Paragrafi di riferimento sul testo: 9.3, 9.4. Serie di potenze. 45. Martedì 18/12/2012 Paragrafi di riferimento sul testo: 9.3, Mercoledì 19/12/2012 Ricerca di punti di estremo. Il binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia. Esercizio /600, 3/750, 7/770. Studio della funzione f(x) = sin ( 2π( 1 + x 2 x ) ). Paragrafi di riferimento sul testo: Appendice 1.B,

26 Serie di potenze ed esercizi. 47. Giovedì 20/12/2012 Paragrafi di riferimento sul testo: 9.3, 9.4. FINE DEL CORSO 26